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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Triângulos de Fibonacci - 252

A Sequência de Fibonacci é formada repetindo-se o número 1 duas vezes e partir do terceiro termo somando-se o termo anterior:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987...

...é uma sequência originada de um problema no qual a partir de um casal de coelhos, depois de 12 meses, quantos coelhos existirão no total, não considerando situações adversas como mortes, doenças, etc., publicada no livro Liber Abaci (Livro de Cálculos) no ano de 1202.

Johannes Kepler, astronômo, astrólogo e matemático alemão, no ano de 1611, percebe que divindo um termo posterior com um termo anterior apresenta como resultado o número 1,6180339887498948482045868343656... quanto mais se avança para números maiores da sequência, número que mais tarde recebeu várias denominações: Número de Ouro, Número Áureo, Número Dourado, Número Ф (Fi).

Sequência de Fibonacci Número de Ouro
   
1 1
1 2
2 1,5
3 1,666666667
5 1,604984472
8 1,618033989
13 1,618033989
21 1,618033989
34 1,618033989
55 1,618033989
89 1,618033989
144 1,618033989
233 1,618033989
377 1,618033989
610 1,618033657

François-Édouard-Anatole Lucas (1842-1891), matemático francês, foi quem notou pela primeira vez que nos números dos problemas dos coelhos a partir do terceiro termo, somando-se um termo anterior, obtem-se o próximo termo.

A partir desta observação, François-Édouard-Anatole Lucas e outros mátemáticos posteriores descobriram outras diversas propriedades relacionadas à Sequência de Fibonacci como:

Sequência de Lucas - originada dos números de Fibonacci;

Definição recursiva;

Propriedades da soma entre termos da sequência de Fibonacci;

Produto dos termos da sequência de Fibonacci;

Fórmula de Binet;

Razão Áurea, etc.

Os números de Fibonacci aparecem na fauna, flora, geometria, arquitetura, fenômenos físicos, etc.

Sequência de Fibonacci e Ternos Pitagóricos

O matemático Charles Raine descobriu que escolhendo-se 4 termos consecutivos da Sequência de Fibonacci são possíveis formarem Ternos Pitagóricos.

Ternos Pitagóricos são sequências de três números inteiros que satisfazem ao Teorema de Pitágoras com os quais são possíveis de se construirem triângulos retângulos escalenos, também chamados de Triângulos Pitagóricos.

Sequência 1, 1, 2 e 3

Produtos dos extremos

1 x 3 = 3

O dobro do produto dos meios

2 x 1 x 2 = 4

Soma do quadrados dos meios

12 + 22 = 1 + 4 = 5

Terno pitagórico formados com Números de Fibonacci: 3, 4 e 5.

Sequência de Fibonacci e o Número de Ouro

Triângulo de Fibonacci

Escolhendo-se dois termos consecutivos da Sequência de Fibonacci e aplicando o Teorema de Pitágoras, o resultado da hipotenusa é um radical cujo radicando é um número de Fibonacci.

Exemplo:

Números escolhidos 1 e 2.

O número 1, que é o primeiro termo, é o denominado de cateto menor.

O número 2, que é o segundo termo, é o denominado de cateto maior.

Aplicando o Teorema de Pitágoras, a hipotenusa tem como resultado o radical √5 cujo radicando é um número de Fibonacci.

triângulo de Fibonacci - 1 - 2 - raiz de 5

Triângulo de Fibonacci - regularidades na hipotenusa

A presente tabela lista os 23 primeiros números de Fibonacci, formando duplas de números consecutivos (cateto menor e cateto maior) relacionados aos lados de um triângulo retângulo.

Assim como a razão entre um número de Fibonacci e o seu antecessor tem como resultado o Número de Ouro (Phi) , a razão entre uma hipotenusa e uma hipotenusa anterior também é um número (Phi).

Importante destacar que:

a) os radicais referente as hipotenusas não são consecutivos, por exemplo entre os radicais √2 e √5, há um intervalo de dois radicais "faltantes";

b) os radicandos são números de Fibonacci.

Triângulo de Fibonacci
regularidades na hipotenusa
         
cateto cateto hipotenusa raiz phi
menor maior   quadrada  
         
(c) (b) (a)    
         
1 1 √2 1,414 1,581
1 2 √5 2,236 1,612
2 3 √13 3,605 1,617
3 5 √34 5,830 1,617
5 8 √89 9,433 1,618
8 13 √233 15,264 1,618
13 21 √610 24,698 1,618
21 34 √1.597 39,962 1,618
34 55 √4.181 64,660 1,618
55 89 √10.946 104,623 1,618
89 144 √28.657 169,283 1,618
144 233 √75.025 273,906 1,618
233 377 √196.418 443,190 1,618
377 610 √514.229 717,097 1,618
610 987 √1.346.269 1160,288 1,618
987 1.597 √3.524.578 1877,385 1,618
1.597 2.584 √9.227.465 3037,674 1,618
2.584 4.181 √24.157.817 4915,060 1,618
4.181 6.765 √63.245.986 7952,734 1,618
6.765 10.946 √165.580.141 12867,794 1,618
10.946 17.711 √433.494.437 20820,529 1,618
17.711 28.657 √1.134.903.170 33688,323 1,618
28.657 46.368 √2.971.215.073 54508,853 1,618

Triângulo de Fibonacci - relações trigonométricas

Aplicando as relações trigonométricas a cada triângulo retângulo formado pelas duplas de números consecutivos da Sequência de Fibonacci da tabela acima que formam os catetos e com o resultado da hipotenusa, os valores de seno, cosseno e tangente apresentam-se constantes.

Triangulo de Fibonacci
relações trigonométricas
     
seno cosseno  tangente
     
0,511667274 0,82789504 0,618033989
0,523606798 0,847213595 0,618033989
0,525419567 0,850146718 0,618033989
0,525685624 0,850577207 0,618033989
0,525724475 0,850640069 0,618033989
0,525730144 0,850649241 0,618033989
0,525730971 0,85065058 0,618033989
0,525731092 0,850650775 0,618033989
0,525731109 0,850650803 0,618033989
0,525731112 0,850650808 0,618033989
0,525731112 0,850650808 0,618033989
0,525731112 0,850650808 0,618033989
0,525731112 0,850650808 0,618033989
0,525731112 0,850650808 0,618033989
0,525731112 0,850650808 0,618033989
0,525731112 0,850650808 0,618033989
0,525731112 0,850650808 0,618033989
0,525731112 0,850650808 0,618033989
0,525731112 0,850650808 0,618033989
0,525731112 0,850650808 0,618033989
0,525731112 0,850650808 0,618033989
0,525731112 0,850650808 0,618033989
0,525731112 0,850650808 0,618033989
0,525731112 0,850650808 0,618033989

Triângulo de Fibonacci - regularidades nos dois números escolhidos

a) A partir de dois números escolhidos que formam os catetos, os intervalos até a hipotenusa formam uma progressão aritmética de razão 1: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10...}

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610

0 intervalo

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610

1 intervalo

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610

2 intervalos

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610

3 intervalos

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610

4 intervalos

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610

5 intervalos

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610

6 intervalos

b) A partir do primeiro termo da Sequência de Fibonacci até os dois números escolhidos que formam os catetos, os intervalos formam uma progressão aritmética de razão 1 a partir da segunda linha: { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10...}

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610

0 intervalo

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610

1 intervalo

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610

2 intervalos

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610

3 intervalos

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610

4 intervalos

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610

5 intervalos

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610

 

Autor: Ricardo Silva - abril /2020

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Sequência Numéricas Mágicas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo e as novas fórmulas de cálculos dos seus lados. São Paulo, edição digital, 2014

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