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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Triângulo de Pascal e números quadrados perfeitos - 387

A medida que o Triângulo de Pascal vai sendo construído, podemos destacar duas importantes sequências numéricas que se formam: a dos números naturais e a dos números figurados, entre elas, a dos números triangulares.

No Triângulo de Pascal, com a configuração de triângulo equilátero, os números naturais se formam nas "segundas diagonais" (cor azul) e os números triangulares nas "terceiras diagonais" (cor amarelo) de modos espelhados, isto é, de formas simétricas.

Triângulo de Pascal e numeros naturais e triangulares

Com os números naturais podemos fazer contagens, medições, ordenar coisas e objetos, criar códigos, etc...,

Como os números triangulares podemos formar diversos outros números figurados, sejam eles planos ou tridimensionais.

Números quadrados perfeitos

Números quadrados perfeitos são números que são produtos de um número inteiro por ele mesmo e quando extraído a sua raiz quadrada, o resultado também é um número inteiro.

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,... são números quadrados perfeitos.

Há diversos métodos de se obterem números quadrados perfeitos, entre eles, os mais comuns são:

a) multiplicar um número por ele mesmo;

1 x 1 = 1

2 x 2 = 4

3 x 3 = 9

b) elevar um número a 2a potência, isto é, ao expoente 2;

12 = 1

22 = 4

32 = 6

c) somar dois números triangulares consecutivos;

1 + 3 = 4

3 + 6 = 9

6 + 10 = 16

Números quadrados perfeitos e Triângulo de Pascal

No Triângulo de Pascal, somando-se dois números triangulares consecutivos na diagonal (amarela), obtem-se um número quadrado perfeito e entre os dois os números triangulares a respectiva raiz quadrada.

Triângulo de Pascal e números quadrados perfeitos

Quadrado 4

A soma dos números triangulares 1 e 3 (cor amarela) tem como resultado o quadrado perfeito 4.

A raiz quadrada de 4, que é 2 (cor azul) está entre os números 1 e 3.

Quadrado 9

A soma dos números triangulares 3 e 6 (cor amarela) tem como resultado o quadrado perfeito 9.

A raiz quadrada de 9, que é 3 (cor azul) está entre os números 3 e 6.

Interessante observar que os triangulares 3 e 6 são múltiplos de 3.

Quadrado 16

A soma dos números triangulares 6 e 10 (cor amarela) tem como resultado o quadrado perfeito 16.

A raiz quadrada de 16, que é 4 (cor azul) está entre os números 6 e 10.

Quadrado 25

A soma dos números triangulares 10 e 15 (cor amarela) tem como resultado o quadrado perfeito 25.

A raiz quadrada de 25, que é 5 (cor azul) está entre os números 10 e 15.

Interessante observar que os triangulares 10 e 15 são múltiplos de 5.

 

Autor: Ricardo Silva - maio/2022

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020

SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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