Números figurados, números poligonais, ou mesmo números geométricos são números que podem ser formados por meio de arranjos de pontos representando figuras geométricas regulares.
O presente estudo demonstra que Progressão Aritmética (P.A.) cujo primeiro termo é uma raiz quadrada (igual ou maior que 3) e a razão, o quadrado perfeito dessa raiz, geram termos que divididos pela raiz quadrada (primeiro termo) geram também termos de sequências de números poligonais centrados.
Neste estudo tem-se a formação de Progressão Aritmética cujo primeiro termo é o número 3 e a razão o seu quadrado perfeito 9 a qual gera uma segunda P.A. em que há termos intercalados da Sequência de Números Triangulares Centrados e também Números Triangulares.
A tabela a seguir apresenta os 30 primeiros termos de uma P.A cujo 10 termo é 3 e razão 9.
A razão 9 é 6 unidades maiores que o primeiro termo 3.
A razão 9 é o triplo e também quadrado perfeito do primeiro termo 3.
A P.A. cujo 10 termo é 3 e razão 9 é formada por números ímpares e pares a partir do número 3 e que são múltiplos de 3.
Os termos da P.A. divididos por 3 têm como quocientes números ímpares e pares.
Nos quocientes não há múltiplos de 3.
Observação importante: os quocientes formam uma P.A. cujo primeiro termo é 1 e razão 3 na qual não há múltiplos de 3 em seus termos.
Interessante observar que a P.A. formada pela coluna quociente tem intercalados entre seus termos a Sequência de Números Triangulares Centrados.
| Progressão Aritmética | |||
| 10 termo 3 e razão 9 | |||
| ordem / | P.A. | divisão | quociente |
| posição | por | (Triangulares | |
| Centrados) | |||
| 1 | 3 | 3 | 1 |
| 2 | 12 | 3 | 4 |
| 3 | 21 | 3 | 7 |
| 4 | 30 | 3 | 10 |
| 5 | 39 | 3 | 13 |
| 6 | 48 | 3 | 16 |
| 7 | 57 | 3 | 19 |
| 8 | 66 | 3 | 22 |
| 9 | 75 | 3 | 25 |
| 10 | 84 | 3 | 28 |
| 11 | 93 | 3 | 31 |
| 12 | 102 | 3 | 34 |
| 13 | 111 | 3 | 37 |
| 14 | 120 | 3 | 40 |
| 15 | 129 | 3 | 43 |
| 16 | 138 | 3 | 46 |
| 17 | 147 | 3 | 49 |
| 18 | 156 | 3 | 52 |
| 19 | 165 | 3 | 55 |
| 20 | 174 | 3 | 58 |
| 21 | 183 | 3 | 61 |
| 22 | 192 | 3 | 64 |
| 23 | 201 | 3 | 67 |
| 24 | 210 | 3 | 70 |
| 25 | 219 | 3 | 73 |
| 26 | 228 | 3 | 76 |
| 27 | 237 | 3 | 79 |
| 28 | 246 | 3 | 82 |
| 29 | 255 | 3 | 85 |
| 30 | 264 | 3 | 88 |
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A fórmula a seguir gera termos da P. A. cujo 10 termo é 3 e razão 9.
| 9n - 6 |
A fórmula a seguir gera termos de uma P.A. na qual há também termos da Sequência de Números Triangulares Centrados, bem como Números Triangulares.
| 9n - 6 |
| --------- |
| 3 |
Os números figurados triangulares centrados são formados construindo-se triângulos equiláteros por meio de arranjos de pontos equidistantes começando por um ponto central e acrescentando-se quantidades de pontos em múltiplos de 3.
1
1 + 3 = 4
4 + 6 = 10
10 + 9 = 19
19 + 12 = 31
31 + 15 = 46
46 + 18 = 64
64 + 21 = 85
1, 4, 10, 19, 31, 46, 64, 85,... são números figurados triangulares centrados.
Há diversos outros métodos se gerarem Números Triangulares Centrados, para mais informações, veja Matérias Relacionadas abaixo!
A tabela a seguir apresenta os 31 primeiros números da P.A. na qual há termos da Sequência de Números Triangulares Centrados e suas regularidades numéricas com o número 3 e seus múltiplos, bem como, números consecutivos e números triangulares:
a) a progressão aritmética tem seu primeiro termo 1 e razão 3;
b) os números triangulares centrados não são divisíveis por 3, bem como, seus múltiplos;
c) entre os termos da P.A., há números triangulares centrados, como também, números triangulares (células laranjas);
d) a diferença entre dois números triangulares é múltiplo de 3;
Exemplos:
10 - 1= 9
28 - 10 = 18
55 - 28 = 27
e) número triangular menos 1 unidade é um múltiplo de 3, a partir do triangular 10;
Exemplos:
10 - 1 = 9
28 - 1 = 27
55 - 1 = 54
f) as diferenças entre um par de fatores sucessor e outro antecessor de números consecutivos cujos produtos divididos por 2 geram um número triangular, são 3 unidades.
Exemplo:
| ( | 4 | x | 5 | ) | / | 2 | |
| - | ( | 1 | x | 2 | ) | / | 2 |
| ------------------- | |||||||
| diferenças | 3 | 3 | |||||
3 é a razão da progressão aritmética da sequência dos números triangulares centrados.
g) os intervalos entre os números triangulares (células laranjas) formam uma P.A. cujo primeiro termo é 2 e razão 3;
h) os intervalos entre os números triangulares (células laranjas) têm os mesmos valores do segundo fator de 2 números consecutivos;
Exemplos:
( 1 x 2 ) / 2
o segundo fator corresponde a 2 intervalos
( 4 x 5) / 2
o segundo fator corresponde a 5 intervalos
i) as duplas de números consecutivos também formam P.As com as outras duplas de números consecutivos.;
j) entre os primeiros fatores das duplas de números consecutivos, há também, números triangulares centrados.
| Números Triangulares Centrados | ||||||||
| ordem / | intervalos | P.A. | números | divisão por | ||||
| posição | consecutivos | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | ||
| 1 | 1 | ( 1x2 ) / 2 | 0,33 | 0,17 | 0,11 | 0,08 | 0,07 | |
| 2 | 1 | 4 | 1,33 | 0,67 | 0,44 | 0,33 | 0,27 | |
| 3 | 2 | 7 | 2,33 | 1,17 | 0,78 | 0,58 | 0,47 | |
| 4 | 10 | ( 4x5) / 2 | 3,33 | 1,67 | 1,11 | 0,83 | 0,67 | |
| 5 | 1 | 13 | 4,33 | 2,17 | 1,44 | 1,08 | 0,87 | |
| 6 | 2 | 16 | 5,33 | 2,67 | 1,78 | 1,33 | 1,07 | |
| 7 | 3 | 19 | 6,33 | 3,17 | 2,11 | 1,58 | 1,27 | |
| 8 | 4 | 22 | 7,33 | 3,67 | 2,44 | 1,83 | 1,47 | |
| 9 | 5 | 25 | 8,33 | 4,17 | 2,78 | 2,08 | 1,67 | |
| 10 | 28 | ( 7x8 )/ 2 | 9,33 | 4,67 | 3,11 | 2,33 | 1,87 | |
| 11 | 1 | 31 | 10,33 | 5,17 | 3,44 | 2,58 | 2,07 | |
| 12 | 2 | 34 | 11,33 | 5,67 | 3,78 | 2,83 | 2,27 | |
| 13 | 3 | 37 | 12,33 | 6,17 | 4,11 | 3,08 | 2,47 | |
| 14 | 4 | 40 | 13,33 | 6,67 | 4,44 | 3,33 | 2,67 | |
| 15 | 5 | 43 | 14,33 | 7,17 | 4,78 | 3,58 | 2,87 | |
| 16 | 6 | 46 | 15,33 | 7,67 | 5,11 | 3,83 | 3,07 | |
| 17 | 7 | 49 | 16,33 | 8,17 | 5,44 | 4,08 | 3,27 | |
| 18 | 8 | 52 | 17,33 | 8,67 | 5,78 | 4,33 | 3,47 | |
| 19 | 55 | ( 10x11 ) / 2 | 18,33 | 9,17 | 6,11 | 4,58 | 3,67 | |
| 20 | 1 | 58 | 19,33 | 9,67 | 6,44 | 4,83 | 3,87 | |
| 21 | 2 | 61 | 20,33 | 10,17 | 6,78 | 5,08 | 4,07 | |
| 22 | 3 | 64 | 21,33 | 10,67 | 7,11 | 5,33 | 4,27 | |
| 23 | 4 | 67 | 22,33 | 11,17 | 7,44 | 5,58 | 4,47 | |
| 24 | 5 | 70 | 23,33 | 11,67 | 7,78 | 5,83 | 4,67 | |
| 25 | 6 | 73 | 24,33 | 12,17 | 8,11 | 6,08 | 4,87 | |
| 26 | 7 | 76 | 25,33 | 12,67 | 8,44 | 6,33 | 5,07 | |
| 27 | 8 | 79 | 26,33 | 13,17 | 8,78 | 6,58 | 5,27 | |
| 28 | 9 | 82 | 27,33 | 13,67 | 9,11 | 6,83 | 5,47 | |
| 29 | 10 | 85 | 28,33 | 14,17 | 9,44 | 7,08 | 5,67 | |
| 30 | 11 | 88 | 29,33 | 14,67 | 9,78 | 7,33 | 5,87 | |
| 31 | 91 | ( 13x14 ) / 2 | 30,33 | 15,17 | 10,11 | 7,58 | 6,07 | |
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A fórmula a seguir gera termos de uma P.A. na qual há também termos da Sequência de Números Triangulares Centrados, bem como, Números Triangulares.
| 3n - 2 |
Número 3 multiplicado por um número triangular e somado 1 unidade tem como resultado um Número Triangular Centrado a partir do número 4.
(3 x 1) + 1 = 4
(3 x 3) + 1 = 10
(3 x 6) + 1 = 19
(3 x 10) + 1 = 31
Autor: Ricardo Silva - março/2025
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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