A Conjectura de Collatz têm como base 2 regras:
1) escolha qualquer número natural inteiro, se for par divida por 2;
2) se for ímpar, multiplique por 3 e some 1 unidade (3x + 1).
A Conjectura de Collatz leva o nome do seu criador, o Matemático alemão Lothar Collatz (1910-1990) que a idealizou em 1937.
Aplicando a Conjectura de Collatz, observa-se que além das etapas de cálculos serem bastante variáveis, isto é, escolhendo um tipo de número qualquer, as etapas de cálculos podem ser curtas, longas ou extremamente longas e o que se constata também é que independente das quantidades de etapas de cálculos, essas etapas de cálculos formam estruturas, a priori, formadas por 1, 2 ou 3 Blocos, estutruras estas, dependendo dos tipos de números, verificada nos primeiros 100 números naturais.
O presente estudo demonstra que números quadrados perfeitos que são o triplo da multiplicação do número 3 por potências de base 2 quadrado perfeito, têm os Blocos 3 e 2 estruturas semelhantes e o Bloco 1 variável quando da aplicação da Conjectura de Collatz.
A Tabela 1 a seguir apresenta os primeiros 20 produtos do número 3 por potências de base 2 e as seguintes regularidades numéricas:
a) a multiplicação do número 3 por potências de base 2 têm como produtos números pares;
b) a multiplicação do número 3 por potências de base 2 que são quadrados perfeitos têm como produtos números pares que são 1/3 de um número quadrado perfeito;
c) o triplo da multiplicação do número 3 por potências de base 2 que são quadrados perfeitos têm como produtos números quadrados perfeitos - Coluna E - (células laranjas).
Fato importantíssimo a ser observado é que a sequência ( 9, 18, 36, 72, 144,... ) forma uma progressão geométrica (P.G.) cujo primeiro termo é 9 e razão 2.
Aplicando-se a Conjectura de Collatz a termos de progressões geométricas de razão 2, determinam estruturas semelhantes e quantidades de cálculos (etapas) em progressões aritiméticas (P.As).
| Tabela 1 | |||||
| Produto de 3 por | |||||
| Potência de base 2 | |||||
| A | B | C | D | E | F |
| ordem / | número | potência | produto | triplo produto | raiz |
| posição | 3 | base 2 | (quadrado | quadrada | |
| perfeito) | |||||
| 1 | 3 | 1 | 3 | 9 | 3 |
| 2 | 3 | 2 | 6 | 18 | |
| 3 | 3 | 4 | 12 | 36 | 6 |
| 4 | 3 | 8 | 24 | 72 | |
| 5 | 3 | 16 | 48 | 144 | 12 |
| 6 | 3 | 32 | 96 | 288 | |
| 7 | 3 | 64 | 192 | 576 | 24 |
| 8 | 3 | 128 | 384 | 1152 | |
| 9 | 3 | 256 | 768 | 2304 | 48 |
| 10 | 3 | 512 | 1536 | 4608 | |
| 11 | 3 | 1024 | 3072 | 9216 | 96 |
| 12 | 3 | 2048 | 6144 | 18432 | |
| 13 | 3 | 4096 | 12288 | 36864 | 192 |
| 14 | 3 | 8192 | 24576 | 73728 | |
| 15 | 3 | 16384 | 49152 | 147456 | 384 |
| 16 | 3 | 32768 | 98304 | 294912 | |
| 17 | 3 | 65536 | 196608 | 589824 | 768 |
| 18 | 3 | 131072 | 393216 | 1179648 | |
| 19 | 3 | 262144 | 786432 | 2359296 | 1536 |
| 20 | 3 | 524288 | 1572864 | 4718592 | |
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O número quadrado perfeito 9 é o primeiro quadrado que é o triplo do produto do número 3 por uma potência de base 2 quadrado perfeito.
3 x ( 3 x 1 ) = 9
a) no Bloco 3, há 5 cálculos;
b) no Bloco 2, há 4 cálculos;
c) no Bloco 1 variável, há 10 cálculos.
Os Blocos 3 e 2 são semelhantes as dos quadrados perfeitos 36 , 144 e 576.
O número primo 13, Número de Collatz / Fermat (B) (célula lilás), antecede a P.G.: (40, 20, 10, 5).
O número primo 5, último termo da P.G. variável decrescente: ( 40, 20, 10, 5 ) e também número de Collatz / Fermat (A) (célula vermelha), antecede as potências de base 2: ( 16, 8, 4, 2, 1 ).
Observação importante: o número quadrado perfeito 9, por ser um número ímpar e o primeiro termo da progressão geométrica: ( 9, 18, 36, 72, ...) é o que determina as quantidades de cálculos (etapas) dos demais termos subsequentes em progressão aritmética.
| Tabela 2 | |||||
| Conjectura de Collatz | |||||
| a partir do número quadrado 9 | |||||
| etapas | |||||
| Bloco 3 | |||||
| . | |||||
| 1 | 3 | 9 | 1 | = | 28 |
| . | |||||
| 2 | 28 | 2 | = | 14 | |
| . | |||||
| 3 | 14 | 2 | = | 7 | |
| . | |||||
| 4 | 3 | 7 | 1 | = | 22 |
| . | |||||
| 5 | 22 | 2 | = | 11 | |
| . | |||||
| 6 | 3 | 11 | 1 | = | 34 |
| . | |||||
| 7 | 34 | 2 | = | 17 | |
| . | |||||
| 8 | 3 | 17 | 1 | = | 52 |
| . | |||||
| 9 | 52 | 2 | = | 26 | |
| . | |||||
| 10 | 26 | 2 | = | 13 | |
| Bloco 2 | |||||
| . | |||||
| 11 | 3 | 13 | 1 | = | 40 |
| . | |||||
| 12 | 40 | 2 | = | 20 | |
| . | |||||
| 13 | 20 | 2 | = | 10 | |
| . | |||||
| 14 | 10 | 2 | = | 5 | |
| Bloco 1 | |||||
| . | |||||
| 15 | 3 | 5 | 1 | = | 16 |
| . | |||||
| 16 | 16 | 2 | = | 8 | |
| . | |||||
| 17 | 8 | 2 | = | 4 | |
| . | |||||
| 18 | 4 | 2 | = | 2 | |
| . | |||||
| 19 | 2 | 2 | = | 1 | |
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O número quadrado perfeito 36 é o segundo quadrado que é o triplo do produto do número 3 por uma potência de base 2 quadrado perfeito.
3 x ( 3 x 4 ) = 36
a) no Bloco 3, há 5 cálculos;
b) no Bloco 2, há 4 cálculos;
c) no Bloco 1 variável, há 12 cálculos.
Os Blocos 3 e 2 são semelhantes as dos quadrados perfeitos 9 e 144 e 576.
O número primo 13, Número de Collatz / Fermat (B) (célula lilás), antecede a P.G.: ( 40, 20, 10, 5 ).
O número primo 5, último termo da P.G. variável decrescente: ( 40, 20, 10, 5 ) e também número de Collatz / Fermat (A) (célula vermelha), antecede as potências de base 2: ( 16, 8, 4, 2, 1 ).
| Tabela 3 | |||||
| Conjectura de Collatz | |||||
| a partir do número quadrado 36 | |||||
| etapas | |||||
| Bloco 3 | |||||
| 1 | 36 | 2 | = | 18 | |
| . | |||||
| 2 | 18 | 2 | = | 9 | |
| . | |||||
| 3 | 3 | 9 | 1 | = | 28 |
| . | |||||
| 4 | 28 | 2 | = | 14 | |
| . | |||||
| 5 | 14 | 2 | = | 7 | |
| . | |||||
| 6 | 3 | 7 | 1 | = | 22 |
| . | |||||
| 7 | 22 | 2 | = | 11 | |
| . | |||||
| 8 | 3 | 11 | 1 | = | 34 |
| . | |||||
| 9 | 34 | 2 | = | 17 | |
| . | |||||
| 10 | 3 | 17 | 1 | = | 52 |
| . | |||||
| 11 | 52 | 2 | = | 26 | |
| . | |||||
| 12 | 26 | 2 | = | 13 | |
| Bloco 2 | |||||
| . | |||||
| 13 | 3 | 13 | 1 | = | 40 |
| . | |||||
| 14 | 40 | 2 | = | 20 | |
| . | |||||
| 15 | 20 | 2 | = | 10 | |
| . | |||||
| 16 | 10 | 2 | = | 5 | |
| . | |||||
| Bloco 1 | |||||
| 17 | 3 | 5 | 1 | = | 16 |
| . | |||||
| 18 | 16 | 2 | = | 8 | |
| . | |||||
| 19 | 8 | 2 | = | 4 | |
| . | |||||
| 20 | 4 | 2 | = | 2 | |
| . | |||||
| 21 | 2 | 2 | = | 1 | |
| . | |||||
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O número quadrado perfeito 144 é o terceiro quadrado que é o triplo do produto do número 3 por uma potência de base 2 quadrado perfeito.
3 x ( 3 x 16 ) = 144
a) no Bloco 3, há 5 cálculos;
b) no Bloco 2, há 4 cálculos;
c) no Bloco 1 variável, há 14 cálculos.
Os Blocos 3 e 2 são semelhantes as dos quadrados perfeitos 9, 36 e 576.
O número primo 13, Número de Collatz / Fermat (B) (célula lilás), antecede a P.G.: ( 40, 20, 10, 5 ).
O número primo 5, último termo da P.G. variável decrescente: ( 40, 20, 10, 5 ) e também número de Collatz / Fermat (A) (célula vermelha), antecede as potências de base 2: ( 16, 8, 4, 2, 1 ).
| Tabela 4 | |||||
| Conjectura de Collatz | |||||
| a partir do número quadrado 144 | |||||
| etapas | |||||
| Bloco 3 | |||||
| 1 | 144 | 2 | = | 72 | |
| . | |||||
| 2 | 72 | 2 | = | 36 | |
| . | |||||
| 3 | 36 | 2 | = | 18 | |
| . | |||||
| 4 | 18 | 2 | = | 9 | |
| . | |||||
| 5 | 3 | 9 | 1 | = | 28 |
| . | |||||
| 6 | 28 | 2 | = | 14 | |
| . | |||||
| 7 | 14 | 2 | = | 7 | |
| . | |||||
| 8 | 3 | 7 | 1 | = | 22 |
| . | |||||
| 9 | 22 | 2 | = | 11 | |
| . | |||||
| 10 | 3 | 11 | 1 | = | 34 |
| . | |||||
| 11 | 34 | 2 | = | 17 | |
| . | |||||
| 12 | 3 | 17 | 1 | = | 52 |
| . | |||||
| 13 | 52 | 2 | = | 26 | |
| . | |||||
| 14 | 26 | 2 | = | 13 | |
| Bloco 2 | |||||
| . | |||||
| 15 | 3 | 13 | 1 | = | 40 |
| . | |||||
| 16 | 40 | 2 | = | 20 | |
| . | |||||
| 17 | 20 | 2 | = | 10 | |
| . | |||||
| 18 | 10 | 2 | = | 5 | |
| . | |||||
| Bloco 1 | |||||
| 19 | 3 | 5 | 1 | = | 16 |
| . | |||||
| 20 | 16 | 2 | = | 8 | |
| . | |||||
| 21 | 8 | 2 | = | 4 | |
| . | |||||
| 22 | 4 | 2 | = | 2 | |
| . | |||||
| 23 | 2 | 2 | = | 1 | |
| . | |||||
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O número quadrado perfeito 576 é o quarto quadrado que é o triplo do produto do número 3 por uma potência de base 2 quadrado perfeito.
3 x ( 3 x 64 ) = 576
a) no Bloco 3, há 5 cálculos;
b) no Bloco 2, há 4 cálculos;
c) no Bloco 1 variável, há 16 cálculos.
Os Blocos 3 e 2 são semelhantes as dos quadrados perfeitos 9, 36 e 144.
O número primo 13, Número de Collatz / Fermat (B) (célula lilás), antecede a P.G.: ( 40, 20, 10, 5 ).
O número primo 5, último termo da P.G. variável decrescente: ( 40, 20, 10, 5 ) e também número de Collatz / Fermat (A) (célula vermelha), antecede as potências de base 2: ( 16, 8, 4, 2, 1 ).
| Tabela 5 | |||||
| Conjectura de Collatz | |||||
| a partir do número quadrado 576 | |||||
| etapas | |||||
| Bloco 1 | |||||
| 1 | 576 | 2 | = | 288 | |
| . | |||||
| 2 | 288 | 2 | = | 144 | |
| . | |||||
| 3 | 144 | 2 | = | 72 | |
| . | |||||
| 4 | 72 | 2 | = | 36 | |
| . | |||||
| 5 | 36 | 2 | = | 18 | |
| . | |||||
| 6 | 18 | 2 | = | 9 | |
| . | |||||
| 7 | 3 | 9 | 1 | = | 28 |
| . | |||||
| 8 | 28 | 2 | = | 14 | |
| . | |||||
| 9 | 14 | 2 | = | 7 | |
| . | |||||
| 10 | 3 | 7 | 1 | = | 22 |
| . | |||||
| 11 | 22 | 2 | = | 11 | |
| . | |||||
| 12 | 3 | 11 | 1 | = | 34 |
| . | |||||
| 13 | 34 | 2 | = | 17 | |
| . | |||||
| 14 | 3 | 17 | 1 | = | 52 |
| . | |||||
| 15 | 52 | 2 | = | 26 | |
| . | |||||
| 16 | 26 | 2 | = | 13 | |
| Bloco 2 | |||||
| . | |||||
| 17 | 3 | 13 | 1 | = | 40 |
| . | |||||
| 18 | 40 | 2 | = | 20 | |
| . | |||||
| 19 | 20 | 2 | = | 10 | |
| . | |||||
| 20 | 10 | 2 | = | 5 | |
| Bloco 3 | |||||
| . | |||||
| 21 | 3 | 5 | 1 | = | 16 |
| . | |||||
| 22 | 16 | 2 | = | 8 | |
| . | |||||
| 23 | 8 | 2 | = | 4 | |
| . | |||||
| 24 | 4 | 2 | = | 2 | |
| . | |||||
| 25 | 2 | 2 | = | 1 | |
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Partindo-se do quadrado perfeito 9, que possui 19 quantidades de cálculos (etapas) e aplicando-se a Conjectura de Collatz aos seus múltiplos (produto do 9 por potências de base 2), contata-se que que as quantidades de cálculos formam progressão aritmética (P.A.) cujo primeiro termo é 19 e razão 1.
| Tabela 6 | |||
| Quantidade de Cálculos | |||
| ordem / | triplo produto | raiz | quantidade |
| posição | (quadrado) | quadrada | de cálculos |
| (etapas) | |||
| 1 | 9 | 3 | 19 |
| 2 | 18 | 20 | |
| 3 | 36 | 6 | 21 |
| 4 | 72 | 22 | |
| 5 | 144 | 12 | 23 |
| 6 | 288 | 24 | |
| 7 | 576 | 24 | 25 |
| 8 | 1152 | 26 | |
| 9 | 2304 | 48 | 27 |
| 10 | 4608 | 28 | |
| 11 | 9216 | 96 | 29 |
| 12 | 18432 | 30 | |
| 13 | 36864 | 192 | 31 |
| 14 | 73728 | 32 | |
| 15 | 147456 | 384 | 33 |
| 16 | 294912 | 34 | |
| 17 | 589824 | 768 | 35 |
| 18 | 1179648 | 36 | |
| 19 | 2359296 | 1536 | 37 |
| 20 | 4718592 | 38 | |
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O tipo de número utilizado na Conjectura de Collatz determinam as quantidades de blocos em tabelas.
Blocos são as partes da tabela onde se econtram determinados termos de sequências numéricas padrão, bem como, as etapas de cálculos aritméticos.
| Tipo de | Quantidades |
| número | de Blocos |
| da Tabela | |
| potências de base 2 | 1 |
| Números de Collatz / Fermat (A) | 1 |
| Números de Collatz / Fermat (B) | 2 |
| P.G. ( 5, 10, 20, 40, 80,...) | 2 |
| progessões geométricas de razão 2 | 3 |
| Números de Mersenne | 3 |
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Os exemplos aqui apresentados demonstram que a Conjectura de Collatz se relaciona à progressões geométricas de razão 2, isto porque, as quantidades de cálculos (etapas) formam progressões aritméticas de razão 1.
É fácil comprovar esta propriedade: escolha um número par qualquer, divida-o por 2, terá o número menor, multiplique-o por 2 terá o número maior; aplique a Conjectura de Collatz ao 3 números, desta forma, as quantidades de cálculos (etapas) formar-se-á uma progressão aritmética de razão 1.
Observação importante: diferentemente de potências de outras bases, as potências de base 2 são ao mesmo tempo potências e também progressão geométrica de razão 2.
Autor: Ricardo Silva - maio/2026
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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