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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Sequência de Fibonacci e a soma dos seus números - 225

Há um "truque mágico", isto é, uma atividade em Matemática Recreativa, que se faz com a Sequência de Fibonacci em que consiste escolher quaisquer dez termos consecutivos e descobrir a soma desses mesmos dez termos.[1]

Por exemplo, na sequência de 1, 1, ...,34, 55, qual é a soma?

Sequência de Fibonacci
                   
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
                   
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

E o "truque mágico" é multiplicar por 11 o sétimo termo da sequência escolhida.

11 x 13 = 143

1 + 1 + 2 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 = 143

Outra dica é fazer cálculo mental de 11 multiplicado por um número qualquer, basta repetir o número deslocando para a esquerda e somá-los.

  1 3  
1 3   +
       
1 4 3  

Para mais informações teóricas que como este técnica funciona veja [2].

Sequência de Fibonacci e a soma de números consecutivos

Obtem-se a Sequência de Fibonacci, repetindo-se o número 1 duas vezes e a partir do terceiro pela soma dos dois números anteriores.

Sequência de Fibonacci
                       
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
                       
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144

A soma de números concecutivos da Sequência de Fibonacci tem como resultado uma unidade menor do que o segundo termo subsequente.

   
   
1 = 1
1 1 = 2
1 1 2 = 4
1 1 2 3 = 7
1 1 2 3 5 = 12
1 1 2 3 5 8 = 20
1 1 2 3 5 8 13 = 33
1 1 2 3 5 8 13 21 = 54
1 1 2 3 5 8 13 21 34 = 88
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 = 143

Exemplos:

1 + 1 = 2

2 é uma unidade menor que 3 ( 40 termo)

1 + 1 + 2 = 4

4 é uma unidade menor que 5 (50 termo)

1 + 1 + 2 + 3 = 7

7 é uma unidade menor que 8 ( 60 termo)

Sequência de Fibonacci e a soma de termos em posições ímpares

A soma de números de Fibonacci em posições ímpares tem como resultado um número de Fibonacci.

O resultado da soma se encontra na posição posterior ao último termo ímpar da soma.

Sequência de Fibonacci
                       
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
                       
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144
   
   
1 = 1
1   =  
1 + 2 = 3
1   2   =  
1 + 2 + 5 + 8
1   2   5   =  
1 + 2 + 5 + 13 + 21
1   2   5       =  
1 + 2 + 5 + 13 + 34 + 55
                         
1 + 2 + 5 + 13 + 34 + 89 = 143

Exemplos:

1 + 2 = 3 (3 se encontra na 4a posição)

1 + 2 + 5 = 8 (8 se encontra na 6a posição)

1 + 2 + 5 + 13 = 21 (21 se encontra na 8a posição)

Sequência de Fibonacci e a soma de termos em posições pares

A soma de números de Fibonacci em posições pares tem como resultado uma unidade menor de um número de Fibonacci.

O resultado da soma se encontra na posição posterior ao último termo par da soma.

Sequência de Fibonacci
                       
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
                       
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144
   
   
  =  
  1   1
         
  1 + 3 = 4
             
  1 + 3 + 8 = 12
                 
  1 + 3 + 8 + 21   33
                     
  1 + 3 + 8 + 21 + 55 = 88

Exemplos:

1 + 3 = 4 (1 unidade menor de 5 - da 5a posição)

1 + 3 + 8 = 12 (1 unidade menor de 13 - da 7a posição)

1 + 3 + 8 + 21 = 33 (1 unidade menor de 34 - da 9a posição)

Fórmula para saber o n-ésimo termo de Fibonacci

    Фn
F (n) =  
    √ 5
     

Exemplo:

Calcular o 120 termo da Sequência de Fibonacci, isto é, F12

    Ф12
F (12) =  
    √ 5
    1,61803312
F (12) =  
    2,2360
    321,9945
F (12) =  
    2,2360
F (12) = 144,0047

O 120 termo da Sequência de Fibonacci é o número 144.

 

Autor: Ricardo Silva - julho/2019

Fontes Bibliográficas:

[1] Carvalho, Maria Cecília Costa e Silva. Padrões Numéricos e Sequências - São Paulo: Modena, 1997

[2] Cordeiro, Allison. Tópicos de Aritmética: a sequência de Fibonacci. Departamento de Matemática -UFPR, Curitiba, PR, 2014

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