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Equação do Segundo Grau e a soma e produto - 027

Equação do Segundo Grau ou Equação Quadrática podem ser resolvidas por métodos algébricos, geométricos ou ambos, a Fórmula Resolutiva de Equação do Segundo Grau, conhecida por nós brasileiros como Fórmula de Bháskara tem aplicações em diversos ramos das Ciências como: Matemática, Geometria, Física, Astronomia, Engenharia, etc.

A essência da Equação do Segundo Grau é descobrir dois números cuja a soma e o produto são dados.

Quando se resolve Equação do Segundo Grau vários conceitos matemáticos e algébricos são utilizados como: números inteiros, números positivos, números negativos, números racionais, números irracionais, radiciação, coeficientes positivos, coeficientes negativos, etc.

Neste estudo são apresentados exemplos de Equações do Segundo formados a partir da soma e produto de dois números.

Equação do Segundo Grau e o número 2

Por meio de uma só Multiplicação pode-se obter o número 2:

1 x 2 = 2

Por meio dos fatores 1 e 2 pode-se formar raízes de uma Equação do Segundo Grau.

Soma dos números (fatores) 1 e 2.

1 + 2 = 3

Produto dos números (fatores) 1 e 2.

1 x 2 = 2

Por meio da soma de dois números distintos pode-se também obter o número 3.

1 + 2 = 3

a) 1 e 2 são dois números consecutivos;

c) são dois números primos entre si;

d) um é ímpar e outro é par;

c) a diferença entre eles é de 1 unidade

Observação importante: a diferença entre dois números, isto é, entre as raízes de uma Equação do Segundo Grau é que determina a raiz quadrada do Delta (Δ)

e) a soma de 1 + 2 = 3 pode ser relacionada ao semiperímetro de um retângulo;

f) o produto 1 x 2 = 2 poder ser relacionada à área de um retângulo

Formando Equação do Segundo Grau com raízes 1 e 2

Aplicando a propriedade distributiva e reduzindo os termos semelhantes, pode-se formar equação do segundo grau a partir de equação produto com os números 1 e 2.

(x - 1) . (x - 2) = 0

x2 - 2x - 1x + 2 = 0

x2 - 3x + 2 = 0

Equação do Segundo Grau - Fórmula de Bháskara

x2 - 3x + 2 = 0

Coeficientes:

a =1,

b = -3,

c = 2

    - b ± √b 2 - 4 . a .c
x = _____________
    2.a

Delta (Discriminante da equação)

Δ = b2 - 4 . a . c

i)

Δ = (-3)2 - 4 . 1 . 2

ii)

Δ = 9 - 8

iii)

Δ = 1

Observação importante: a diferença entre dois números, isto é, entre as raízes de uma Equação do Segundo Grau é que determina a raiz quadrada do Delta (Δ).

iv)

    -(-3) ± √1
x = _____________
    2

v)

Raízes da equação

    3 + 1    
x' = _____ = 2
    2    
    3 - 1    
x" = _____ = 1
    2    

Equação do Segundo Grau - relação entre coeficientes e raízes

Soma da raízes

O quociente entre coeficientes "-b" por "a" tem como resultado a soma das raízes.

        - b
S = x' + x" = ___
        a
        -(-3)
S = 1 + 2 = ____
        1
    -(-3)    
S = ____ = 3
    1    

Produto da raízes

O quociente entre coeficientes "c" por "a" tem como resultado o produto das raízes.

        c
P = x' . x" = ___
        a
        2
P = x' . x" = ___
        1
    2    
P = ___ = 2
    1    

Equação do Segundo e resolução por meio da soma e do produto

Equações do Segundo Grau em que o coeficiente a = 1 pode-se resolver mentalmente, por meio das seguintes etapas:

a) quais são dois números (fatores) cujo produto é 2 positivo;

x2 - 3x + 2 = 0

(-1) x (-2) = 2

observação: na multiplicação, sinais iguais, resultado positivo.

b) quais são dois números (parcelas) cuja soma é 3 negativo.

(-1) + (-2) = - 3

observação: na adição, sinais iguais, resultado positivo.

Equação do Segundo Grau e os números 3 e 4

Por meio da Multiplicação pode-se obter o número 12 com 3 expressões numéricas:

1 x 12 = 12

2 x 6 = 12

3 x 4 = 12

Por meio dos fatores 3 e 4 pode-se formar raízes de Equação do Segundo Grau.

Soma dos números (fatores) 3 e 4.

3 + 4 = 7

Produto dos números (fatores) 3 e 4.

3 x 4 = 12

a) 3 e 4 são dois números consecutivos;

c) são dois números primos entre si;

d) um é ímpar e outro é par;

c) a diferença entre eles é de 1 unidade.

Observação importante: a diferença entre dois números, isto é, entre as raízes de uma Equação do Segundo Grau é que determina a raiz quadrada do Delta (Δ).

e) a soma de 3 + 4 = 7 pode ser relacionada ao semiperímetro de um retângulo;

f) o produto 3 x 4 = 12 poder ser relacionada à área de um retângulo

Formando Equação do Segundo Grau com raízes 3 e 4

Aplicando propriedade distributiva e reduzindo termos semelhantes, pode-se formar equação do segundo a partir de equação produto com os números 3 e 4.

(x - 3) . (x - 4) = 0

x2 - 4x - 3x + 12 = 0

x2 - 7x + 12 = 0

Resolução por meio da soma e do produto

x2 - 7x + 12 = 0

Analisando uma equação do segundo grau, podemos utilizar algumas estratégias em sua resolução:

1) sendo o coeficente "a" igual a 1, a equação pode ser resolvida pelos Métodos Soma e Produto ou de Completar Quadrados;

2) Sendo o coefiente "a" negativo, múltiplique tudo por ( -1);

3) Sendo os coefientes múltiplos de um mesmo número, divida os dois membros por esse número.

Resolução

a) quais são dois números (fatores) cujo produto é 12 positivo;

x2 - 7x + 12 = 0

(-3) x (-3) = 12

observação: na multiplicação, sinais iguais, resultado positivo.

b) quais são dois números (parcelas) cuja soma é 7 negativo.

(-3) + (-4) = - 7

observação: na adição, sinais iguais, resultado positivo.

Equação do Segundo Grau - Método de Completar Quadrados

a) Resolução da equação x2 - 3x + 2 = 0

i)

desloca-se o termo intependente "c" 2 para o segundo membro.

x2 - 3x = - 2

ii)

dividi-se o coeficiente 3 do termo "bx" por 2 e eleve-o ao quadrado, (3/2)2 somando-o ao primeiro e segundo membro.

        9         9
x2 - 3x + ____ = - 2 + ___
        4         4

iii)

efetua-se o Mínimo Múltiplo Comum para se obter frações equivalentes...

x2   3x   9     2   9
____ - ____ + ____ = - ____ + ___
4   4   4     4   4

iv)

... e consequentemente também uma equação equivalente.

4x2 - 12x + 9 = - 8 + 9

v)

fatora-se o primeiro membro...

4x2 - 12x + 9 = - 8 + 9

vi)

... obtendo um quadrado da diferença (Produto Notável)

(2x - 3)2 = 1

vii)

extrai-se a raiz quadrada

2x - 3 = ± √1

Observação importante: a diferença entre dois números, isto é, entre as raízes de uma Equação do Segundo Grau é que determina a raiz quadrada do Delta (Δ).

Neste exemplo a raiz quadrada de 1 é 1.

As raízes da equação são os números (fatores) do produto 2.

    + 3 + 1   + 4    
x' = ______ = ___ = 2
    2   2    
    + 3 - 1   2    
x' = ______ = ___ = 1
    2   2    

b) Resolução da equação x2 - 7x + 12 = 0

i)

desloca-se o termo intependente "c" 12 para o segundo membro.

x2 - 7x = - 12

ii)

dividi-se o coeficiente 3 do termo "bx" por 2 e eleve-o ao quadrado, (3/2)2 somando-o ao primeiro e segundo membro.

        49         49
x2 - 7x + ____ = - 12 + ___
        4         4

iii)

efetua-se o Mínimo Múltiplo Comum para se obter frações equivalentes...

4x2   28x   49     48   49
____ - ____ + ____ = - ____ + ___
4   4   4     4   4

iv)

... e consequentemente também uma equação equivalente.

4x2 - 28x + 49 = - 48 + 49

v)

fatora-se o primeiro membro...

4x2 - 28x + 49 = - 48 + 49

vi)

... obtendo um quadrado da diferença (Produto Notável)

(2x - 7)2 = 1

vii)

extrai-se a raiz quadrada

2x - 7 = ± √1

Observação importante: a diferença entre dois números, isto é, entre as raízes de uma Equação do Segundo Grau é que determina a raiz quadrada do Delta (Δ).

Neste exemplo a raiz quadrada de 1 é 1.

As raízes da equação são os números (fatores) do produto 12.

    + 7 + 1   + 8    
x' = ______ = ___ = 4
    2   2    
    + 7 - 1   6    
x' = ______ = ___ = 3
    2   2    

 

Autor: Ricardo Silva - maio/2020

Fontes Bibliográficas:

Andrade, Bernardino Carneiro de . A evolução histórica da resolução das equações do 2o grau. Departamento de Matemática Pura da Faculdade de Ciências da Universidade do Porto,2000

Dante, Luiz Roberto . Tudo é Matemática / Luiz Roberto Dante - - 3. ed. - - São Paulo: Àtica, 2009

Iezzi, Gelson. Matêmática e realidade: 90 ano / Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce, Antonio Machado. - 6. ed. - São Paulo: Atual, 2009

Vale, Alberton Fagno Albino do. As diferentes Estratégias de Resolução da Equação do Segundo Grau. Dissertação apresentada à Universidade Federal Rural do Semiárido – Ufersa, Mossoró, 2013

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