A Conjectura de Collatz é um problema matemático não resolvido, idealizado pelo Matemático alemão Lothar Collatz (1910-1990), em 1937 e que consiste em 2 simples regras:
1) escolha qualquer número natural inteiro, se for par divida por 2;
2) se for ímpar, multiplique por 3 e some 1 unidade ( 3x + 1 ).
A Conjectura de Collatz afirma que aplicando as 2 regras continuamente, os resultados finais serão sempre as potências de base 2: ( 4, 2, 1 ) e estas se repetindo infinitamente aplicando-se as 2 regras.
O presente estudo demonstra a aplicação da Conjectura de Collatz em alguns Números de Mersenne na qual se verificaram "certas regularidades" que por ventura, possam ser padrões numéricos a contribuir a tal conjectura, a saber:
a) Bloco 1 - (células laranjas) nas linhas finais das tabelas, há formações de potências de base 2 em ordem decrescente variável: ( 16, 8, 4, 2, 1 );
b) Bloco 2 - (células azuis) antes das potências de base 2, há formação da progressão geométrica decrescente variável: ( 160, 80, 40, 20, 10, 5 ) de razão 2;
c) Bloco 3 - antes da progressão geométrica decrescente variável: ( 160, 80, 40, 20, 10, 5 ), há ocorrências de números primos ou compostos terminados em 3 (células liláses) que quando multiplicado por 3 e somado 1 unidade, tem como resultado o primeiro termo da progressão geométrica decrescente variável: ( 160, 80, 40, 20, 10, 5 ) e é justamente a partir desta etapa e que vão acontecendo as finalizações da Conjectura de Collatz até se chegar às potências de base 2: ( 16, 8, 4, 2 e 1 ).
d) os números primos 13 e 53 são termos da sequência de Números de Collatz / Fermat (B) : ( 3, 13, 53, 213,... ) (células liláses) e que aparecem com mais frequência no final da Bloco 3 antes da P.G. decrescente variável ( 160, 80, 40, 20, 10, 5 ) da Bloco 2.
A sequência de Números de Collatz / Fermat (B): (3, 13, 53, 213, 853,... ) têm entre seus termos números da forma 4x + 1 e 4x + 3 que podem ser gerados da P.G. variável, 10 termo 5, razão 2, veja abaixo, Tabela 7;
e) as etapas de cálculos, excetuando-se a Tabela 1, com o número primo 3 de Mersenne, apresentam-se por "sistema de dobradinhas", isto é, as etapas de cálculos são números consecutivos:
número 7 - 16 etapas de cálculos
número 15 - 17 etapas de cálculos
número 31 - 106 etapas de cálculos
número 63 - 107 etapas de cálculos
número 127 - 46 etapas de cálculos
número 255 - 47 etapas de cálculos
número 511 - 61 etapas de cálculos
número 1023 - 62 etapas de cálculos
número 2047 - 156 etapas de cálculos
número 4095 - 157 etapas de cálculos
Interessante destacar que multiplicando 5 por cada potência de base 2: ( 16, 8, 4, 2, 1 ), obtêm-se termos da progressão geométrica decrescente: ( 160, 80, 40, 20, 10, 5).
Marin Mersenne (1588-1648), matemático, teórico musical, padre mínimo, teólogo e filósofo francês, também estudou os números perfeitos apresentado a seguinte fórmula:
| 2n - 1 |
onde uma potência de base 2 elevada a um número natural e subtraindo 1 unidade gera um número antecessor de uma potência de base 2.
Números gerados pela Fórmula de Mersenne, são chamados de Primos de Mersenne, mas nem todos os números gerados são primos, há números compostos também.
Número Primo de Mersenne multiplicado pelo seu sucessor e posteriormente dividido por 2 tem como resultado um número perfeito, o mesmo que:
O produto de 2 números consecutivos dividido por 2 tem como resultado um número triangular.
Todo número perfeito é um número triangular, mas nem todo número triangular é um número perfeito.
Alguns números de Mersenne: ( 1, 3 , 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, 2047,... )
3 é um número primo de Mersenne.
3 é um número de Fermat da forma 4x+3.
3 é um número de Collatz / Fermat (B).
Há 7 etapas para se chegar ao 1.
Observações:
a) 3 é a soma das potências de base 2: 1 + 2 = 3;
b) 3 é a soma dos divisores próprios da potência 4 de base 2;
c) 3 é 1 unidade menor que a potência de base 2, o 4.
Interessante observar que como o número 3 pode ser gerado da P.G.: ( 5, 10, 20, 40, 80,... ) da Tabela 7, os cálculos se iniciam diretamente na Bloco 2.
O número primo 5, último termo da P.G. variável decrescente: ( 40, 20, 10, 5 ) e também número de Collatz / Fermat (A) (célula vermelha), antecede as potências de base 2: ( 16, 8, 4, 2, 1 ).
Observação importante: o número 3, por ser também um Número de Collatz / Fermat (B), têm a estrutura da tabela formada por 2 Blocos.
| Tabela 1 | |||||
| Conjectura de Collatz | |||||
| a partir do número primo 3 de Mersenne | |||||
| etapas | |||||
| Bloco 2 | |||||
| . | |||||
| 1 | 3 | 3 | 1 | = | 10 |
| . | |||||
| 2 | 10 | 2 | = | 5 | |
| . | |||||
| Bloco 1 | |||||
| 3 | 3 | 5 | 1 | = | 16 |
| . | |||||
| 4 | 16 | 2 | = | 8 | |
| . | |||||
| 5 | 8 | 2 | = | 4 | |
| . | |||||
| 6 | 4 | 2 | = | 2 | |
| . | |||||
| 7 | 2 | 2 | = | 1 | |
| . | |||||
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7 é um número primo de Mersenne.
7 é um número de Fermat da forma 4x+3.
Há 16 etapas para se chegar ao 1.
Observações:
a) 7 é a soma das potências de base 2: 1 + 2 + 4 = 7;
b) 7 é a soma dos divisores próprios da potência 8 de base 2;
c) 7 é 1 unidade menor que a potência de base 2, o 8.
O número primo 13, Número de Collatz / Fermat (B) (célula lilás), antecede a P.G.: ( 40, 20, 10, 5 ).
O número primo 5, último termo da P.G. variável decrescente: ( 40, 20, 10, 5 ) e também número de Collatz / Fermat (A) (célula vermelha), antecede as potências de base 2: ( 16, 8, 4, 2, 1 ).
Observação importante: o número 7, por não ser um Número de Collatz / Fermat (A), Número de Collatz / Fermat (B) e nem termo de potência de base 2, têm a estrutura da tabela formada por 3 Blocos.
| Tabela 2 | |||||
| Conjectura de Collatz | |||||
| a partir do número 7 de Mersenne | |||||
| etapas | |||||
| Bloco 3 | |||||
| 1 | 3 | 7 | 1 | = | 22 |
| 2 | 22 | : | 2 | = | 11 |
| 3 | 3 | 11 | 1 | = | 34 |
| 4 | 34 | : | 2 | = | 17 |
| 5 | 3 | 17 | 1 | = | 52 |
| 6 | 52 | : | 2 | = | 26 |
| 7 | 26 | : | 2 | = | 13 |
| Bloco 2 | |||||
| 8 | 3 | 13 | 1 | = | 40 |
| 9 | 40 | : | 2 | = | 20 |
| 10 | 20 | : | 2 | = | 10 |
| 11 | 10 | : | 2 | = | 5 |
| Bloco 1 | |||||
| 12 | 3 | 5 | 1 | = | 16 |
| 13 | 16 | 2 | = | 8 | |
| 14 | 8 | : | 2 | = | 4 |
| 15 | 4 | : | 2 | = | 2 |
| 16 | 2 | : | 2 | = | 1 |
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15 é um número composto de Mersenne.
15 é um número de Fermat da forma 4x+3.
Há 17 etapas para se chegar ao 1.
Observações:
a) 15 é a soma das potências de base 2: 1 + 2 + 4 + 8 = 15;
b) 15 é a soma dos divisores próprios da potência 16 de base 2;
c) 15 é 1 unidade menor que a potência de base 2, o 16.
O número primo 53, Número de Collatz / Fermat (B) (célula lilás), antecede a P.G.: ( 160, 80, 40, 20, 10, 5 ).
O número primo 5, último termo da P.G. variável decrescente: ( 40, 20, 10, 5 ) e também número de Collatz / Fermat (A) (célula vermelha), antecede as potências de base 2: ( 16, 8, 4, 2, 1 ).
Observação importante: o número 15, por não ser um Número de Collatz / Fermat (A), Número de Collatz / Fermat (B) e nem termo de potência de base 2, têm a estrutura da tabela formada por 3 Blocos.
| Tabela 3 | |||||
| Conjectura de Collatz | |||||
| a partir do número composto 15 de Mersenne | |||||
| etapas | |||||
| Bloco 3 | |||||
| 1 | 3 | 15 | 1 | = | 46 |
| 2 | 46 | 2 | = | 23 | |
| 3 | 3 | 23 | 1 | = | 70 |
| 4 | 70 | 2 | = | 35 | |
| 5 | 3 | 35 | 1 | = | 106 |
| 6 | 106 | 2 | = | 53 | |
| Bloco 2 | |||||
| 7 | 3 | 53 | 1 | = | 160 |
| 8 | 160 | 2 | = | 80 | |
| 9 | 80 | 2 | = | 40 | |
| 10 | 40 | 2 | = | 20 | |
| 11 | 20 | 2 | = | 10 | |
| 12 | 10 | 2 | = | 5 | |
| Bloco 1 | |||||
| 13 | 3 | 5 | 1 | = | 16 |
| 14 | 16 | 2 | = | 8 | |
| 15 | 8 | 2 | = | 4 | |
| 16 | 4 | 2 | = | 2 | |
| 17 | 2 | 2 | = | 1 | |
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31 é um número primo de Mersenne.
31 é um número de Fermat da forma 4x+3.
Há 106 etapas para se chegar ao 1.
Observações:
a) 31 é a soma das potências de base 2: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31;
b) 31 é a soma dos divisores próprios da potência 32 de base 2;
c) 31 é 1 unidade menor que a potência de base 2, o 32.
O número primo 53, Número de Collatz / Fermat (B) (célula lilás), antecede a P.G.: ( 160, 80, 40, 20, 10, 5 ).
O número primo 5, último termo da P.G. variável decrescente: ( 40, 20, 10, 5 ) e também número de Collatz / Fermat (A) (célula vermelha) antecede as potências de base 2: ( 16, 8, 4, 2, 1 ).
Observação importante: o número 31, por não ser um Número de Collatz / Fermat (A), Número de Collatz / Fermat (B) e nem termo de potência de base 2, têm a estrutura da tabela formada por 3 Blocos.
| Tabela 4 | |||||
| .Conjectura de Collatz | |||||
| .a partir do número primo 31 de Mersenne | |||||
| . | |||||
| etapas | |||||
| Bloco 3 | |||||
| 1 | 3 | 31 | 1 | = | 94 |
| . | |||||
| 2 | 94 | 2 | = | 47 | |
| . | |||||
| 3 | 3 | 47 | 1 | = | 142 |
| . | |||||
| 4 | 142 | 2 | = | 71 | |
| . | |||||
| 5 | 3 | 71 | 1 | = | 214 |
| . | |||||
| 6 | 214 | 2 | = | 107 | |
| . | |||||
| 7 | 3 | 107 | 1 | = | 322 |
| . | |||||
| 8 | 322 | 2 | = | 161 | |
| . | |||||
| 9 | 3 | 161 | 1 | = | 484 |
| . | |||||
| 10 | 484 | 2 | = | 242 | |
| . | |||||
| 11 | 242 | 2 | = | 121 | |
| . | |||||
| 12 | 3 | 121 | 1 | = | 364 |
| . | |||||
| 13 | 364 | 2 | = | 182 | |
| . | |||||
| 14 | 182 | 2 | = | 91 | |
| . | |||||
| 15 | 3 | 91 | 1 | = | 274 |
| . | |||||
| 16 | 274 | 2 | = | 137 | |
| . | |||||
| 17 | 3 | 137 | 1 | = | 412 |
| . | |||||
| 18 | 412 | 2 | = | 206 | |
| . | |||||
| 19 | 206 | 2 | = | 103 | |
| . | |||||
| 20 | 3 | 103 | 1 | = | 310 |
| . | |||||
| 21 | 310 | 2 | = | 155 | |
| . | |||||
| 22 | 3 | 155 | 1 | = | 466 |
| . | |||||
| 23 | 466 | 2 | = | 233 | |
| . | |||||
| 24 | 3 | 233 | 1 | = | 700 |
| . | |||||
| 25 | 700 | 2 | = | 350 | |
| . | |||||
| 26 | 350 | 2 | = | 175 | |
| . | |||||
| 27 | 3 | 175 | 1 | = | 526 |
| . | |||||
| 28 | 526 | 2 | = | 263 | |
| . | |||||
| 29 | 3 | 263 | 1 | = | 790 |
| . | |||||
| 30 | 790 | 2 | = | 395 | |
| . | |||||
| 31 | 3 | 395 | 1 | = | 1186 |
| . | |||||
| 32 | 1186 | 2 | = | 593 | |
| . | |||||
| 33 | 3 | 593 | 1 | = | 1780 |
| . | |||||
| 34 | 1780 | 2 | = | 890 | |
| . | |||||
| 35 | 890 | 2 | = | 445 | |
| . | |||||
| 36 | 3 | 445 | 1 | = | 1336 |
| . | |||||
| 37 | 1336 | 2 | = | 668 | |
| . | |||||
| 38 | 668 | 2 | = | 334 | |
| . | |||||
| 39 | 334 | 2 | = | 167 | |
| . | |||||
| 40 | 3 | 167 | 1 | = | 502 |
| . | |||||
| 41 | 502 | 2 | = | 251 | |
| . | |||||
| 42 | 3 | 251 | 1 | = | 754 |
| . | |||||
| 43 | 754 | 2 | = | 377 | |
| . | |||||
| 44 | 3 | 377 | 1 | = | 1132 |
| . | |||||
| 45 | 1132 | 2 | = | 566 | |
| . | |||||
| 46 | 566 | 2 | = | 283 | |
| . | |||||
| 47 | 3 | 283 | 1 | = | 850 |
| . | |||||
| 48 | 850 | 2 | = | 425 | |
| . | |||||
| 49 | 3 | 425 | 1 | = | 1276 |
| . | |||||
| 50 | 1276 | 2 | = | 638 | |
| . | |||||
| 51 | 638 | 2 | = | 319 | |
| . | |||||
| 52 | 3 | 319 | 1 | = | 958 |
| . | |||||
| 53 | 958 | 2 | = | 479 | |
| . | |||||
| 54 | 3 | 479 | 1 | = | 1438 |
| . | |||||
| 55 | 1438 | 2 | = | 719 | |
| . | |||||
| 56 | 3 | 719 | 1 | = | 2158 |
| . | |||||
| 57 | 2158 | 2 | = | 1079 | |
| . | |||||
| 58 | 3 | 1079 | 1 | = | 3238 |
| . | |||||
| 59 | 3238 | 2 | = | 1619 | |
| . | |||||
| 60 | 3 | 1619 | 1 | = | 4858 |
| . | |||||
| 61 | 4858 | 2 | = | 2429 | |
| . | |||||
| 62 | 3 | 2429 | 1 | = | 7288 |
| . | |||||
| 63 | 7288 | 2 | = | 3644 | |
| . | |||||
| 64 | 3644 | 2 | = | 1822 | |
| . | |||||
| 65 | 1822 | 2 | = | 911 | |
| . | |||||
| 66 | 3 | 911 | 1 | = | 2734 |
| . | |||||
| 67 | 2734 | 2 | = | 1367 | |
| . | |||||
| 68 | 3 | 1367 | 1 | = | 4102 |
| . | |||||
| 69 | 4102 | 2 | = | 2051 | |
| . | |||||
| 70 | 3 | 2051 | 1 | = | 6154 |
| . | |||||
| 71 | 6154 | 2 | = | 3077 | |
| . | |||||
| 72 | 3 | 3077 | 1 | = | 9232 |
| . | |||||
| 73 | 9232 | 2 | = | 4616 | |
| . | |||||
| 74 | 4616 | 2 | = | 2308 | |
| . | |||||
| 75 | 2308 | 2 | = | 1154 | |
| . | |||||
| 76 | 1154 | 2 | = | 577 | |
| . | |||||
| 77 | 3 | 577 | 1 | = | 1732 |
| . | |||||
| 78 | 1732 | 2 | = | 866 | |
| . | |||||
| 79 | 866 | 2 | = | 433 | |
| . | |||||
| 80 | 3 | 433 | 1 | = | 1300 |
| . | |||||
| 81 | 1300 | 2 | = | 650 | |
| . | |||||
| 82 | 650 | 2 | = | 325 | |
| . | |||||
| 83 | 3 | 325 | 1 | = | 976 |
| . | |||||
| 84 | 976 | 2 | = | 488 | |
| . | |||||
| 85 | 488 | 2 | = | 244 | |
| . | |||||
| 86 | 244 | 2 | = | 122 | |
| . | |||||
| 87 | 122 | 2 | = | 61 | |
| . | |||||
| 88 | 3 | 61 | 1 | = | 184 |
| . | |||||
| 89 | 184 | 2 | = | 92 | |
| . | |||||
| 90 | 92 | 2 | = | 46 | |
| . | |||||
| 91 | 46 | 2 | = | 23 | |
| . | |||||
| 92 | 3 | 23 | 1 | = | 70 |
| . | |||||
| 93 | 70 | 2 | = | 35 | |
| . | |||||
| 94 | 3 | 35 | 1 | = | 106 |
| . | |||||
| 95 | 106 | 2 | = | 53 | |
| Bloco 2 | |||||
| . | |||||
| 96 | 3 | 53 | 1 | = | 160 |
| . | |||||
| 97 | 160 | 2 | = | 80 | |
| . | |||||
| 98 | 80 | 2 | = | 40 | |
| . | |||||
| 99 | 40 | 2 | = | 20 | |
| . | |||||
| 100 | 20 | 2 | = | 10 | |
| . | |||||
| 101 | 10 | 2 | = | 5 | |
| Bloco 1 | |||||
| . | |||||
| 102 | 3 | 5 | 1 | = | 16 |
| . | |||||
| 103 | 16 | 2 | = | 8 | |
| . | |||||
| 104 | 8 | 2 | = | 4 | |
| . | |||||
| 105 | 4 | 2 | = | 2 | |
| . | |||||
| 106 | 2 | 2 | = | 1 | |
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63 é um número composto de Mersenne.
63 é um número de Fermat da forma 4x+3.
Há 107 etapas para se chegar ao 1.
Observações:
a) 63 é a soma das potências de base 2: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63;
b) 63 é a soma dos divisores próprios da potência 64 de base 2;
c) 63 é 1 unidade menor que a potência de base 2, o 32.
O número primo 53, Número de Collatz / Fermat (B) (célula lilás), antecede a P.G ( 160, 80, 40, 20, 10, 5 ).
O número primo 5, último termo da P.G. variável decrescente: ( 40, 20, 10, 5 ) e também número de Collatz / Fermat (A) (célula vermelha) antecede as potências de base 2: ( 16, 8, 4, 2, 1 ).
Observação importante: o número 63, por não ser um Número de Collatz / Fermat (A), Número de Collatz / Fermat (B) e nem termo de potência de base 2, têm a estrutura da tabela formada por 3 Blocos.
| Tabela 5 | |||||
| Conjectura de Collatz | |||||
| a partir do número composto 63 de Mersenne | |||||
| etapas | |||||
| Bloco 3 | |||||
| 1 | 3 | 63 | 1 | = | 190 |
| . | |||||
| 2 | 190 | 2 | = | 95 | |
| . | |||||
| 3 | 3 | 95 | 1 | = | 286 |
| . | |||||
| 4 | 286 | 2 | = | 143 | |
| . | |||||
| 5 | 3 | 143 | 1 | = | 430 |
| . | |||||
| 6 | 430 | 2 | = | 215 | |
| . | |||||
| 7 | 3 | 215 | 1 | = | 646 |
| . | |||||
| 8 | 646 | 2 | = | 323 | |
| . | |||||
| 9 | 3 | 323 | 1 | = | 970 |
| . | |||||
| 10 | 970 | 2 | = | 485 | |
| . | |||||
| 11 | 3 | 485 | 1 | = | 1456 |
| . | |||||
| 12 | 1456 | 2 | = | 728 | |
| . | |||||
| 13 | 728 | 2 | = | 364 | |
| . | |||||
| 14 | 364 | 2 | = | 182 | |
| . | |||||
| 15 | 182 | 2 | = | 91 | |
| . | |||||
| 16 | 3 | 91 | 1 | = | 274 |
| . | |||||
| 17 | 274 | 2 | = | 137 | |
| . | |||||
| 18 | 3 | 137 | 1 | = | 412 |
| . | |||||
| 19 | 412 | 2 | = | 206 | |
| . | |||||
| 20 | 206 | 2 | = | 103 | |
| . | |||||
| 21 | 3 | 103 | 1 | = | 310 |
| . | |||||
| 22 | 310 | 2 | = | 155 | |
| . | |||||
| 23 | 3 | 155 | 1 | = | 466 |
| . | |||||
| 24 | 466 | 2 | = | 233 | |
| . | |||||
| 25 | 3 | 233 | 1 | = | 700 |
| . | |||||
| 26 | 700 | 2 | = | 350 | |
| . | |||||
| 27 | 350 | 2 | = | 175 | |
| . | |||||
| 28 | 3 | 175 | 1 | = | 526 |
| . | |||||
| 29 | 526 | 2 | = | 263 | |
| . | |||||
| 30 | 3 | 263 | 1 | = | 790 |
| . | |||||
| 31 | 790 | 2 | = | 395 | |
| . | |||||
| 32 | 3 | 395 | 1 | = | 1186 |
| . | |||||
| 33 | 1186 | 2 | = | 593 | |
| . | |||||
| 34 | 3 | 593 | 1 | = | 1780 |
| . | |||||
| 35 | 1780 | 2 | = | 890 | |
| . | |||||
| 36 | 890 | 2 | = | 445 | |
| . | |||||
| 37 | 3 | 445 | 1 | = | 1336 |
| . | |||||
| 38 | 1336 | 2 | = | 668 | |
| . | |||||
| 39 | 668 | 2 | = | 334 | |
| . | |||||
| 40 | 334 | 2 | = | 167 | |
| . | |||||
| 41 | 3 | 167 | 1 | = | 502 |
| . | |||||
| 42 | 502 | 2 | = | 251 | |
| . | |||||
| 43 | 3 | 251 | 1 | = | 754 |
| . | |||||
| 44 | 754 | 2 | = | 377 | |
| . | |||||
| 45 | 3 | 377 | 1 | = | 1132 |
| . | |||||
| 46 | 1132 | 2 | = | 566 | |
| . | |||||
| 47 | 566 | 2 | = | 283 | |
| . | |||||
| 48 | 3 | 283 | 1 | = | 850 |
| . | |||||
| 49 | 850 | 2 | = | 425 | |
| . | |||||
| 50 | 3 | 425 | 1 | = | 1276 |
| . | |||||
| 51 | 1276 | 2 | = | 638 | |
| . | |||||
| 52 | 638 | 2 | = | 319 | |
| . | |||||
| 53 | 3 | 319 | 1 | = | 958 |
| . | |||||
| 54 | 958 | 2 | = | 479 | |
| . | |||||
| 55 | 3 | 479 | 1 | = | 1438 |
| . | |||||
| 56 | 1438 | 2 | = | 719 | |
| . | |||||
| 57 | 3 | 719 | 1 | = | 2158 |
| . | |||||
| 58 | 2158 | 2 | = | 1079 | |
| . | |||||
| 59 | 3 | 1079 | 1 | = | 3238 |
| . | |||||
| 60 | 3238 | 2 | = | 1619 | |
| . | |||||
| 61 | 3 | 1619 | 1 | = | 4858 |
| . | |||||
| 62 | 4858 | 2 | = | 2429 | |
| . | |||||
| 63 | 3 | 2429 | 1 | = | 7288 |
| . | |||||
| 64 | 7288 | 2 | = | 3644 | |
| . | |||||
| 65 | 3644 | 2 | = | 1822 | |
| . | |||||
| 66 | 1822 | 2 | = | 911 | |
| . | |||||
| 67 | 3 | 911 | 1 | = | 2734 |
| . | |||||
| 68 | 2734 | 2 | = | 1367 | |
| . | |||||
| 69 | 3 | 1367 | 1 | = | 4102 |
| . | |||||
| 70 | 4102 | 2 | = | 2051 | |
| . | |||||
| 71 | 3 | 2051 | 1 | = | 6154 |
| . | |||||
| 72 | 6154 | 2 | = | 3077 | |
| . | |||||
| 73 | 3 | 3077 | 1 | = | 9232 |
| . | |||||
| 74 | 9232 | 2 | = | 4616 | |
| . | |||||
| 75 | 4616 | 2 | = | 2308 | |
| . | |||||
| 76 | 2308 | 2 | = | 1154 | |
| . | |||||
| 77 | 1154 | 2 | = | 577 | |
| . | |||||
| 78 | 3 | 577 | 1 | = | 1732 |
| . | |||||
| 79 | 1732 | 2 | = | 866 | |
| . | |||||
| 80 | 866 | 2 | = | 433 | |
| . | |||||
| 81 | 3 | 433 | 1 | = | 1300 |
| . | |||||
| 82 | 1300 | 2 | = | 650 | |
| . | |||||
| 83 | 650 | 2 | = | 325 | |
| . | |||||
| 84 | 3 | 325 | 1 | = | 976 |
| . | |||||
| 85 | 976 | 2 | = | 488 | |
| . | |||||
| 86 | 488 | 2 | = | 244 | |
| . | |||||
| 87 | 244 | 2 | = | 122 | |
| . | |||||
| 88 | 122 | 2 | = | 61 | |
| . | |||||
| 89 | 3 | 61 | 1 | = | 184 |
| . | |||||
| 90 | 184 | 2 | = | 92 | |
| . | |||||
| 91 | 92 | 2 | = | 46 | |
| . | |||||
| 92 | 46 | 2 | = | 23 | |
| . | |||||
| 93 | 3 | 23 | 1 | = | 70 |
| . | |||||
| 94 | 70 | 2 | = | 35 | |
| . | |||||
| 95 | 3 | 35 | 1 | = | 106 |
| 96 | 106 | 2 | = | 53 | |
| Bloco 2 | |||||
| . | |||||
| 97 | 3 | 53 | 1 | = | 160 |
| . | |||||
| 98 | 160 | 2 | = | 80 | |
| . | |||||
| 99 | 80 | 2 | = | 40 | |
| . | |||||
| 100 | 40 | 2 | = | 20 | |
| . | |||||
| 101 | 20 | 2 | = | 10 | |
| . | |||||
| 102 | 10 | 2 | = | 5 | |
| Bloco 1 | |||||
| . | |||||
| 103 | 3 | 5 | 1 | = | 16 |
| . | |||||
| 104 | 16 | 2 | = | 8 | |
| . | |||||
| 105 | 8 | 2 | = | 4 | |
| . | |||||
| 106 | 4 | 2 | = | 2 | |
| . | |||||
| 107 | 2 | 2 | = | 1 | |
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127 é um número primo de Mersenne.
127 é um número de Fermat da forma 4x+3.
Há 46 etapas para se chegar ao 1.
Observações:
a) 127 é a soma das potências de base 2: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 127;
b) 127 é a soma dos divisores próprios da potência 128 de base 2;
c) 127 é 1 unidade menor que a potência de base 2, o 128.
O número primo 13, Número de Collatz / Fermat (B) (célula lilás) antecede a P.G (40, 20, 10, 5).
O número primo 5, último termo da P.G. variável decrescente: ( 40, 20, 10, 5 ) e também número de Collatz / Fermat (A) (célula vermelha) antecede as potências de base 2: ( 16, 8, 4, 2, 1 ).
Observação importante: o número 127, por não ser um Número de Collatz / Fermat (A), Número de Collatz / Fermat (B) e nem termo de potência de base 2, têm a estrutura da tabela formada por 3 Blocos.
| Tabela 6 | |||||
| Conjectura de Collatz | |||||
| a partir do número primo 127 de Mersenne | |||||
| etapas | |||||
| Bloco 3 | |||||
| 1 | 3 | 127 | 1 | = | 382 |
| . | |||||
| 2 | 382 | 2 | = | 191 | |
| . | |||||
| 3 | 3 | 191 | 1 | = | 574 |
| . | |||||
| 4 | 574 | 2 | = | 287 | |
| . | |||||
| 5 | 3 | 287 | 1 | = | 862 |
| . | |||||
| 6 | 862 | 2 | = | 431 | |
| . | |||||
| 7 | 3 | 431 | 1 | = | 1294 |
| . | |||||
| 8 | 1294 | 2 | = | 647 | |
| . | |||||
| 9 | 3 | 647 | 1 | = | 1942 |
| . | |||||
| 10 | 1942 | 2 | = | 971 | |
| . | |||||
| 11 | 3 | 971 | 1 | = | 2914 |
| . | |||||
| 12 | 2914 | 2 | = | 1457 | |
| . | |||||
| 13 | 3 | 1457 | 1 | = | 4372 |
| . | |||||
| 14 | 4372 | 2 | = | 2186 | |
| . | |||||
| 15 | 2186 | 2 | = | 1093 | |
| . | |||||
| 16 | 3 | 1093 | 1 | = | 3280 |
| . | |||||
| 17 | 3280 | 2 | = | 1640 | |
| . | |||||
| 18 | 1640 | 2 | = | 820 | |
| . | |||||
| 19 | 820 | 2 | = | 410 | |
| . | |||||
| 20 | 410 | 2 | = | 205 | |
| . | |||||
| 21 | 3 | 205 | 1 | = | 616 |
| . | |||||
| 22 | 616 | 2 | = | 308 | |
| . | |||||
| 23 | 308 | 2 | = | 154 | |
| . | |||||
| 24 | 154 | 2 | = | 77 | |
| . | |||||
| 25 | 3 | 77 | 1 | = | 232 |
| . | |||||
| 26 | 232 | 2 | = | 116 | |
| . | |||||
| 27 | 116 | 2 | = | 58 | |
| . | |||||
| 28 | 58 | 2 | = | 29 | |
| . | |||||
| 29 | 3 | 29 | 1 | = | 88 |
| . | |||||
| 30 | 88 | 2 | = | 44 | |
| . | |||||
| 31 | 44 | 2 | = | 22 | |
| . | |||||
| 32 | 22 | 2 | = | 11 | |
| . | |||||
| 33 | 3 | 11 | 1 | = | 34 |
| . | |||||
| 34 | 34 | 2 | = | 17 | |
| . | |||||
| 35 | 3 | 17 | 1 | = | 52 |
| . | |||||
| 36 | 52 | 2 | = | 26 | |
| 37 | 26 | 2 | = | 13 | |
| Bloco 2 | |||||
| . | |||||
| 38 | 3 | 13 | 1 | = | 40 |
| . | |||||
| 39 | 40 | 2 | = | 20 | |
| . | |||||
| 40 | 20 | 2 | = | 10 | |
| . | |||||
| 41 | 10 | 2 | = | 5 | |
| Bloco 1 | |||||
| . | |||||
| 42 | 3 | 5 | 1 | = | 16 |
| . | |||||
| 43 | 16 | 2 | = | 8 | |
| . | |||||
| 44 | 8 | 2 | = | 4 | |
| . | |||||
| 45 | 4 | 2 | = | 2 | |
| . | |||||
| 46 | 2 | 2 | = | 1 | |
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A Tabela 7 apresenta a progressão geométrica (P.G.) - 10 termo 5, razão 2 menos 1 unidade e dividida por 3.
Os números inteiros da coluna D, terminados em 3, ao serem aplicados na Conjectura de Collatz, os cálculos apresentam como resultados termos da P.G. decrescente variável: ( 160, 80, 40, 20, 10, 5 ) no Bloco 2 e consequentemente potências de base 2 em ordem decrescente: ( 16, 8, 4, 2, 1 ) no Bloco 1.
A sequência ( 3, 13, 53, 213, 853,... ), para uma melhor clareza nos textos, aqui nos estudos do WebSite Os Fantásticos Números Primos é denominada de Números de Collatz / Fermat (B), excetuando-se o número 3 que é da forma 4x+3, os demais termos são números de Fermat da forma 4x + 1.
| Tabela 7 | ||||
| Progressão Geométrica | ||||
| 10 termo 5 | ||||
| razão 2 | ||||
| A | B | C | D | E |
| ordem / | PG | menos 1 | divisão por | |
| posição | 10 termo 5 | 3 | ||
| razão 2 | ||||
| Números de | ||||
| Collatz / Fermat (B) | ||||
| 1 | 5 | 4 | 1,333 | |
| 2 | 10 | 9 | 3 | Primo |
| 3 | 20 | 19 | 6,333 | |
| 4 | 40 | 39 | 13 | Primo |
| 5 | 80 | 79 | 26,333 | |
| 6 | 160 | 159 | 53 | Primo |
| 7 | 320 | 319 | 106,333 | |
| 8 | 640 | 639 | 213 | - |
| 9 | 1280 | 1279 | 426,333 | |
| 10 | 2560 | 2559 | 853 | Primo |
| 11 | 5120 | 5119 | 1706,333 | |
| 12 | 10240 | 10239 | 3413 | Primo |
| 13 | 20480 | 20479 | 6826,333333 | |
| 14 | 40960 | 40959 | 13653 | - |
| 15 | 81920 | 81919 | 27306,333 | |
| 16 | 163840 | 163839 | 54613 | - |
| 17 | 327680 | 327679 | 109226,333 | |
| 18 | 655360 | 655359 | 218453 | Primo |
| 19 | 1310720 | 1310719 | 436906,333 | |
| 20 | 2621440 | 2621439 | 873813 | - |
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3 é número primo de Mersenne.
3 é um número de Fermat da forma 4x+3.
Iniciando com o número 3 na Conjectura de Collatz, como se observa, os cálculos se iniciam no Bloco 2, resultando termos da progressão geométrica descrescente variável: ( 10, 5 ) e, logo a seguir, com termos da potência de base 2 decrescente: ( 16, 8, 4, 2, 1 ) no Bloco 1.
O número primo 5, último termo da P.G. variável decrescente: ( 40, 20, 10, 5 ) e também número de Collatz / Fermat (A) (célula vermelha), antecede as potências de base 2: ( 16, 8, 4, 2, 1 ).
| Tabela 8 | |||||
| Conjectura de Collatz | |||||
| a partir do número primo 3 | |||||
| etapas | |||||
| Bloco 2 | |||||
| . | |||||
| 1 | 3 | 3 | 1 | = | 10 |
| . | |||||
| 2 | 10 | 2 | = | 5 | |
| . | |||||
| Bloco 1 | |||||
| 3 | 3 | 5 | 1 | = | 16 |
| . | |||||
| 4 | 16 | 2 | = | 8 | |
| . | |||||
| 5 | 8 | 2 | = | 4 | |
| . | |||||
| 6 | 4 | 2 | = | 2 | |
| . | |||||
| 7 | 2 | 2 | = | 1 | |
| . | |||||
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13 é um número primo de Fermat da forma 4x+1.
Iniciando com o número 13 na Conjectura de Collatz, como se observa, os cálculos se iniciam na Bloco 2, resultando termos da progressão geométrica descrescente variável: ( 40, 20, 10, 5 ) e, logo a seguir, com termos da potência de base 2 decrescente: ( 16, 8, 4, 2, 1 ) na Bloco 1.
O número primo 5, último termo da P.G. variável decrescente: ( 40, 20, 10, 5 ) e também número de Collatz / Fermat (A) (célula vermelha), antecede as potências de base 2: ( 16, 8, 4, 2, 1 ).
| Tabela 9 | |||||
| Conjectura de Collatz | |||||
| a partir do número primo 13 | |||||
| etapas | |||||
| Bloco 2 | |||||
| . | |||||
| 1 | 3 | 13 | 1 | = | 40 |
| . | |||||
| 2 | 40 | 2 | = | 20 | |
| . | |||||
| 3 | 20 | 2 | = | 10 | |
| . | |||||
| 4 | 10 | 2 | = | 5 | |
| Bloco 1 | |||||
| . | |||||
| 5 | 3 | 5 | 1 | = | 16 |
| . | |||||
| 6 | 16 | 2 | = | 8 | |
| . | |||||
| 7 | 8 | 2 | = | 4 | |
| 8 | 4 | 2 | = | 2 | |
| . | |||||
| 9 | 2 | 2 | = | 1 | |
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53 é um número primo de Fermat da forma 4x+1.
Iniciando com o número 53 na Conjectura de Collatz, como se observa, os cálculos se iniciam na Bloco 2, resultando termos da progressão geométrica descrescente variável: ( 160, 80, 40, 20, 10, 5 ) e, logo a seguir, com termos da potência de base 2 decrescente: ( 16, 8, 4, 2, 1 ) na Bloco 1.
O número primo 5, último termo da P.G. variável decrescente: ( 40, 20, 10, 5 ) e também número de Collatz / Fermat (A) (célula vermelha), antecede as potências de base 2: ( 16, 8, 4, 2, 1 ).
| Tabela 10 | |||||
| Conjectura de Collatz | |||||
| a partir do número primo 53 | |||||
| etapas | |||||
| Bloco 2 | |||||
| 0 | |||||
| 1 | 3 | 53 | 1 | = | 160 |
| . | |||||
| 2 | 160 | 2 | = | 80 | |
| . | |||||
| 3 | 80 | 2 | = | 40 | |
| . | |||||
| 4 | 40 | 2 | = | 20 | |
| . | |||||
| 5 | 20 | 2 | = | 10 | |
| . | |||||
| 6 | 10 | 2 | = | 5 | |
| Bloco 1 | |||||
| . | |||||
| 7 | 3 | 5 | 1 | = | 16 |
| . | |||||
| 8 | 16 | 2 | = | 8 | |
| . | |||||
| 9 | 8 | 2 | = | 4 | |
| . | |||||
| 10 | 4 | 2 | = | 2 | |
| . | |||||
| 11 | 2 | 2 | = | 1 | |
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213 é um número composto de Fermat da forma 4x+1.
Utilizando o número 213 composto na Conjectura de Collatz, como se observa, os cálculos se iniciam na Bloco 2, resultando termos da progressão geométrica descrescente variável: ( 640, 320, 160, 80, 40, 20, 10, 5 ) e, logo a seguir, com termos da potência de base 2 decrescente: ( 16, 8, 4, 2, 1 ) na Bloco 1.
O número primo 5, último termo da P.G. variável decrescente: ( 40, 20, 10, 5 ) e também número de Collatz / Fermat (A) (célula vermelha), antecede as potências de base 2: ( 16, 8, 4, 2, 1 ).
| Tabela 11 | |||||
| Conjectura de Collatz | |||||
| a partir do número composto 213 | |||||
| etapas | |||||
| Bloco 2 | |||||
| . | |||||
| 1 | 3 | 213 | 1 | = | 640 |
| . | |||||
| 2 | 640 | 2 | = | 320 | |
| . | |||||
| 3 | 320 | 2 | = | 160 | |
| . | |||||
| 4 | 160 | 2 | = | 80 | |
| . | |||||
| 5 | 80 | 2 | = | 40 | |
| . | |||||
| 6 | 40 | 2 | = | 20 | |
| . | |||||
| 7 | 20 | 2 | = | 10 | |
| . | |||||
| 8 | 10 | 2 | = | 5 | |
| Bloco 1 | |||||
| . | |||||
| 9 | 3 | 5 | 1 | = | 16 |
| . | |||||
| 10 | 16 | 2 | = | 8 | |
| . | |||||
| 11 | 8 | 2 | = | 4 | |
| . | |||||
| 12 | 4 | 2 | = | 2 | |
| . | |||||
| 13 | 2 | 2 | = | 1 | |
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O tipo de número utilizado na Conjectura de Collatz determinam as quantidades de blocos em tabelas.
Blocos são as partes da tabela onde se econtram determinados termos de sequências numéricas padrão, bem como, as etapas de cálculos aritméticos.
| Tipo de | Quantidades |
| número | de Blocos |
| da Tabela | |
| potências de base 2 | 1 |
| Números de Collatz / Fermat (A) | 1 |
| Números de Collatz / Fermat (B) | 2 |
| P.G. ( 5, 10, 20, 40, 80,...) | 2 |
| progessões geométricas de razão 2 | 3 |
| Números de Mersenne | 3 |
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Autores: Aristóteles Costa e Ricardo Silva - maio /2026
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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