Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Conjectura de Collatz e Potências de Base 2 - 669

A Conjectura de Collatz é um problema matemático não resolvido, idealizado pelo Matemático alemão Lothar Collatz (1910-1990), em 1937.

A conjectura ficou também conhecida como problema 3x+1, Conjectura de Ulam, Problema de Kakutani, Algoritmo de Hass, Números de Granizo, Números Maravilhosos e Problema de Siracusa e que consiste em 2 simples regras:

1) escolha qualquer número natural inteiro, se for par divida por 2;

2) se for ímpar, multiplique por 3 e some 1 unidade (3x + 1).

O presente estudo demonstra que quando da aplicação da Conjectura de Collatz às potências de base 2, as etapas de cálculos se estruturam em um só bloco e onde há exclusivamente resultados com potências de base 2 decrescentes, isto é, diferentemente de outras progressões geométricas de razão 2, Números de Mersenne, Números de Collatz / Fermat (B) cujas etapas de cálculos se estruturam em 3 e 2 blocos respectivamente.

Número ímpar que é o primeiro termo de uma progressão geométrica de razão 2 é o que gera uma tabela matriz com certas quantidades de cálculos (etapas) e partir destas quantidades de cálculos, aplicando-se a Conjectura de Collatz aos demais termos dessa P.G., as quantidades de cálculos forma-se-ão progressão aritmética de razão 1.

Potências de base 2 quadrados perfeitos, a partir do quadrado 1, também podem ser obtidas a partir de Números de Collatz / Fermat (A), podendo, desta forma, serem efetuados cálculos semelhantes e variantes.

Observação importantíssima: pelo fato dos estudos da Conjectura de Collatz realizados pelo WebSite Os Fantásticos Números Primos envolverem números de Fermat das formas 4x+1 e 4x+3, decidiu-se tipificá-los para uma melhor clareza nos textos:

a) Números de Collatz / Fermat (A): ( 1, 5, 21, 85, 341,...);

b) Números de Collatz / Fermat (B): ( 3, 13, 53, 213,...).

Potências de base 2

Obtêm-se potências de base 2, elevando-se ao número 2 expoentes com números naturais ou através da multiplicação cujos fatores é o próprio número 2.

2⁰ = 1

2¹ = 2

2² = 2 x 2 = 4

2³ = 2 x 2 x 2 = 8

2⁴ = 2 x 2 x 2 x 2 = 16

2⁵ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32

2⁶ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64

2⁷ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 128

2⁸ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 256

2⁹ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 512

2¹⁰ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 1024

( 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,... )

As potências de base 2 é uma sequência numérica especial, pois é, ao mesmo tempo, sequência de potências e progressão geométrica de razão 2, de forma que cada termo sucessor é o dobro do antecessor e cada termo antecessor é metade do termo sucessor e ao se efetuarem divisões sucessivas por 2 sempre se chegará ao número 1.

Produto de 3 por Ímpar somado 1 unidade

A Tabela 1 apresenta alguns produtos do número 3 por número ímpar somado 1 unidade e as seguintes propriedades:

a) o produto do número 3 por determinados números ímpares somado 1 unidade têm como resultados números quadrados perfeitos que são potências de base 2 (células laranjas);

( 4, 16, 64, 256, ... )

b) os números ímpares são números de Fermat da forma 4x + 1 (células azuis);

Esta sequência: ( 1, 5, 21, 85, 341,... ), está sendo denominada de Números de Collatz / Fermat (A).

c) a diferença entre dois termos consecutivos dos Números de Collatz / Fermat (A) é um quadrado perfeito de potência de base 2;

1 ( 4 ) 5 ( 16 ) 21 ( 64 ) 85 ( 256 ) 341,...

Número 4 e os de Números de Collatz / Fermat (A)

Multiplicando-se 4 por 0, somando-se 1 unidade, obtem-se o número 1 que é o primeiro termo da sequência de Números de Collatz / Fermat (A) ( 1, 5, 21, 85, ...).

Multiplicando-se o 4 pelo primeiro termo 1 e somando 1 unidade, obtem-se o segundo termo 5.

Continuando-se o processo de multiplicar 4 por um termo anterior e somando 1 unidade, obtêm-se os demais termos da sequência de Números de Collatz / Fermat (A): ( 1, 5, 21, 85, ...).

i) ( 4 x 0 ) + 1 = 1

ii) ( 4 x 1 ) + 1 = 5

iii) ( 4 x 5 ) + 1 = 21

iv) ( 4 x 21 ) + 1 = 85

v) ( 4 x 85 ) + 1 = 341

vi) ( 4 x 341 ) + 1 = 1365

Tipos de Estruturas de Tabelas de Collatz

O tipo de estrutura, isto é, as quantidades de blocos de uma tabela quando da aplicação da Conjectura de Collatz, está condicionada se tal número é ou não termo das seguintes sequências:

a) Números de Collatz / Fermat (A) : ( 1, 5, 21, 85, 341,...);

b) Números de Collatz / Fermat (B) : ( 3, 13, 53, 213,...),

bem como, potências de base 2.

Tabela com 3 Blocos

O número primo 11 não é termo das seguintes sequências:

a) Números de Collatz / Fermat (A) : ( 1, 5, 21, 85, 341,...);

b) Números de Collatz / Fermat (B) : ( 3, 13, 53, 213,...);

c) potência de base 2.

Números que não são termos das sequências acima, as estruturas de suas tabelas são em 3 blocos.

Tabela com 2 Blocos

O número primo 3 é um dos termos da sequência: Números de Collatz / Fermat (B) : ( 3, 13, 53, 213,...).

Números que são termos da sequência acima, as estruturas de suas tabelas são em 2 Blocos.

Potências de base 2 e Conjectura de Collatz

Quando da aplicação da Conjectura de Collatz em potências de base 2, constata-se as seguintes propriedades:

a) as tabelas têm estruturas formadas somente por um Bloco.

b) nos resultados dos cálculos, há somente potências de base 2;

c) as quantidade de cálculos (etapas) das potências de base 2 forma progressão aritmética de razão 1, a partir da potência 2;

potência 1 - 3 cálculos

potência 2 - 1 cálculos

potência 4 - 2 cálculos

potência 8 - 3 cálculos

e assim sucessivamente...

Excetuando-se a potência 1, as demais potências de base 2 não são termos das seguinte sequências:

a) Números de Collatz / Fermat (A) : ( 1, 5, 21, 85, 341,...);

b) Números de Collatz / Fermat (B) : ( 3, 13, 53, 213,...).

Potência 1 de base 2

Observação importante: a potência 1 de base 2, mesmo sendo ímpar e o primeiro termo das potências de base 2, neste caso, não determina as quantidades de cálculos (etapas) dos demais termos sucessores das potências de base 2 e sim a potência 2 que começa com 1 cálculo.

a) tabela formada somente por 1 Bloco.

b) há 3 etapas de cálculos para se chegar ao 1.

Potência 2 de base 2

a) tabela formada somente por 1 Bloco.

b) há 1 etapa de cálculo para se chegar ao 1.

Observação importante: a potência 2 é que inícia as demais quantidades de cálculos das demais potências de base 2.

Potência 4 de base 2

a) tabela formada somente por 1 Bloco.

b) há 2 etapas de cálculos para se chegar ao 1.

Potência 8 de base 2

a) tabela formada somente por 1 Bloco.

b) há 3 etapas de cálculos para se chegar ao 1.

Potência 16 de base 2

a) tabela formada somente por 1 Bloco.

b) há 4 etapas de cálculos para se chegar ao 1.

Potência 32 de base 2

a) tabela formada somente por 1 Bloco.

b) há 5 etapas de cálculos para se chegar ao 1.

Potência 64 de base 2

a) tabela formada somente por 1 Bloco.

b) há 6 etapas de cálculos para se chegar ao 1.

Números de Collatz / Fermat (A) e Tabelas Variantes

Quando da aplicação de Números de Collatz / Fermat (A) : ( 1, 5, 21, 85, 341,...) (células verdes) na Conjectura de Collatz, obtêm tabelas semelhantes com potências de base 2 quadrados perfeitos cujas etapas de cálculos é 1 unidade maior que a tabela original.

Número 1 de Collatz / Fermat (A) - gera o quadrado 4

Observação importante: o número 1 é potência de base 2 e também termo da sequência de Números de Collatz / Fermat (A) : ( 1, 5, 21, 85, 341,... ).

a) tabela formada somente por 1 Bloco.

b) há 3 etapas de cálculos para se chegar ao 1.

c) esta tabela é semelhante à Tabela 4 - Potência 1 de base 2.

Número 5 de Collatz / Fermat (A) - gera o quadrado 16

a) tabela formada somente por 1 Bloco.

b) há 5 etapas de cálculos para se chegar ao 1.

c) esta tabela é semelhante à Tabela 8 - Potência 16 de base 2.

Número 21 de Collatz / Fermat (A) - gera o quadrado 64

a) tabela formada somente por 1 Bloco.

b) há 7 etapas de cálculos para se chegar ao 1.

c) esta tabela é semelhante à Tabela 9 - Potência 64 de base 2.

Quantidade de Blocos em Tabelas

O tipo de número utilizado na Conjectura de Collatz determinam as quantidades de blocos em tabelas.

Blocos são as partes da tabela onde se econtram determinados termos de sequências numéricas padrão, bem como, as etapas de cálculos aritméticos.

Autor: Ricardo Silva - maio/2026

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020

SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022

SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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