A sequência de números naturais é formada por dois tipos de números: os números ímpares e os números de pares.
Números ímpares quando dividos por 2 deixam resto 1.
Números pares quando divididos por 2 deixam resto 0.
Tanto a sequência de números naturais, de números ímpares e de números pares formam naturalmente progressões aritméticas.
Progressão Aritmética, ou simplesmente P.A. é uma sequência numérica em que a partir do segundo termo, é igual ao termo anterior somado de um número constante, denominado de razão.
Progressões Aritméticas apresentam diversas propriedades matemáticas que por meio da Fórmula do Termo Geral de uma P.A. são possíveis de se determinarem: o primeiro termo, a razão, o termo médio, os números de termos, o último termo, etc., e por meio da Fórmula da Soma de uma P.A, a soma de todos os termos dessa mesma P.A.
O presente estudo demonstra que os termos de uma Progressão Aritmética cujo primeiro termo é um número natural igual ou maior que 3 (raiz quadrada) e a razão, o seu quadrado perfeito, quando divididos pelo primeiro termo, gera uma segunda progressão aritmética (em que há intercalados, números figurados poligonais centrados) cujos termos não são divisíveis pelo primeiro termo (raiz quadrada), bem como, os seus múltiplos.
A tabela a seguir apresenta os 30 primeiros termos de uma P.A cujo 10 termo é 3 e razão 2.
A razão 2 é 1 unidade menor que o primeiro termo 3.
A P.A. cujo 10 termo é 3 e razão 2 forma a sequência de números ímpares a partir do número 3 e entre os termos há também múltiplos de 3 a cada 3 termos.
Os termos da P.A. divididos por 3 têm como quocientes os mesmos termos da P.A., isto é, a sequência de números ímpares, e entre os quocientes inteiros, há também múltiplos de 3, a cada 3 números.
| Progressão Aritmética | |||
| 10 termo 3 e razão 2 | |||
| ordem / | P.A. | divisão | quociente |
| posição | por | ||
| 1 | 3 | 3 | 1 |
| 2 | 5 | 3 | 1,666666667 |
| 3 | 7 | 3 | 2,333333333 |
| 4 | 9 | 3 | 3 |
| 5 | 11 | 3 | 3,666666667 |
| 6 | 13 | 3 | 4,333333333 |
| 7 | 15 | 3 | 5 |
| 8 | 17 | 3 | 5,666666667 |
| 9 | 19 | 3 | 6,333333333 |
| 10 | 21 | 3 | 7 |
| 11 | 23 | 3 | 7,666666667 |
| 12 | 25 | 3 | 8,333333333 |
| 13 | 27 | 3 | 9 |
| 14 | 29 | 3 | 9,666666667 |
| 15 | 31 | 3 | 10,33333333 |
| 16 | 33 | 3 | 11 |
| 17 | 35 | 3 | 11,66666667 |
| 18 | 37 | 3 | 12,33333333 |
| 19 | 39 | 3 | 13 |
| 20 | 41 | 3 | 13,66666667 |
| 21 | 43 | 3 | 14,33333333 |
| 22 | 45 | 3 | 15 |
| 23 | 47 | 3 | 15,66666667 |
| 24 | 49 | 3 | 16,33333333 |
| 25 | 51 | 3 | 17 |
| 26 | 53 | 3 | 17,66666667 |
| 27 | 55 | 3 | 18,33333333 |
| 28 | 57 | 3 | 19 |
| 29 | 59 | 3 | 19,66666667 |
| 30 | 61 | 3 | 20,33333333 |
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A tabela a seguir apresenta os 30 primeiros termos de uma P.A cujo 10 termo é 3 e razão 4.
A razão 4 é 1 unidade maior que o primeiro termo 3.
A P.A. cujo 10 termo é 3 e razão 4 é formada por números ímpares a partir do número 3 e entre os termos há também múltiplos de 3 a cada 3 termos.
Os termos da P.A. divididos por 3 têm como quocientes números ímpares que são 2 unidades menores que cada termo da P.A. e entre os quocientes inteiros, há também múltiplos de 3, a cada 3 números.
| Progressão Aritmética | |||
| 10 termo 3 e razão 4 | |||
| ordem / | P.A. | divisão | quociente |
| posição | por | ||
| 1 | 3 | 3 | 1 |
| 2 | 7 | 3 | 2,333333333 |
| 3 | 11 | 3 | 3,666666667 |
| 4 | 15 | 3 | 5 |
| 5 | 19 | 3 | 6,333333333 |
| 6 | 23 | 3 | 7,666666667 |
| 7 | 27 | 3 | 9 |
| 8 | 31 | 3 | 10,33333333 |
| 9 | 35 | 3 | 11,66666667 |
| 10 | 39 | 3 | 13 |
| 11 | 43 | 3 | 14,33333333 |
| 12 | 47 | 3 | 15,66666667 |
| 13 | 51 | 3 | 17 |
| 14 | 55 | 3 | 18,33333333 |
| 15 | 59 | 3 | 19,66666667 |
| 16 | 63 | 3 | 21 |
| 17 | 67 | 3 | 22,33333333 |
| 18 | 71 | 3 | 23,66666667 |
| 19 | 75 | 3 | 25 |
| 20 | 79 | 3 | 26,33333333 |
| 21 | 83 | 3 | 27,66666667 |
| 22 | 87 | 3 | 29 |
| 23 | 91 | 3 | 30,33333333 |
| 24 | 95 | 3 | 31,66666667 |
| 25 | 99 | 3 | 33 |
| 26 | 103 | 3 | 34,33333333 |
| 27 | 107 | 3 | 35,66666667 |
| 28 | 111 | 3 | 37 |
| 29 | 115 | 3 | 38,33333333 |
| 30 | 119 | 3 | 39,66666667 |
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A tabela a seguir apresenta os 30 primeiros termos de uma P.A cujo 10 termo é 3 e razão 5.
A razão 5 é 2 unidades maiores que o primeiro termo 3.
A P.A. cujo 10 termo é 3 e razão 5 é formada por números ímpares e pares a partir do número 3, e entre os termos, há também múltiplos de 3 a cada 3 termos.
Os termos da P.A. divididos por 3 têm como quocientes números ímpares e pares que são 2 unidades menores que cada termo da P.A. e entre os quocientes inteiros, há também múltiplos de 3, a cada 3 números.
| Progressão Aritmética | |||
| 10 termo 3 e razão 5 | |||
| ordem / | P.A. | divisão | quociente |
| posição | por | ||
| 1 | 3 | 3 | 1 |
| 2 | 8 | 3 | 2,666667 |
| 3 | 13 | 3 | 4,333333 |
| 4 | 18 | 3 | 6 |
| 5 | 23 | 3 | 7,666667 |
| 6 | 28 | 3 | 9,333333 |
| 7 | 33 | 3 | 11 |
| 8 | 38 | 3 | 12,66667 |
| 9 | 43 | 3 | 14,33333 |
| 10 | 48 | 3 | 16 |
| 11 | 53 | 3 | 17,66667 |
| 12 | 58 | 3 | 19,33333 |
| 13 | 63 | 3 | 21 |
| 14 | 68 | 3 | 22,66667 |
| 15 | 73 | 3 | 24,33333 |
| 16 | 78 | 3 | 26 |
| 17 | 83 | 3 | 27,66667 |
| 18 | 88 | 3 | 29,33333 |
| 19 | 93 | 3 | 31 |
| 20 | 98 | 3 | 32,66667 |
| 21 | 103 | 3 | 34,33333 |
| 22 | 108 | 3 | 36 |
| 23 | 113 | 3 | 37,66667 |
| 24 | 118 | 3 | 39,33333 |
| 25 | 123 | 3 | 41 |
| 26 | 128 | 3 | 42,66667 |
| 27 | 133 | 3 | 44,33333 |
| 28 | 138 | 3 | 46 |
| 29 | 143 | 3 | 47,66667 |
| 30 | 148 | 3 | 49,33333 |
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A tabela a seguir apresenta os 30 primeiros termos de uma P.A cujo 10 termo é 3 e razão 6.
A razão 6 é 3 unidades maiores que o primeiro termo 3.
A razão 6 é o dobro do primeiro termo 3.
A P.A. cujo 10 termo é 3 e razão 6 é formada por números ímpares múltiplos de 3.
Os termos da P.A. divididos por 3 têm como quocientes a sequência de números ímpares.
| Progressão Aritmética | |||
| 10 termo 3 e razão 6 | |||
| ordem / | P.A. | divisão | quociente |
| posição | por | ||
| 1 | 3 | 3 | 1 |
| 2 | 9 | 3 | 3 |
| 3 | 15 | 3 | 5 |
| 4 | 21 | 3 | 7 |
| 5 | 27 | 3 | 9 |
| 6 | 33 | 3 | 11 |
| 7 | 39 | 3 | 13 |
| 8 | 45 | 3 | 15 |
| 9 | 51 | 3 | 17 |
| 10 | 57 | 3 | 19 |
| 11 | 63 | 3 | 21 |
| 12 | 69 | 3 | 23 |
| 13 | 75 | 3 | 25 |
| 14 | 81 | 3 | 27 |
| 15 | 87 | 3 | 29 |
| 16 | 93 | 3 | 31 |
| 17 | 99 | 3 | 33 |
| 18 | 105 | 3 | 35 |
| 19 | 111 | 3 | 37 |
| 20 | 117 | 3 | 39 |
| 21 | 123 | 3 | 41 |
| 22 | 129 | 3 | 43 |
| 23 | 135 | 3 | 45 |
| 24 | 141 | 3 | 47 |
| 25 | 147 | 3 | 49 |
| 26 | 153 | 3 | 51 |
| 27 | 159 | 3 | 53 |
| 28 | 165 | 3 | 55 |
| 29 | 171 | 3 | 57 |
| 30 | 177 | 3 | 59 |
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A tabela a seguir apresenta os 30 primeiros termos de uma P.A cujo 10 termo é 3 e razão 7.
A razão 7 é 4 unidades maiores que o primeiro termo 3.
A P.A. cujo 10 termo é 3 e razão 7 é formada por números ímpares e pares a partir do número 3 e entre os termos, há também múltiplos de 3 a cada 3 termos.
Os termos da P.A. divididos por 3 têm como quocientes números ímpares e pares que são 2 unidades menores que cada termo da P.A. e entre os quocientes inteiros, há também múltiplos de 3, a cada 3 números.
| Progressão Aritmética | |||
| 10 termo 3 e razão 7 | |||
| ordem / | P.A. | divisão | quociente |
| posição | por | ||
| 1 | 3 | 3 | 1 |
| 2 | 10 | 3 | 3,333333 |
| 3 | 17 | 3 | 5,666667 |
| 4 | 24 | 3 | 8 |
| 5 | 31 | 3 | 10,33333 |
| 6 | 38 | 3 | 12,66667 |
| 7 | 45 | 3 | 15 |
| 8 | 52 | 3 | 17,33333 |
| 9 | 59 | 3 | 19,66667 |
| 10 | 66 | 3 | 22 |
| 11 | 73 | 3 | 24,33333 |
| 12 | 80 | 3 | 26,66667 |
| 13 | 87 | 3 | 29 |
| 14 | 94 | 3 | 31,33333 |
| 15 | 101 | 3 | 33,66667 |
| 16 | 108 | 3 | 36 |
| 17 | 115 | 3 | 38,33333 |
| 18 | 122 | 3 | 40,66667 |
| 19 | 129 | 3 | 43 |
| 20 | 136 | 3 | 45,33333 |
| 21 | 143 | 3 | 47,66667 |
| 22 | 150 | 3 | 50 |
| 23 | 157 | 3 | 52,33333 |
| 24 | 164 | 3 | 54,66667 |
| 25 | 171 | 3 | 57 |
| 26 | 178 | 3 | 59,33333 |
| 27 | 185 | 3 | 61,66667 |
| 28 | 192 | 3 | 64 |
| 29 | 199 | 3 | 66,33333 |
| 30 | 206 | 3 | 68,66667 |
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A tabela a seguir apresenta os 30 primeiros termos de uma P.A cujo 10 termo é 3 e razão 8.
A razão 8 é 5 unidades maiores que o primeiro termo 3.
A P.A. cujo 10 termo é 3 e razão 8 é formada por números ímpares a partir do número 3 e entre os termos, há também múltiplos de 3 a cada 3 termos.
Os termos da P.A. divididos por 3 têm como quocientes números ímpares que são 2 unidades menores que cada termo da P.A. e entre os quocientes inteiros, há também múltiplos de 3 a cada 3 números.
| Progressão Aritmética | |||
| 10 termo 3 e razão 8 | |||
| ordem / | P.A. | divisão | quociente |
| posição | por | ||
| 1 | 3 | 3 | 1 |
| 2 | 11 | 3 | 3,666667 |
| 3 | 19 | 3 | 6,333333 |
| 4 | 27 | 3 | 9 |
| 5 | 35 | 3 | 11,66667 |
| 6 | 43 | 3 | 14,33333 |
| 7 | 51 | 3 | 17 |
| 8 | 59 | 3 | 19,66667 |
| 9 | 67 | 3 | 22,33333 |
| 10 | 75 | 3 | 25 |
| 11 | 83 | 3 | 27,66667 |
| 12 | 91 | 3 | 30,33333 |
| 13 | 99 | 3 | 33 |
| 14 | 107 | 3 | 35,66667 |
| 15 | 115 | 3 | 38,33333 |
| 16 | 123 | 3 | 41 |
| 17 | 131 | 3 | 43,66667 |
| 18 | 139 | 3 | 46,33333 |
| 19 | 147 | 3 | 49 |
| 20 | 155 | 3 | 51,66667 |
| 21 | 163 | 3 | 54,33333 |
| 22 | 171 | 3 | 57 |
| 23 | 179 | 3 | 59,66667 |
| 24 | 187 | 3 | 62,33333 |
| 25 | 195 | 3 | 65 |
| 26 | 203 | 3 | 67,66667 |
| 27 | 211 | 3 | 70,33333 |
| 28 | 219 | 3 | 73 |
| 29 | 227 | 3 | 75,66667 |
| 30 | 206 | 3 | 68,66667 |
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A tabela a seguir apresenta os 30 primeiros termos de uma P.A cujo 10 termo é 3 e razão 9.
A razão 9 é 6 unidades maiores que o primeiro termo 3.
A razão 9 é o triplo e também quadrado perfeito do primeiro termo 3.
A P.A. cujo 10 termo é 3 e razão 9 é formada por números ímpares e pares a partir do número 3 e que são múltiplos de 3.
Os termos da P.A. divididos por 3 têm como quocientes números ímpares e pares.
Nos quocientes não há múltiplos de 3.
Observação importante: os quocientes formam uma P.A. cujo primeiro termo é 1 e razão 3 na qual não há múltiplos de 3 em seus termos.
Interessante observar que a P.A. formada pela coluna quociente, tem intercalados entre seus termos a Sequência de Números Triangulares Centrados ( 1, 4, 10, 19, 31, 46, 64, 85,...), (células laranjas)
Para mais informações, acesse:
011-estudos-246-numeros-figurados-pentagonais
| Progressão Aritmética | |||
| 10 termo 3 e razão 9 | |||
| ordem / | P.A. | divisão | quociente |
| posição | por | ||
| 1 | 3 | 3 | 1 |
| 2 | 12 | 3 | 4 |
| 3 | 21 | 3 | 7 |
| 4 | 30 | 3 | 10 |
| 5 | 39 | 3 | 13 |
| 6 | 48 | 3 | 16 |
| 7 | 57 | 3 | 19 |
| 8 | 66 | 3 | 22 |
| 9 | 75 | 3 | 25 |
| 10 | 84 | 3 | 28 |
| 11 | 93 | 3 | 31 |
| 12 | 102 | 3 | 34 |
| 13 | 111 | 3 | 37 |
| 14 | 120 | 3 | 40 |
| 15 | 129 | 3 | 43 |
| 16 | 138 | 3 | 46 |
| 17 | 147 | 3 | 49 |
| 18 | 156 | 3 | 52 |
| 19 | 165 | 3 | 55 |
| 20 | 174 | 3 | 58 |
| 21 | 183 | 3 | 61 |
| 22 | 192 | 3 | 64 |
| 23 | 201 | 3 | 67 |
| 24 | 210 | 3 | 70 |
| 25 | 219 | 3 | 73 |
| 26 | 228 | 3 | 76 |
| 27 | 237 | 3 | 79 |
| 28 | 246 | 3 | 82 |
| 29 | 255 | 3 | 85 |
| 30 | 264 | 3 | 88 |
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A tabela a seguir apresenta os 30 primeiros termos de uma P.A cujo 10 termo é 3 e razão 10.
A razão 10 é 7 unidades maiores que o primeiro termo 3.
A P.A. cujo 10 termo é 3 e razão 10 é formada por números ímpares terminados em 3 a partir do número 3, e entre os termos, há também múltiplos de 3 a cada 3 termos.
Os termos da P.A. divididos por 3 têm como quocientes números ímpares que são 2 unidades menores que cada termo da P.A. e entre os quocientes inteiros, há também múltiplos de 3, a cada 3 números.
| Progressão Aritmética | |||
| 10 termo 3 e razão 10 | |||
| ordem / | P.A. | divisão | quociente |
| posição | por | ||
| 1 | 3 | 3 | 1 |
| 2 | 13 | 3 | 4,333333 |
| 3 | 23 | 3 | 7,666667 |
| 4 | 33 | 3 | 11 |
| 5 | 43 | 3 | 14,33333 |
| 6 | 53 | 3 | 17,66667 |
| 7 | 63 | 3 | 21 |
| 8 | 73 | 3 | 24,33333 |
| 9 | 83 | 3 | 27,66667 |
| 10 | 93 | 3 | 31 |
| 11 | 103 | 3 | 34,33333 |
| 12 | 113 | 3 | 37,66667 |
| 13 | 123 | 3 | 41 |
| 14 | 133 | 3 | 44,33333 |
| 15 | 143 | 3 | 47,66667 |
| 16 | 153 | 3 | 51 |
| 17 | 163 | 3 | 54,33333 |
| 18 | 173 | 3 | 57,66667 |
| 19 | 183 | 3 | 61 |
| 20 | 193 | 3 | 64,33333 |
| 21 | 203 | 3 | 67,66667 |
| 22 | 213 | 3 | 71 |
| 23 | 223 | 3 | 74,33333 |
| 24 | 233 | 3 | 77,66667 |
| 25 | 243 | 3 | 81 |
| 26 | 253 | 3 | 84,33333 |
| 27 | 263 | 3 | 87,66667 |
| 28 | 273 | 3 | 91 |
| 29 | 283 | 3 | 94,33333 |
| 30 | 293 | 3 | 97,66667 |
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Progressões Aritméticas em que o primeiro termo é uma raiz quadrada igual ou maior que 3 e a razão o seu quadrado perfeito, ao serem divididas por essa raiz quadrada, geram quocientes que não são múltiplos dessa mesma raiz quadrada. Os quocientes formam progressões aritméticas cujos termos têm intercalados números poligonais centrados.
| Progressão Aritmética | |||
| 10 termo 5 e razão 25 | |||
| ordem / | P.A. | divisão | quociente |
| posição | por | ||
| 1 | 5 | 5 | 1 |
| 2 | 30 | 5 | 6 |
| 3 | 55 | 5 | 11 |
| 4 | 80 | 5 | 16 |
| 5 | 105 | 5 | 21 |
| 6 | 130 | 5 | 26 |
| 7 | 155 | 5 | 31 |
| 8 | 180 | 5 | 36 |
| 9 | 205 | 5 | 41 |
| 10 | 230 | 5 | 46 |
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| Progressão Aritmética | |||
| 10 termo 6 e razão 36 | |||
| ordem / | P.A. | divisão | quociente |
| posição | por | ||
| 1 | 6 | 6 | 1 |
| 2 | 42 | 6 | 7 |
| 3 | 78 | 6 | 13 |
| 4 | 114 | 6 | 19 |
| 5 | 150 | 6 | 25 |
| 6 | 186 | 6 | 31 |
| 7 | 222 | 6 | 37 |
| 8 | 258 | 6 | 43 |
| 9 | 294 | 6 | 49 |
| 10 | 330 | 6 | 55 |
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| Progressão Aritmética | |||
| 10 termo 7 e razão 49 | |||
| ordem / | P.A. | divisão | quociente |
| posição | por | ||
| 1 | 7 | 7 | 1 |
| 2 | 56 | 7 | 8 |
| 3 | 105 | 7 | 15 |
| 4 | 154 | 7 | 22 |
| 5 | 203 | 7 | 29 |
| 6 | 252 | 7 | 36 |
| 7 | 301 | 7 | 43 |
| 8 | 350 | 7 | 50 |
| 9 | 399 | 7 | 57 |
| 10 | 448 | 7 | 64 |
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| Progressão Aritmética | |||
| 10 termo 8 e razão 64 | |||
| ordem / | P.A. | divisão | quociente |
| posição | por | ||
| 1 | 8 | 8 | 1 |
| 2 | 72 | 8 | 9 |
| 3 | 136 | 8 | 17 |
| 4 | 200 | 8 | 25 |
| 5 | 264 | 8 | 33 |
| 6 | 328 | 8 | 41 |
| 7 | 392 | 8 | 49 |
| 8 | 456 | 8 | 57 |
| 9 | 520 | 8 | 65 |
| 10 | 584 | 8 | 73 |
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Por meio dos exemplos expostos são possíveis de se formarem Progressões Aritméticas cujos termos quando divididos pelo primeiro termo geram outra sequência numérica (onde há termos intercalados que formam sequências de números poligonais centrados ) cujos termos não são múltiplos e nem divisíveis pelo primeiro termo da primeira progressão aritmética.
Autor: Ricardo Silva - março/2025
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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