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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Números Primos e os MatemáticaMentes Brilhantes - 265

Frank Nelson Cole (1861-1926), matemático estadunidense, no ano de 1903, pega um giz, vai até a lousa (quadro-negro) e escreve a multiplicação:

761.838.257.287 x 193.707.721 =

e apresenta o seguinte resultado:

147.573.952.589.676.412.927, sai sem proferir uma só palavra e logo em seguida é aplaudido pela platéia.

Era uma reunião da Sociedade Americana de Matemática, na qual apresentou um artigo intitulado "Sobre a fatoração de grandes números".

O resultado apresentado por Cole era da potência 267−1 = (147 quintilhões...) e que já era conhecido desde 1876, um número de Mersenne composto, mas ninguém sabia quais eram os fatores daquele produto.

Indagado posteriormente sobre o feito, ele disse que levou vários anos, nas tardes de domingo de trabalho, para encontrar os fatores de 267−1.

O ano de 1952 marca o divisor de "águas" entre cálculos matemáticos manuais e cálculos matemáticos com auxílio de computadores para se tentar descobrir números primos, especialmente os Números Primos de Mersenne.

O matemático estadunidense, Raphael Mitchel Robinson (1911-1995), usando o computador do SWAC (Standards Western Automatic Computer) que foi um dos primeiros computadores digitais eletrônicos no National Bureau of Normas, agora Instituto Nacional de Normas e Tecnologia, mostrou que M521, M607, M1279, M2203 e M2281 eram primos. Demorou 66 minutos do tempo do computador para confirmar que o M2281 é primo.

Voltando-se no tempo, Euclides de Alexandria (Séc. III a.C. - Grécia), no Livro IX dos Elementos – proposição 36 apresenta a seguinte enunciado:

'Se tantos números quantos se queira começando a partir da unidade forem dispostos continuamente numa proporção duplicada até que a soma de todos resulte num número primo, e se a soma multiplicada pelo último origina algum número, então o produto será um número perfeito'.

O que a proprosição diz é que somando-se potências de base 2 sucessivas e o total for um número primo e este multiplicado pela última potência, o resultado é um número perfeito.

Os primeiros quatro números perfeitos

Exemplos:

1 + 2 = 3

3 x 2 = 6 (primeiro número perfeito)

1 + 2 + 4 = 7

7 x 4 = 28 (segundo número perfeito)

1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31

31 x 16 = 496 (terceiro número perfeito)

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 127

127 + 64 = 8.128 (quarto número perfeito)

Estes são os 4 números perfeitos conhecidos pelos antigos gregos e aparacem nas obras de Nicômaco de Gerara (Séc. I d.C. - Grécia) e Theon de Esmirna (Sec. I ou II (135?) d.C - Grécia).

Vale ressaltar que estes estudos e descobertas utilizavam processos geométricos, pois não se usavam fórmulas algébricas.

A representação algébrica da Proposição 36 atualmente é

2n−1(2n −1)

6 = 22−1 (22 −1)

28 = 23−1 (23 −1)

496 = 25−1 (25 −1)

8128 = 27−1 (27 −1)

Quinto número perfeito

Em 1460, aparece em um Codex Latino o quinto número perfeito:

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1024 + 2048 + 4096 = 8.191

8.191 x 4096 = 33.550.336 (quinto número perfeito)

Johanes Muller von Konigsberg (1436-1476), (Regiomontanus) matemático alemão. Redescobriu os 6 números perfeitos:

6, 28, 496, 8.128, 33.550.336, 8.589.869.056

Veja que é uma grande descoberta e um desafio matemático descobrir determinado número (número perfeito), cuja soma dos seus divisores próprios tem como resultado esse número e poder encontrá-lo por meio da soma consecutiva de potências de base 2 e esta multiplicada pela última potência da sequência.

E um detalhe muito importante é que não é fácil encontrar um número primo, podemos escrever e recitar sequências dos números naturais, dos números pares, dos números ímpares, etc, mas não a dos números primos.

Não há uma fórmula geral para se gerar números primos, o que há são fórmulas que geram determinadas sequências de números primos.

Para se saber se um número é ou não é primo, por exemplo, o primo 8.191 que é um dos fatores da multiplicação: 8.191 x 4096 = 33.550.336, podemos dividí-lo por números primos menores que a sua raiz quadrada e verificar se ele divisível por alguns desses primos, não sendo ele é um número primo.

Veja que este número primo 8.191 apareceu em um Codex Latino de 1460, quem o descobriu teve que fazer muitas divisões para constatar que é primo e por falar em divisões, de 1 aos primeiros 10.000 números naturais há:

Intervalo Quantidade  
     
1 a 10 4 números primos
     
1 a 100 25 números primos
     
1 a 1.000 168 números primos
     
1 a 10.000 1.229 números primos

Fonte: Tabela adaptada de: A música dos números primos, Sautou, Marcus Du.

Hudalrichus Regios (1536 -?), Obra: Arithmetic, demonstrou que 211 − 1= 2048 é um número composto e seus fatores são 23 e 89, acrescentando que nem sempre 2p−1 tem como resultado um número primo.

Observação: dados do livro Elementary number theory in nine chapters

Interessante observar que no livro A música do números primos, página 49, é relatado que Marim Mersenne (1588 -1648) - também calculou e faturou 211 − 1= 2048.

Sexto e sétimo número perfeito

Pietro Cataldi, 1552 -1626 (1548-1626), matemático italiano. Obra: Treatise on Perfect Numbers (1588). descobriu o sexto e sétimo números perfeitos.

217 − 1= 131.072

219 − 1= 524.288

= 217−1 (217 −1) = 65.536 x 131.072 = 8.589.934.592

= 219−1 (219 −1) = 262.144 x 524.288 = 137.438.953.472

Peter Barlow (1776-1862), matemático e físico inglês. Obra: An Elementary Investigation of the Theory of Numbers (1811) Escreveu sobre o oitavo número perfeito: “É o maior que será descoberto, pois como eles são meramente curiosos sem ser úteis, não é provável que qualquer pessoa irá tentar encontrar mais além

Interessante observar que talvez Peter Barlow não deva ter conhecido os estudos de Leonhard Paul Euler.

Oitavo número perfeito

Leonhard Paul Euler (1707 - 1783) - Suiça - Basileia, Obra: On Amicable Numbers, em 1772 provou que 231 − 1 era primo e gerou 8 oitavo número perfeito.

231 − 1 = 2.147.483.647

= 231−1 (231−1) = 1.073.741.824 x 2.147.483.647 = 2.305.843.008.139.952.128

Nono número perfeito

Ivan Mikheevich Pervushin (1827 - 1900), clérigo e matemático russo descobre o um primo de Mersenne

261 − 1= 2.305.843.009.213.693.951 e que corresponde ao número perfeito:

261-1 (261 − 1) =

2.658.455.991.569.831.744.654.692.615.953.842.176

Décimo e décimo primeiro números perfeitos

R.E Powers, em 1911 descobre dois primos de Mersenne:

289 − 1 = 618.970.019.642.690.137.449.562.111

2107 − 1 = ...

gerando dois novos números perfeitos.

Décimo segundo número perfeito

François Édouard Anatole Lucas (1842 - 1891) - matemático francês e criador do jogo matemático Torre de Hanoi. Obra: Recréations Mathématiques (1882). Em 1876 ele também provou que

2127−1= 170.141.183.460.469.231.731.687.303.715.884.105.727 é primo, e este continua sendo o maior número primo descoberto sem a ajuda de um computador e que corresponde ao número perfeito:

2127-1 (2127 − 1) =

Conclusão:

É de adminar a capacidade do cérebro humano em poder efetuar cálculos matemáticos "astronômicos" o que foge à regra para grande maioria das pessoas. Acredito que além de um treinamento deva existir algo mais nos neurôrios que aguça sensibilidade lógica e artmética para se efetuar cálculos com grandes números.

No livro digital Números Perfeitos e Sequências Númericas são apresentados estudos referente relações numéricas entre números perfeitos e potências de base 12 bem novas fórmulas para se gerar números triangulares e entre eles números perfeitos.

Autor: Ricardo Silva - junho/2020

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Sequência Numéricas Mágicas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo e as novas fórmulas de cálculos dos seus lados. São Paulo, edição digital, 2014

Du Sautoy, Marcus, 1965. A música dos números primos: uma história de um problema não resolvido na matemática / Marcus du Sautoy, Diego Alfaro. - Rio de Janeiro: Jorge Zahar Ed., 2007

TATTERSALL, James J. Elementary number theory in nine chapters. Published in the United States by Cambridge University Press, New York, 1999

https://es.wikipedia.org/wiki/Te%C3%B3n_de_Esmirna

https://www.mersenne.org/primes/

https://pt.numberempire.com/primenumbers.php

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