Triângulo Retângulo Pitagórico é um triângulo cujos lados são formados por grupos de 3 números inteiros que tem relação como o Teorema de Pitágoras onde: "O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos", ou também, "A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa" representado pela seguinte fórmula:
| a² = b² + c² |
O presente estudo demonstra regularidades numéricas entre triângulo retângulo pitagórico e raio de circunferência inscrita nesse mesmo triângulo retângulo pitagórico.
O estudo demonstra métodos e fórmulas de como se obter raio de circunferência inscrita em triângulo retângulo pitagórico.
Três são os pontos notáveis em um triângulo retângulo:
Ortocentro,
Incentro e
Baricentro.
Incentro de um triângulo é o ponto onde as três bissetrizes se cruzam e que também é o centro da circunferência inscrita no triângulo.
Bissetriz de um triângulo é o segmento de reta que parte de um vértice, dividindo o ângulo interno em duas partes, até o lado oposto desse vértice.
Todo triângulo possuem três bissetrizes que se cruzam em um mesmo ponto, chamado de Incentro.
Circunferência inscrita em Triângulo Retângulo Pitagórico também possui propriedade especial, pois tanto o seu raio quanto o seu diâmetro são constituídos por números inteiros os quais tem relação com terno pitagórico e a sua ordem / posição de número triangular.
Euclides, em seu livro Elementos, demonstrou que existe uma infinidade de ternos pitagóricos primitivos. Além disso, encontrou fórmulas que geram todos os ternos pitagóricos primitivos. Dados dois números naturais m>n, o terno (a,b,c), onde:
a = m² - n²
b = 2mn
c = m² + n²
é pitagórico, e é primitivo se e somente se m e n são primos entre si e possuem paridades distintas.
Fonte: https://pt.wikipedia.org/
Utilizando as Fórmulas de Euclides com números primos entre si e números não primos entre si, podem ser gerados sequencialmente ternos pitagóricos primitivos e derivados.
Escolhendo-se dois números naturais m>n e os substituindo nas Fórmulas de Euclides a seguir, encontramos o termos a, b e c do Teorema de Pitágoras e consequentemente o Terno Pitagórico.
a = m² - n²
b = 2mn
c = m² + n²
onde:
m > n (m tem que ser maior que n).
m e n tem que ser primos entre si.
Observação importante:
As Fórmulas de Euclides não geram ternos pitagóricos derivados ímpares sequencialmente.
As Fórmulas de Euclides geram ternos pitagóricos derivados da seguinte forma: o dobro, do dobro, do dobro, do dobro e assim sucessivamente de um terno pitagórico primitivo, isto é, ternos pitagóricos em progressões geométricas.
Exemplos de Ternos Pitagóricos derivados do terno 3-4-5:
6 - 8 - 10;
12 - 16 - 20;
24 - 32 - 40...
A Tabela 1 apresenta os 31 primeiros ternos pitagóricos e entre eles, os Ternos Pitagóricos Primitivos de Ordem Triangular (células laranjas) gerados pelas Fórmulas de Euclides .
Nos demais ternos há ternos pitagóricos derivados e também primitivos de ordem não-triangulares.
Todo Terno Pitagórico Primitivo de Ordem Triangular tem o seu primeiro termo (a) um número ímpar igual e maior que 3, o segundo (b) e terceiro (c) termos, números consecutivos cuja a soma é o quadrado perfeito do primeiro termo.
| Tabela 1 | |||||
| Ternos Pitagóricos | |||||
| a partir das | |||||
| Fórmulas de Euclides | |||||
| Terno | |||||
| m² - n² | 2mn | m² + n² | |||
| ordem / | m | n | a | b | c |
| posição | |||||
| 1 (triangular | 2 | 1 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 3 | 1 | 8 | 6 | 10 |
| 3 (triangular) | 3 | 2 | 5 | 12 | 13 |
| 4 | 4 | 1 | 15 | 8 | 17 |
| 5 | 4 | 2 | 12 | 16 | 20 |
| 6 (triangular) | 4 | 3 | 7 | 24 | 25 |
| 7 | 5 | 1 | 24 | 10 | 26 |
| 8 | 5 | 2 | 21 | 20 | 29 |
| 9 | 5 | 3 | 16 | 30 | 34 |
| 10 (triangular) | 5 | 4 | 9 | 40 | 41 |
| 11 | 6 | 1 | 35 | 12 | 37 |
| 12 | 6 | 2 | 32 | 24 | 40 |
| 13 | 6 | 3 | 27 | 36 | 45 |
| 14 | 6 | 4 | 20 | 48 | 52 |
| 15 (triangular) | 6 | 5 | 11 | 60 | 61 |
| 16 | 7 | 1 | 48 | 14 | 50 |
| 17 | 7 | 2 | 45 | 28 | 53 |
| 18 | 7 | 3 | 40 | 42 | 58 |
| 19 | 7 | 4 | 33 | 56 | 65 |
| 20 | 7 | 5 | 24 | 70 | 74 |
| 21 (triangular) | 7 | 6 | 13 | 84 | 85 |
| 22 | 8 | 1 | 63 | 16 | 65 |
| 23 | 8 | 2 | 60 | 32 | 68 |
| 24 | 8 | 3 | 55 | 48 | 73 |
| 25 | 8 | 4 | 48 | 64 | 80 |
| 26 | 8 | 5 | 39 | 80 | 89 |
| 27 | 8 | 6 | 28 | 96 | 100 |
| 28 (triangular) | 8 | 7 | 15 | 112 | 113 |
| 29 | 9 | 1 | 80 | 18 | 82 |
| 30 | 9 | 2 | 77 | 36 | 85 |
| 31 | 9 | 3 | 72 | 54 | 90 |
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Em seu livro The Pythagorean Theorem Crown Jewel of Mathematics, páginas 96 e 97, John C. Sparks [1] demonstra que a partir das próprias variáveis "m" e "n" das Fórmulas de Euclides que geram ternos pitagóricos são possíveis de saber o raio da circunferência inscrita desse mesmo terno pitagórico.
O produto da variável "n" pela diferença das variáveis "m" e "n" das Fórmulas de Euclides têm como resultado o raio da circunferência do triângulo retângulo cujos lados é um terno pitagórico gerado pelas mesmas variáveis "m" e "n" das Fórmulas de Euclides.
| n ( m - n ) |
A Tabela 2 demonstra os 31 primeiros ternos pitagóricos primitivos e derivados gerados pelas Fórmulas de Euclides e seus respectivos raios de circunferências a eles relacionados.
Interessante observar que:
a) raios de circunferências de ternos pitagóricos primitivos formam progressão aritmética (células laranjas);
b) as próprias variáveis "n" de ternos pitagóricos primitivos de ordem triangular são os raios de circunferências;
c) há ternos pitagóricos cujos raios de circunferências são iguais.
Um fato a se abservar é que todo terno pitagórico primitivo, a hipotenusa é um número de Fermat da forma 4x + 1, onde "x" é um número triangular, isto é, produto do número 4 por um número triangular somado 1 unidade.
| Tabela 2 | ||||||
| Terno Pitagórico | ||||||
| e raio de circunferência | ||||||
| Terno | ||||||
| m² - n² | 2mn | m² + n² | n(m-n) | |||
| ordem / | m | n | a | b | c | raio |
| posição | de | |||||
| circunferência | ||||||
| 1 (triangular) | 2 | 1 | 3 | 4 | 5 | 1 |
| 2 | 3 | 1 | 8 | 6 | 10 | 2 |
| 3 (triangular) | 3 | 2 | 5 | 12 | 13 | 2 |
| 4 | 4 | 1 | 15 | 8 | 17 | 3 |
| 5 | 4 | 2 | 12 | 16 | 20 | 4 |
| 6 (triangular) | 4 | 3 | 7 | 24 | 25 | 3 |
| 7 | 5 | 1 | 24 | 10 | 26 | 4 |
| 8 | 5 | 2 | 21 | 20 | 29 | 6 |
| 9 | 5 | 3 | 16 | 30 | 34 | 6 |
| 10 (triangular) | 5 | 4 | 9 | 40 | 41 | 4 |
| 11 | 6 | 1 | 35 | 12 | 37 | 5 |
| 12 | 6 | 2 | 32 | 24 | 40 | 8 |
| 13 | 6 | 3 | 27 | 36 | 45 | 9 |
| 14 | 6 | 4 | 20 | 48 | 52 | 8 |
| 15 (triangular) | 6 | 5 | 11 | 60 | 61 | 5 |
| 16 | 7 | 1 | 48 | 14 | 50 | 6 |
| 17 | 7 | 2 | 45 | 28 | 53 | 10 |
| 18 | 7 | 3 | 40 | 42 | 58 | 12 |
| 19 | 7 | 4 | 33 | 56 | 65 | 12 |
| 20 | 7 | 5 | 24 | 70 | 74 | 10 |
| 21 (triangular) | 7 | 6 | 13 | 84 | 85 | 6 |
| 22 | 8 | 1 | 63 | 16 | 65 | 7 |
| 23 | 8 | 2 | 60 | 32 | 68 | 12 |
| 24 | 8 | 3 | 55 | 48 | 73 | 15 |
| 25 | 8 | 4 | 48 | 64 | 80 | 16 |
| 26 | 8 | 5 | 39 | 80 | 89 | 15 |
| 27 | 8 | 6 | 28 | 96 | 100 | 12 |
| 28 (triangular) | 8 | 7 | 15 | 112 | 113 | 7 |
| 29 | 9 | 1 | 80 | 18 | 82 | 8 |
| 30 | 9 | 2 | 77 | 36 | 85 | 14 |
| 31 | 9 | 3 | 72 | 54 | 90 | 18 |
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A área é igual a base multiplicado pela altura e dividido por 2.
| b . h | ||
| A | = | ______ |
| 2 |
Aplicando a fórmula no triângulo pitagórico 3-4-5:
i) A = ( b . h ) / 2
ii) A = ( 4 . 3 ) / 2
iii) A = 12 /2
iv) A = 6
1) Fórmula do Semiperímetro
Soma dos lados de um triângulo dividido por 2.
| a + b + c | ||
| (semiperímetro) p | = | ______ |
| 2 |
Aplicando a fórmula no triângulo pitagórico 3-4-5:
i) p = ( 5 + 4 + 3 ) / 2
ii) p = 12 / 2
iii) p = 6
2) Fórmula da Área
A área (A) é igual a raiz quadrada do produto do semiperímetro pelas diferenças do semiperímetro por cada lado do triângulo.
| A | = | √p ( p - a ) ( p - b ) ( p - c ) |
i) A = √6 (6-5) (6-4) (6-3)
ii) A = √6 (1) (2) (3)
iii) A = √6 (6)
iv) A = √36
v) A = 6
Triângulo Retângulo Pitagórico 3-4-5
Área = 6
Semiperímetro = 6
Perímento = 12
a) o quociente da área pelo semiperímetro num triângulo retângulo tem como resultado o raio da circunfência inscrita:
| r = A : p |
6 : 6 = 1
b) o produto do semiperímetro pelo raio da circunfência inscrita num triângulo retângulo tem como resultado a área:
| A = p . r |
6 = 6 . 1
A Fórmula do Raio da circunferência inscrita em triângulo retângulo, a seguir, foi apresentada na vídeo-aula do Professor Fábio Machado Foncesca do Delta Medicina Online, postada no YouTube em janeiro de 2021.
A metade da soma dos catetos menos a hipotenusa é igual ao raio da circunferência inscrita num triângulo retângulo pitagórico.
| b + c - a | ||
| r | = | ________ |
| 2 |
Fonte: https://www.youtube.com/watch?v=g-tQuQXMqzQ
i) 5 = 4 - r + 3 - r
ii) 5 = -2r + 4 + 3
iii) 2r = (4 +3) - 5
iv) 2r = 7 - 5
v) r = 2/2
vi) r = 1
O produto dos catetos dividido pela soma dos lados do triângulo retângulo (perímetro) têm como resultado o raio da circunferência inscrita em triângulo retângulo pitagórico de ordem / posição triangular representada pela seguinte fórmula:
Observação importante:
Em 2023, recebi do Professor Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá), o seu livro Desvendando os segredos do triângulo retângulo e descobrindo curiosidades até hoje não conhecidas e para minha surpresa nas páginas 60 a 63, o Professor utiliza a seguinte fórmula:
| ab | |||
| r | = | _______ | |
| a + b + c |
para comprovar os resultados de suas próprias fórmulas.
Semiperímetro menos a hipotenusa têm como resultado o raio da circunferência inscrita em triângulo retângulo pitagórico de ordem triangular.
a) semiperímetro
(3 + 4 + 5) / 2 = 6
b) semiperímetro menos hipotenusa
6 - 5 = 1
1 é a medida do raio da circunferência inscrita no triângulo retângulo pitagórico 3-4-5, como também é a ordem / posição do Terno Pitagórico 3-4-5.
Interessante observar que:
c) a soma do semiperímetro com o raio da circunferência é igual a soma dos catetos;
1 + 6 = 3 + 4
d) a soma do semiperímetro com o raio da circunferência é a diferença entre os catetos do terno primitivo sucessor 5-12-13 de ordem / posição triangular;
12 - 5 = 7
Para mais informações veja estudo:
011-estudos-623-ternos-pitagoricos-novas-propriedades-aritmeticas
e) o raio de circunferência de ternos pitagóricos primitivos de ordem / posição triangular é a varíavel "n" das Fórmula de Euclides, comprovando-se assim também a Fórmula de John C. Sparks [1] descrita acima.
| Tabela 3 | |||||||
| Terno Pitagórico | |||||||
| e raio de circunferência | |||||||
| Terno | |||||||
| m² - n² | 2mn | m² + n² | |||||
| ordem / | m | n | a | b | c | semiperímetro | raio |
| posição | de | ||||||
| circunferência | |||||||
| 1 (triangular) | 2 | 1 | 3 | 4 | 5 | 6 | 1 |
| 2 | 3 | 1 | 8 | 6 | 10 | 12 | 2 |
| 3 (triangular) | 3 | 2 | 5 | 12 | 13 | 15 | 2 |
| 4 | 4 | 1 | 15 | 8 | 17 | 20 | 3 |
| 5 | 4 | 2 | 12 | 16 | 20 | 24 | 4 |
| 6 (triangular) | 4 | 3 | 7 | 24 | 25 | 28 | 3 |
| 7 | 5 | 1 | 24 | 10 | 26 | 30 | 4 |
| 8 | 5 | 2 | 21 | 20 | 29 | 35 | 6 |
| 9 | 5 | 3 | 16 | 30 | 34 | 40 | 6 |
| 10 (triangular) | 5 | 4 | 9 | 40 | 41 | 45 | 4 |
| 11 | 6 | 1 | 35 | 12 | 37 | 42 | 5 |
| 12 | 6 | 2 | 32 | 24 | 40 | 48 | 8 |
| 13 | 6 | 3 | 27 | 36 | 45 | 54 | 9 |
| 14 | 6 | 4 | 20 | 48 | 52 | 60 | 8 |
| 15 (triangular) | 6 | 5 | 11 | 60 | 61 | 66 | 5 |
| 16 | 7 | 1 | 48 | 14 | 50 | 56 | 6 |
| 17 | 7 | 2 | 45 | 28 | 53 | 63 | 10 |
| 18 | 7 | 3 | 40 | 42 | 58 | 70 | 12 |
| 19 | 7 | 4 | 33 | 56 | 65 | 77 | 12 |
| 20 | 7 | 5 | 24 | 70 | 74 | 84 | 10 |
| 21 (triangular) | 7 | 6 | 13 | 84 | 85 | 91 | 6 |
| 22 | 8 | 1 | 63 | 16 | 65 | 72 | 7 |
| 23 | 8 | 2 | 60 | 32 | 68 | 80 | 12 |
| 24 | 8 | 3 | 55 | 48 | 73 | 88 | 15 |
| 25 | 8 | 4 | 48 | 64 | 80 | 96 | 16 |
| 26 | 8 | 5 | 39 | 80 | 89 | 104 | 15 |
| 27 | 8 | 6 | 28 | 96 | 100 | 112 | 12 |
| 28 (triangular) | 8 | 7 | 15 | 112 | 113 | 120 | 7 |
| 29 | 9 | 1 | 80 | 18 | 82 | 90 | 8 |
| 30 | 9 | 2 | 77 | 36 | 85 | 99 | 14 |
| 31 | 9 | 3 | 72 | 54 | 90 | 108 | 18 |
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A partir da diferença entre Semiperímetro e a hipotenusa (novo método) aqui descrito, constata-se uma nova propriedade relacionada as váriaveis "m" e "n" das Fórmulas de Euclides, de que quando são números consecutivos, a variável "n" é também o raio da circunferência inscrita em terno pitagórico primitivo de ordem triangular.
Autor: Ricardo Silva - junho/2026
NASCIMENTO, Sebastião Vieira do. Desvendando os segredos do triângulo retângulo e descobrindo curiosidades até hoje não conhecidas. Rio de Janeiro: Gramma, 2018
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
SPARKS, John C. The Pythagorean Theorem Crown Jewel of Mathematics. Published by AuthorHouse. Indiana - EUA, 2008
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