Estimado Visitante / Internauta, estes números o fazem recordar de algo ?
3 - 4 - 5
Pois bem, estes números, Estimado Visitante / Internauta, são medidas dos lados do único triângulo retângulo escaleno formado por 3 números inteiros e consecutivos, conhecido também, como Terno Pitagórico Primitivo 3-4-5.
Veja que interessante..., dobrando sempre as medidas, ter-se-ão lados proporcionais (cada lado, a partir da segunda sequência, é o dobro do mesmo lado anterior), interessante..., não, Estimado Visitante / Internauta !
3 - 4 - 5 ( terno pitagórico primitivo )
6 - 8 - 10 (dobro - terno pitagórico derivado)
12 - 16 - 20 (dobro do dobro - terno pitagórico derivado)
24 - 32 - 40 (dobro do dobro do dobro - terno pitagórico derivado)
Pois bem, Estimado Visitante / Internauta, a priori, vamos focar no número 3 e nos dobros, dos dobros, dos dobros e assim sucessivamente...
3 - primeiro termo
6 - segundo termo
12 - terceiro termo
24 - quarto termo
48 - quinto termo
96 - sexto termo
192 - sétimo termo ...
O presente estudo demonstra que a Conjectura de Collatz apresenta regularidades numéricas quando da utilização de termos de progressões geométricas de razão 2 quanto:
a) a estrutura, exceto nos cálculos com os números 3 e 5, as demais tabelas são formadas por 3 Blocos;
b) aos cálculos aritiméticos, as (etapas) formam progressão aritmética de razão 1;
A Conjectura de Collatz é um problema matemático não resolvido, idealizado pelo Matemático alemão Lothar Collatz (1910-1990) em 1937 e que consiste em 2 simples regras:
1) escolha qualquer número natural inteiro, se for par divida por 2;
2) se for ímpar, multiplique por 3 e some 1 unidade (3x + 1).
A Tabela 1 apresenta as primeiras 10 potências de base 2 multiplicadas por 5.
Na coluna D, os produtos formam progressão geométrica (P.G) cujo primeiro termo é 5 e razão 2: ( 5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, ... )
Os termos em ordem decrescente ( 160, 80, 40, 20, 10, 5 ) aparecem nos cálculos da Conjectura de Collatz.
| Tabela 1 | ||||
| Potências de base 2 | ||||
| multiplicadas por 5 | ||||
| A | B | C | D | |
| ordem / | potências | produto | ||
| posição | base 2 | (P.G) | ||
| 1 | 1 | 5 | = | 5 |
| 2 | 2 | 5 | = | 10 |
| 3 | 4 | 5 | = | 20 |
| 4 | 8 | 5 | = | 40 |
| 5 | 16 | 5 | = | 80 |
| 6 | 32 | 5 | = | 160 |
| 7 | 64 | 5 | = | 320 |
| 8 | 128 | 5 | = | 640 |
| 9 | 256 | 5 | = | 1280 |
| 10 | 512 | 5 | = | 2560 |
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A Tabela 2 apresenta a progressão geométrica (P.G.) - 10 termo 5, razão 2 menos 1 unidade e dividida por 3.
Os números inteiros da coluna D, terminados em 3, são números que antececedem os cálculos de termos da P.G. decrescente variável: ( 160, 80, 40, 20, 10, 5 ) no Bloco 2 e consequentemente potências de base 2 em ordem decrescente: ( 16, 8, 4, 2, 1 ) no Bloco 1.
Na sequência ( 3, 13, 53, 213, 853,... ), excetuando-se o número 3, o demais números, são números de Fermat da forma 4x + 1. Esta sequência, aqui no WebSite Os Fantásticos Números Primos é denominada de Números de Collatz / Fermat (B).
| Tabela 2 | ||||
| Progressão Geométrica | ||||
| 10 termo 5 | ||||
| razão 2 | ||||
| A | B | C | D | E |
| ordem / | PG | menos 1 | divisão por | |
| posição | 10 termo 5 | unidade | 3 | |
| razão 2 | ||||
| Números | ||||
| de Collatz / Fermat (B) | ||||
| 1 | 5 | 4 | 1,333 | |
| 2 | 10 | 9 | 3 | Primo |
| 3 | 20 | 19 | 6,333 | |
| 4 | 40 | 39 | 13 | Primo |
| 5 | 80 | 79 | 26,333 | |
| 6 | 160 | 159 | 53 | Primo |
| 7 | 320 | 319 | 106,333 | |
| 8 | 640 | 639 | 213 | - |
| 9 | 1280 | 1279 | 426,333 | |
| 10 | 2560 | 2559 | 853 | Primo |
| 11 | 5120 | 5119 | 1706,333 | |
| 12 | 10240 | 10239 | 3413 | Primo |
| 13 | 20480 | 20479 | 6826,333333 | |
| 14 | 40960 | 40959 | 13653 | - |
| 15 | 81920 | 81919 | 27306,333 | |
| 16 | 163840 | 163839 | 54613 | - |
| 17 | 327680 | 327679 | 109226,333 | |
| 18 | 655360 | 655359 | 218453 | Primo |
| 19 | 1310720 | 1310719 | 436906,333 | |
| 20 | 2621440 | 2621439 | 873813 | - |
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A Tabela 3 apresenta os primeiros 20 termos da progressão geométrica (P.G.) cujo primeiro termo é 3 e razão 2.
Entre os termos, não há números quadrados perfeitos.
Para mais informações, veja:
011-estudos-666-conjectura-collatz-e-numeros-quadrados-multiplos-3-e-4
| Tabela 3 | |||
| Progressão Geométrica | |||
| primeiro termo 3 | |||
| razão 2 | |||
| ordem / | P.G. | raíz | |
| posição | quadrada | ||
| 1 | 3 | 1,732050808 | |
| 2 | 6 | 2,449489743 | |
| 3 | 12 | 3,464101615 | |
| 4 | 24 | 4,898979486 | |
| 5 | 48 | 6,92820323 | |
| 6 | 96 | 9,797958971 | |
| 7 | 192 | 13,85640646 | |
| 8 | 384 | 19,59591794 | |
| 9 | 768 | 27,71281292 | |
| 10 | 1536 | 39,19183588 | |
| 11 | 3072 | 55,42562584 | |
| 12 | 6144 | 78,38367177 | |
| 13 | 12288 | 110,8512517 | |
| 14 | 24576 | 156,7673435 | |
| 15 | 49152 | 221,7025034 | |
| 16 | 98304 | 313,5346871 | |
| 17 | 196608 | 443,4050067 | |
| 18 | 393216 | 627,0693742 | |
| 19 | 786432 | 886,8100135 | |
| 20 | 1572864 | 1254,138748 | |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | |||
Aplicando a Conjectura de Collatz em alguns termos da progressão geométrica cujo 10 termo 3 e razão 2, verifica-se as seguintes regularidades:
a) exceto a primeira Tabela 4 iniciada com o primeiro termo 3 da P.G. que possui 2 Blocos, as demais tabelas estão estruturadas em 3 Blocos;
b) a quantidades cálculos (etapas) formam progressão aritmética cujo primeiro termo é 7 e razão 1;
número 3 - 7 cálculos
número 6 - 8 cálculos
número 12 - 9 cálculos
número 24 - 10 cálculos
número 48 - 11 cálculos
c) o número 3 (células lilás) antecede a progressão geométrica decrescente ( 40, 20, 10, 5 ) nas demais tabelas;
d) o número 5 (células vermelhas) antecede a progressão geométrica formada por potências de base 2;
Entre os termos da P.G. ( 3, 6, 12, 24,... ), os cálculos com o termo 3 é único cuja tabela é formada por 2 Blocos.
Tabela com 7 cálculos.
Tabela com 2 Blocos.
| Tabela 4 | |||||
| Conjectura de Collatz | |||||
| a partir do número primo 3 | |||||
| etapas | |||||
| Bloco 2 | |||||
| 1 | 3 | 3 | 1 | = | 10 |
| . | |||||
| 2 | 10 | 2 | = | 5 | |
| Bloco 1 | |||||
| . | |||||
| 3 | 3 | 5 | 1 | = | 16 |
| . | |||||
| 4 | 16 | 2 | = | 8 | |
| . | |||||
| 5 | 8 | 2 | = | 4 | |
| . | |||||
| 6 | 4 | 2 | = | 2 | |
| . | |||||
| 7 | 2 | 2 | = | 1 | |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | |||||
Tabela com 8 cálculos.
Tabela com 3 Blocos.
| Tabela 5 | |||||
| Conjectura de Collatz | |||||
| a partir do número 6 | |||||
| etapas | |||||
| Bloco 3 | |||||
| 1 | 6 | 2 | = | 3 | |
| Bloco 2 | |||||
| . | |||||
| 2 | 3 | 3 | 1 | = | 10 |
| . | |||||
| 3 | 10 | 2 | = | 5 | |
| Bloco 1 | |||||
| . | |||||
| 4 | 3 | 5 | 1 | = | 16 |
| . | |||||
| 5 | 16 | 2 | = | 8 | |
| 6 | 8 | 2 | = | 4 | |
| . | |||||
| 7 | 4 | 2 | = | 2 | |
| 8 | 2 | 2 | = | 1 | |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | |||||
Tabela com 9 cálculos.
Tabela com 3 Blocos.
| Tabela 6 | |||||
| Conjectura de Collatz | |||||
| a partir do número 12 | |||||
| etapas | |||||
| Bloco 3 | |||||
| 0 | |||||
| 1 | 12 | 2 | = | 6 | |
| . | |||||
| 2 | 6 | 2 | = | 3 | |
| Bloco 2 | |||||
| . | |||||
| 3 | 3 | 3 | 1 | = | 10 |
| . | |||||
| 4 | 10 | 2 | = | 5 | |
| Bloco 1 | |||||
| . | |||||
| 5 | 3 | 5 | 1 | = | 16 |
| . | |||||
| 6 | 16 | 2 | = | 8 | |
| . | |||||
| 7 | 8 | 2 | = | 4 | |
| 8 | 4 | 2 | = | 2 | |
| . | |||||
| 9 | 2 | 2 | = | 1 | |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | |||||
Tabela com 10 cálculos.
Tabela com 3 Blocos.
| Tabela 7 | |||||
| Conjectura de Collatz | |||||
| a partir do número 24 | |||||
| etapas | |||||
| Bloco 3 | |||||
| 1 | 24 | 2 | = | 12 | |
| . | |||||
| 2 | 12 | 2 | = | 6 | |
| . | |||||
| 3 | 6 | 2 | = | 3 | |
| Bloco 2 | |||||
| . | |||||
| 4 | 3 | 3 | 1 | = | 10 |
| . | |||||
| 5 | 10 | 2 | = | 5 | |
| Bloco 1 | |||||
| . | |||||
| 6 | 3 | 5 | 1 | = | 16 |
| . | |||||
| 7 | 16 | 2 | = | 8 | |
| . | |||||
| 8 | 8 | 2 | = | 4 | |
| . | |||||
| 9 | 4 | 2 | = | 2 | |
| . | |||||
| 10 | 2 | 2 | = | 1 | |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | |||||
Tabela com 11 cálculos.
Tabela com 3 Blocos.
| Tabela 8 | |||||
| Conjectura de Collatz | |||||
| a partir do número 48 | |||||
| etapas | |||||
| Bloco 3 | |||||
| 1 | 48 | 2 | = | 24 | |
| . | |||||
| 2 | 24 | 2 | = | 12 | |
| . | |||||
| 3 | 12 | 2 | = | 6 | |
| . | |||||
| 4 | 6 | 2 | = | 3 | |
| Bloco 2 | |||||
| . | |||||
| 5 | 3 | 3 | 1 | = | 10 |
| . | |||||
| 6 | 10 | 2 | = | 5 | |
| Bloco 1 | |||||
| . | |||||
| 7 | 3 | 5 | 1 | = | 16 |
| . | |||||
| 8 | 16 | 2 | = | 8 | |
| . | |||||
| 9 | 8 | 2 | = | 4 | |
| . | |||||
| 10 | 4 | 2 | = | 2 | |
| . | |||||
| 11 | 2 | 2 | = | 1 | |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | |||||
A Tabela 9 apresenta os primeiros 20 termos da progressão geométrica (P.G.) cujo primeiro termo é 5 e razão 2.
Entre os termos, não há números quadrados perfeitos.
Para mais informações, veja:
011-estudos-666-conjectura-collatz-e-numeros-quadrados-multiplos-3-e-4
| Tabela 9 | ||
| Progressão Geométrica | ||
| primeiro termo 5 | ||
| razão 2 | ||
| ordem / | P.G. | raíz |
| posição | quadrada | |
| 1 | 5 | 2,236067977 |
| 2 | 10 | 3,16227766 |
| 3 | 20 | 4,472135955 |
| 4 | 40 | 6,32455532 |
| 5 | 80 | 8,94427191 |
| 6 | 160 | 12,64911064 |
| 7 | 320 | 17,88854382 |
| 8 | 640 | 25,29822128 |
| 9 | 1280 | 35,77708764 |
| 10 | 2560 | 50,59644256 |
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | ||
Observação importante: este é um caso especial por começar no Bloco 1.
Aplicando a Conjectura de Collatz em alguns termos da progressão geométrica cujo 10 termo 5 e razão 2, verifica-se as seguintes regularidades:
a) exceto a primeira Tabela 10 iniciada com o primeiro termo 5 da P.G. que possui um Bloco, as demais tabelas estão estruturadas em 2 Blocos;
b) as quantidades cálculos (etapas) formam progressão aritmética cujo primeiro termo é 5 e razão 1;
número 5 - 5 cálculos
número 10 - 6 cálculos
número 20 - 7 cálculos
número 40 - 8 cálculos
c) o número 5 (células vermelhas) antecede a progressão geométrica formada por potências de base 2;
Entre os termos da P.G. ( 5, 10, 20, 40,... ), os cálculos com o termo 5 é único cuja tabela é formada por um Bloco.
Tabela com 5 cálculos.
Tabela com 1 Bloco.
| Tabela 10 | |||||
| Conjectura de Collatz | |||||
| a partir do número 5 | |||||
| . | |||||
| etapas | |||||
| Bloco 1 | |||||
| . | |||||
| 1 | 3 | 5 | 1 | = | 16 |
| . | |||||
| 2 | 16 | 2 | = | 8 | |
| . | |||||
| 3 | 8 | 2 | = | 4 | |
| . | |||||
| 4 | 4 | 2 | = | 2 | |
| . | |||||
| 5 | 2 | 2 | = | 1 | |
| . | |||||
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | |||||
Tabela com 6 cálculos.
Tabela com 2 Blocos.
| Tabela 11 | |||||
| Conjectura de Collatz | |||||
| a partir do número 10 | |||||
| . | |||||
| etapas | |||||
| Bloco 2 | |||||
| . | |||||
| 1 | 10 | 2 | = | 5 | |
| Bloco 1 | |||||
| . | |||||
| 2 | 3 | 5 | 1 | = | 16 |
| . | |||||
| 3 | 16 | 2 | = | 8 | |
| . | |||||
| 4 | 8 | 2 | = | 4 | |
| . | |||||
| 5 | 4 | 2 | = | 2 | |
| . | |||||
| 6 | 2 | 2 | = | 1 | |
| . | |||||
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | |||||
Tabela com 7 cálculos.
Tabela com 2 Blocos.
| Tabela 12 | |||||
| Conjectura de Collatz | |||||
| a partir do número 20 | |||||
| etapas | |||||
| Bloco 2 | |||||
| 1 | 20 | 2 | = | 10 | |
| . | |||||
| 2 | 10 | 2 | = | 5 | |
| Bloco 1 | |||||
| . | |||||
| 3 | 3 | 5 | 1 | = | 16 |
| . | |||||
| 4 | 16 | 2 | = | 8 | |
| . | |||||
| 5 | 8 | 2 | = | 4 | |
| . | |||||
| 6 | 4 | 2 | = | 2 | |
| . | |||||
| 7 | 2 | 2 | = | 1 | |
| . | |||||
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | |||||
Tabela com 8 cálculos.
Tabela com 2 Blocos.
| Tabela 13 | |||||
| Conjectura de Collatz | |||||
| a partir do número 40 | |||||
| . | |||||
| etapas | |||||
| Bloco 2 | |||||
| . | |||||
| 1 | 40 | 2 | = | 20 | |
| . | |||||
| 2 | 20 | 2 | = | 10 | |
| . | |||||
| 3 | 10 | 2 | = | 5 | |
| Bloco 1 | |||||
| . | |||||
| 4 | 3 | 5 | 1 | = | 16 |
| . | |||||
| 5 | 16 | 2 | = | 8 | |
| . | |||||
| 6 | 8 | 2 | = | 4 | |
| . | |||||
| 7 | 4 | 2 | = | 2 | |
| . | |||||
| 8 | 2 | 2 | = | 1 | |
| . | |||||
| www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | |||||
A Tabela 14 apresenta os primeiros 20 termos da progressão geométrica (P.G.) cujo primeiro termo é 7 e razão 2.
Entre os termos, não há números quadrados perfeitos.
Para mais informações, veja:
011-estudos-666-conjectura-collatz-e-numeros-quadrados-multiplos-3-e-4
| Tabela 14 | ||
| Progressão Geométrica | ||
| primeiro termo 7 | ||
| razão 2 | ||
| ordem / | P.G. | raíz |
| posição | quadrada | |
| 1 | 7 | 2,645751311 |
| 2 | 14 | 3,741657387 |
| 3 | 28 | 5,291502622 |
| 4 | 56 | 7,483314774 |
| 5 | 112 | 10,58300524 |
| 6 | 224 | 14,96662955 |
| 7 | 448 | 21,16601049 |
| 8 | 896 | 29,93325909 |
| 9 | 1792 | 42,33202098 |
| 10 | 3584 | 59,86651819 |
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Aplicando a Conjectura de Collatz em alguns termos da progressão geométrica cujo 10 termo 7 e razão 2, verifica-se as seguintes regularidades:
a) as tabelas estão estruturadas em 3 Blocos;
b) a quantidades cálculos (etapas) formam progressão aritmética cujo primeiro termo é 16 e razão 1;
número 7 - 16 cálculos
número 14 - 17 cálculos
número 28 - 18 cálculos
número 56 - 19 cálculos
c) o número 13 (células lilás) antecede a progressão geométrica decrescente ( 40, 20, 10, 5 ) nas demais tabelas;
c) o número 5 (células vermelhas) antecede a progressão geométrica formada por potências de base 2;
Tabela com 16 cálculos.
Tabela com 3 Blocos.
| .Tabela 15 | |||||
| Conjectura de Collatz | |||||
| a partir do número 7 | |||||
| etapas | |||||
| Bloco 3 | |||||
| . | |||||
| 1 | 3 | 7 | 1 | = | 22 |
| . | |||||
| 2 | 22 | 2 | = | 11 | |
| . | |||||
| 3 | 3 | 11 | 1 | = | 34 |
| . | |||||
| 4 | 34 | 2 | = | 17 | |
| . | |||||
| 5 | 3 | 17 | 1 | = | 52 |
| . | |||||
| 6 | 52 | 2 | = | 26 | |
| . | |||||
| 7 | 26 | 2 | = | 13 | |
| Bloco 2 | |||||
| . | |||||
| 8 | 3 | 13 | 1 | = | 40 |
| . | |||||
| 9 | 40 | 2 | = | 20 | |
| . | |||||
| 10 | 20 | 2 | = | 10 | |
| . | |||||
| 11 | 10 | 2 | = | 5 | |
| Bloco 1 | |||||
| . | |||||
| 12 | 3 | 5 | 1 | = | 16 |
| . | |||||
| 13 | 16 | 2 | = | 8 | |
| . | |||||
| 14 | 8 | 2 | = | 4 | |
| . | |||||
| 15 | 4 | 2 | = | 2 | |
| . | |||||
| 16 | 2 | 2 | = | 1 | |
| . | |||||
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Tabela com 17 cálculos.
Tabela com 3 Blocos.
| .Tabela 16 | |||||
| Conjectura de Collatz | |||||
| a partir do número 14 | |||||
| etapas | |||||
| Bloco 3 | |||||
| . | |||||
| 1 | 14 | 2 | = | 7 | |
| . | |||||
| 2 | 3 | 7 | 1 | = | 22 |
| . | |||||
| 3 | 22 | 2 | = | 11 | |
| . | |||||
| 4 | 3 | 11 | 1 | = | 34 |
| . | |||||
| 5 | 34 | 2 | = | 17 | |
| . | |||||
| 6 | 3 | 17 | 1 | = | 52 |
| . | |||||
| 7 | 52 | 2 | = | 26 | |
| . | |||||
| 8 | 26 | 2 | = | 13 | |
| Bloco 2 | |||||
| . | |||||
| 9 | 3 | 13 | 1 | = | 40 |
| . | |||||
| 10 | 40 | 2 | = | 20 | |
| . | |||||
| 11 | 20 | 2 | = | 10 | |
| . | |||||
| 12 | 10 | 2 | = | 5 | |
| Bloco 1 | |||||
| . | |||||
| 13 | 3 | 5 | 1 | = | 16 |
| . | |||||
| 14 | 16 | 2 | = | 8 | |
| . | |||||
| 15 | 8 | 2 | = | 4 | |
| 16 | 4 | 2 | = | 2 | |
| . | |||||
| 17 | 2 | 2 | = | 1 | |
| . | |||||
| .www.osfantasticosnumerosprimos.com.br | |||||
O tipo de número utilizado na Conjectura de Collatz determinam as quantidades de blocos em tabelas.
Blocos são as partes da tabela onde se econtram determinados termos de sequências numéricas padrão, bem como, as etapas de cálculos aritméticos.
| Tipo de | Quantidades |
| número | de Blocos |
| da Tabela | |
| potências de base 2 | 1 |
| Números de Collatz / Fermat (A) | 1 |
| Números de Collatz / Fermat (B) | 2 |
| P.G. ( 5, 10, 20, 40, 80,...) | 2 |
| progessões geométricas de razão 2 | 3 |
| Números de Mersenne | 3 |
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Aplicando a Conjectura de Collatz em termos de progressões geométricas de razão 2, as quantidades de cálculos (etapas) formam progressão aritmética de razão 1 e as tabelas se estruturam em 3 Blocos, com exceção, das tabelas dos números 3 e 5; o número 3 por ser um Número de Collatz/Fermat (B) e o número 5 por ser um termo da progressão geométrica decrescente: (40, 20, 10, 5), como também, um Número de Collatz/Fermat (A).
Conforme se verifica a Conjectura de Collatz apresenta fortes relações matemáticas com progressões geométricas de razão 2.
Autor: Ricardo Silva - maio/2026
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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