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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Conjectura de Collatz e Sequências Numéricas - 671

A Conjectura de Collatz é um problema matemático não resolvido, idealizado pelo Matemático alemão Lothar Collatz (1910-1990), em 1937.

Conjectura de Collatz e Sequências Numéricas

A conjectura ficou também conhecida como problema 3x+1, Conjectura de Ulam, Problema de Kakutani, Algoritmo de Hass, Números de Granizo, Números Maravilhosos e Problema de Siracusa e que consiste em 2 simples regras:

1) escolha qualquer número natural inteiro, se for par divida por 2;

2) se for ímpar, multiplique por 3 e some 1 unidade (3x + 1).

Aplicando a conjectura a qualquer número, o resultado final sempre será o número 1 e se continuarmos aplicando as 2 regras, os resultados serão os números 4, 2, 1 infinitamente.

O presente estudo demonstra regularidades numéricas entre a Conjectura de Collatz e sequências numéricas famosas como:

a) Potências de base 2 (células laranjas);

b) Números de Mersenne (células azuis);

c) Números de Collatz / Fermat (A) (células liláses);

d) Números de Collatz / Fermat (B) (células verdes);

e) Números Quadrados Perfeitos;

f) Números Primos e suas particularidades, etc.

O estudo demonstra também que:

a) termos dos Números de Collatz / Fermat (A) geram potências de base 2;

b) termos dos Números de Collatz / Fermat (B) aparecem com frequência antes das progressões geométricas decrescentes variáreis: ( 160, 80, 40, 20, 10, 5 ).

Excetuando-se o número ímpar 1, primeiro termo e potência de base 2, os demais números ímpares primeiros termos de P.G.s, formam P.A.s de etapas de cálculos, a partir das etapas desses mesmos números ímpares.

Progressões Geométricas de Razão 2

Observação importante: etapas são iterações, isto é, as quantidades de cálculos até se chegar ao número 1.

A Tabela 1 apresenta as primeiras 50 progressões geométricas cujos primeiros termos são números ímpares e razões 2 e seus quintos primeiros termos.

Progressão Geométrica de razão 2 e primeiro termo número ímpar está intrisicamente relacionada com a Conjectura de Collatz.

Progressões geométricas, exceto potências de base 2 que é um caso particular (células laranjas), as demais progressões geométricas, formam P.A.s de suas etapas de cálculos de razão 1 a partir do primeiro termo.

Tabela 1
 
Progressões Geométricas
de Razão 2
             
A B C D E F G
           
Tipo de 10 20 30 40 50
Número Termo Termo Termo Termo Termo
.
potências base 2 P.G. 1 2 4 8 16
P.A. etapas 3 1 2 3 4
.
Collatz / Fermat (B) P.G. 3 6 12 24 48
P.A. etapas 7 8 9 10 11
.
Collatz / Fermat (A) P.G. 5 10 20 40 80
P.A. etapas 5 6 7 8 9
.
(Mersenne) P.G. 7 14 28 56 112
P.A. etapas 16 17 18 19 20
.
Quadrado P.G. 9 18 36 72 144
P.A. etapas 19 20 21 22 23
             
primo P.G. 11 22 44 88 176
P.A. etapas 14 15 16 17 18
.            
Collatz / Fermat (B) P.G. 13 26 52 104 208
P.A. etapas 9 10 11 12 13
.            
(Mersenne) P.G. 15 30 60 120 240
P.A. etapas 17 18 19 20 21
.
primo P.G. 17 34 68 136 272
P.A. etapas 12 13 14 15 16
.
primo P.G. 19 38 76 152 304
P.A. etapas 20 21 22 23 24
.
Collatz / Fermat (A) P.G. 21 42 84 168 336
P.A. etapas 7 8 9 10 11
.
Collatz / Fermat (B) P.G. 23 46 92 184 368
P.A. etapas 15 16 17 18 19
.
Quadrado P.G. 25 50 100 200 400
P.A. etapas 23 24 25 26 27
.
composto P.G. 27 54 108 216 432
P.A. etapas 111 112 113 114 115
.            
primo P.G. 29 58 116 232 464
P.A. etapas 18 19 20 21 22
.
(Mersenne) P.G. 31 62 124 248 496
P.A. etapas 106 107 108 109 110
.
composto P.G. 33 66 132 264 528
. etapas 26 27 28 29 30
.
composto P.G. 35 70 140 280 560
P.A. etapas 13 14 15 16 17
.
primo P.G. 37 74 148 296 592
P.A. etapas 21 22 23 24 25
.
composto P.G. 39 78 156 312 624
P.A. etapas 34 35 36 37 38
.
primo P.G. 41 82 164 328 656
.P.A. etapas 109 110 111 112 113
.
primo P.G. 43 86 172 344 688
P.A. etapas 29 30 31 32 33
.
composto P.G. 45 90 180 360 720
P.A. etapas 16 17 18 19 20
.
primo P.G. 47 94 188 376 752
P.A. etapas 104 105 106 107 108
.
quadrado P.G. 49 98 196 392 784
P.A. etapas 24 25 26 27 28
.
composto P.G. 51 102 204 408 816
P.A. etapas 24 25 26 27 28
.
Collatz/Fermat (B) P.G. 53 106 212 424 848
P.A. etapas 11 12 13 14 15
.
composto P.G. 55 110 220 440 880
P.A. etapas 112 113 114 115 116
P.A.
composto P.G. 57 114 228 456 912
P.A. etapas 32 32 33 34 35
.            
primo P.G. 59 118 236 472 944
P.A. etapas 32 33 34 35 36
 
primo P.G. 61 122 244 488 976
P.A. etapas 19 20 21 22 23
.
(Mersenne) P.G. 63 126 252 504 1008
P.A. etapas 107 108 109 110 111
.
composto P.G. 65 130 260 520 1040
P.A. etapas 27 28 29 30 31
.
primo P.G. 67 134 268 536 1072
P.A. etapas 27 28 29 30 31
.
composto P.G. 69 138 276 552 1104
P.A. etapas 14 16 17 18 19
.
primo P.G. 71 142 284 568 1136
P.A. etapas 102 103 104 105 106
.
primo P.G. 73 146 292 584 1168
P.A. etapas 115 116 117 118 119
.
composto P.G. 75 150 300 600 1200
P.A. etapas 14 15 16 17 18
.
composto P.G. 77 154 308 616 1232
P.A. etapas 22 23 24 25 26
.
primo P.G. 79 158 316 632 1264
P.A. etapas 35 36 37 38 39
.
quadrado P.G. 81 162 324 648 1296
P.A. etapas 22 23 24 25 26
.
primo P.G. 83 166 332 664 1328
P.A. etapas 110 111 112 113 114
.
Collatz/Fermat (A) P.G. 85 170 340 680 1360
P.A. etapas 9 10 11 12 13
.
composto P.G. 87 174 348 696 1392
P.A. etapas 30 31 32 33 34
.
primo P.G. 89 178 356 712 1424
P.A. etapas 30 31 32 33 34
.
composto P.G. 91 182 364 728 1456
P.A. etapas 92 93 94 95 96
.
composto P.G. 93 186 372 744 1488
P.A. etapas 17 18 19 20 21
.
composto P.G. 95 190 380 760 1520
P.A. etapas 105 106 107 108 109
.
primo P.G. 97 194 388 776 1552
P.A. etapas 118 119 120 121 122
.
composto P.G. 99 198 396 792 1584
P.A. etapas 25 26 27 28 29
 
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Potências de Base 2

Tipo de 10 20 30 40 50
Número Termo Termo Termo Termo Termo
.
potências base 2 P.G. 1 2 4 8 16
P.A. etapas 3 1 2 3 4

Potências de base 2 é uma sequência numérica que ao mesmo tempo é formada por potências e por progressão geométrica de razão 2 a qual possui uma característica especial: cada termo sucessor é o dobro do antecessor e cada termo antecessor é metade do termo sucessor e ao se efetuarem divisões sucessivas por 2 sempre se chegará ao número 1.

Qualquer potência de base 2 dividindo sucessivamente por 2, entre os cálculos, não haverá ocorrências de termos da sequência de Números de Collatz / Fermat (B) : ( 3, 13, 53, 213,...).

Potências de Base 2 chegam "diretamente" ao número 1.

Diferentemente das outras progressões geométricas, as etapas de cálculos formam P.A. de razão 1, a partir do segundo termo que é potência 2.

Potências de base 2 aplicadas à Conjectura de Collatz têm suas tabelas de cálculos formadas somente por um bloco.

Tabela 2
 
Conjectura de Collatz
a partir da potência 4 de base 2
etapas
   
Bloco 1
           
1 4   2 = 2
.
2 2   2 = 1
.
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Potências de Base 2 e Números Collatz / Fermat (A)

Potências de base 2 Quadrados Perfeitos podem ser geradas de Números de Collatz / Fermat (A) ( 1, 5, 21, 85, ...).

( 3 x 1 ) + 1 = 4

( 3 x 5 ) + 1 = 16

( 3 x 21 ) + 1 = 64

( 3 x 85 ) + 1 = 256

Qualquer potência de base 2 dividindo sucessivamente por 2, entre os cálculos, não haverá termos da sequência de Números de Collatz / Fermat (B) : ( 3, 13, 53, 213,...).

As potências de base 2 Quadrados Perfeitos geradas de Números de Collatz / Fermat (A) ( 1, 5, 21, 85, ...) aplicadas na Conjectura de Collatz têm 1 etapa a mais de cálculos.

Observação: o número 1 é também um Número de Collatz / Fermat (A) e gera a potência de base 2, o 4 que também é um número quadrado perfeito.

Números de Collatz / Fermat (A) aplicados à Conjectura de Collatz têm suas tabelas de cálculos formadas somente por um bloco.

Para mais informações, veja o estudo:

011-estudos-669-conjectura-collatz-e-potencias-base-2

Tabela 3
           
Conjectura de Collatz
a partir do Número 1 de Collatz / Fermat (A)
           
etapas          
           
Bloco 1
           
1 3 1 1 = 4
.
2 4   2 = 2
.
3 2   2 = 1
.
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Números de Mersenne

Números de Mersenne quando aplicados à Conjectura de Collatz, excetuando-se o número 3, as etapas de cálculos formam "sistema de dobradinhas", isto é, as quantidades de cálculos são números consecutivos.

O número 7 de Mersenne têm 16 etapas de cálculos.

Tipo de 10 20 30 40 50
Número Termo Termo Termo Termo Termo
.
(Mersenne) P.G. 7 14 28 56 112
P.A. etapas 16 17 18 19 20

O número 15 de Mersenne têm 17 etapas de cálculos.

Tipo de 10 20 30 40 50
Número Termo Termo Termo Termo Termo
.
(Mersenne) P.G. 15 30 60 120 240
P.A. etapas 17 18 19 20 21

16 e 17 são números consecutivos.

Números de Mersenne quando aplicados à Conjetura de Collatz, excetuando-se o número 3, as estruturas das tabelas são formadas por 3 blocos:

Para mais informações, veja o estudo:

011-estudos-664-conjectura-collatz-e-numeros-de-mersenne

Números Primos

Números que não fazem partes de termos de Números de Collatz / Fermat (A), bem como, de Números de Collatz / Fermat (B), têm as estruturas de suas tabelas formadas por 3 blocos.

A Tabela 4 com o número 11 demonstra um modelo de tabela de 3 blocos.

Lembrando que dependendo do número aplicado na Conjectura de Collatz, as etapas de cálculos podem ser curtas, longas ou extremamente longas.

Regularidades em tabelas de 3 partes

a) o Bloco 3 é finalizado com Números de Collatz / Fermat (B), no exemplo, o número 13;

b) o Bloco 2 é finalizado por progressão geométrica decrecente variável ( 160, 80, 40, 20, 10, 5 );

c) o Bloco 1 é finalizado por potências de base 2 decrescente variáveis.

Tabela 4
 
Conjectura de Collatz
a partir do número primo 11
           
etapas
 
Parte 3
.
1 3 11 1 = 34
.
2 34   2 = 17
.
3 3 17 1 = 52
.
4 52   2 = 26
.
5 26   2 = 13
 
Parte 2
.
6 3 13 1 = 40
.
7 40   2 = 20
.          
8 20   2 = 10
.
9 10   2 = 5
.
Parte 1
           
10 3 5 1 = 16
.
11 16   2 = 8
.
12 8   2 = 4
.
13 4   2 = 2
.          
14 2   2 = 1
 
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Números de Collatz / Fermat (B)

Números de Collatz / Fermat (B): ( 3, 13, 53, 213,... ) são números que antecedem progressão geométrica variável: ( 160, 80, 40, 20, 10, 5 ).

Números de Collatz / Fermat (B) aplicados à Conjectura Collatz têm suas tabelas formadas por 2 Blocos.

A Tabela 5 com o número 3 demonstra um modelo de tabela de 2 Blocos.

Para mais informações, veja o estudo:

011-estudos-668-conjectura-collatz-e-os-numeros-de-collatz-fermat

Observação: o número primo 3 é também Número de Mersenne, Número de Fermat da forma 4x+3.

Tabela 5
 
Conjectura de Collatz
a partir do número primo 3 de Mersenne
 
etapas
 
Bloco 2
.
1 3 3 1 = 10
.
2 10   2 = 5
.
Bloco 1
           
3 3 5 1 = 16
.
4 16   2 = 8
.
5 8   2 = 4
.
6 4   2 = 2
.
7 2   2 = 1
.
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Números Quadrados Perfeitos Ímpares

Assim como o quadrado perfeito 9, os demais quadrados perfeitos ímpares são os primeiros termos de P.G.s de razão 2 e as etapas de cálculos formam P.A.s de razões 1 cujos primeiros termos são as etapas de cálculos desses quadrados perfeitos.

Tipo de 10 20 30 40 50
Número Termo Termo Termo Termo Termo
.
Quadrado P.G. 9 18 36 72 144
P.A. etapas 19 20 21 22 23

Números Quadrados Perfeitos têm as estruturas de suas tabelas formadas por 3 Blocos.

A Tabela 4 com o número quadrado perfeito 9 demonstra um modelo de tabela de 3 Blocos.

Tabela 6
 
Conjectura de Collatz
a partir do número quadrado 9
           
etapas
 
Bloco 3
.
1 3 9 1 = 28
.
2 28   2 = 14
.
3 14   2 = 7
.
4 3 7 1 = 22
.
5 22   2 = 11
.
6 3 11 1 = 34
.
7 34   2 = 17
.
8 3 17 1 = 52
.
9 52   2 = 26
.
10 26   2 = 13
 
Bloco 2
.
11 3 13 1 = 40
.
12 40   2 = 20
.
13 20   2 = 10
.          
14 10   2 = 5
 
Bloco 1
.
15 3 5 1 = 16
.
16 16   2 = 8
.
17 8   2 = 4
.
18 4   2 = 2
.
19 2   2 = 1
 
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Quantidade de Blocos em Tabelas

O tipo de número utilizado na Conjectura de Collatz determinam as quantidades de blocos em tabelas.

Blocos são as partes da tabela onde se econtram determinados termos de sequências numéricas padrão, bem como, as etapas de cálculos aritméticos.

Tipo de Quantidades
número de Blocos
  da Tabela
   
potências de base 2 1
   
Números de Collatz / Fermat (A) 1
   
Números de Collatz / Fermat (B) 2
   
P.G. ( 5, 10, 20, 40, 80,...) 2
   
progessões geométricas de razão 2 3
   
Números de Mersenne 3
   
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Autor: Ricardo Silva - maio/2026

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020

SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022

SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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