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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Logaritmos e seu surgimento - 324

No decorrer da História da Matemática, o homem tem descoberto diversas propriedades relacionadas aos números e também tem criado tanto algoritmos, fórmulas quanto dipositivos numéricos sejam eles: manuais, mecânicos ou digitais que facilitem as operações de soma, subtração, multiplicação, divisão, extração de raízes quadradas, operações com frações, etc.

Uma dessas descorbertas, que revolucionou o método de se fazer operações aritméticas, são os Logaritmos.

Com os Logaritmos são possíveis de se:

a) transformar operações de múltiplicação em operações de soma;

b) transformar operações de divisão em operações de subtração.

Para multiplicar dois números, basta somar seus logaritmos.

Para dividir dois números, basta subtrair seus logaritmos.

Para elevar um número a determinada potência, basta multiplicar o seu logaritmo pelo expoente.

Para extrair a n-ésima raiz de um número, basta dividir o logaritmo pelo índice da raiz.

Relações numéricas entre progressões aritmética e geométrica

Imagine a tabela abaixo sendo um Régua e você começa a fazer os seguintes cálculos...

PA PG
   
0 1
1 2
2 4
3 8
4 16
5 32
6 64
7 128
8 256
9 512
10 1024

a) cálculo 1

Multiplique 2 por 4 = 8

Some 1 e 2 = 3

O número 8 está na linha 3.

PA PG
   
0  
1 2
2 4
3 8
4  
5  
6  
7  
8  
9  
10  

b) cálculo 2

Multiplique 2 por 8 = 16

Some 1 e 3 = 4

O número 16 está na linha 4.

PA PG
   
0  
1 2
   
3 8
4 16
5  
6  
7  
8  
9  
10  

Quando se efetua uma multiplicação na coluna PG, na coluna PA somam-se os números correspondentes.

c) cálculo 3

Divida 32 por 8 = 4

Subtráia: 5 - 3 = 2

O número 4 está na linha 2.

PA PG
   
0  
1  
2 4
3 8
   
5 32
6  
7  
8  
9  
10  

d) cálculo 4

Divida 64 por 32 = 2

Subtráia: 6 - 5 = 1

O número 2 está na linha 1.

PA PG
   
0  
1 2
2  
3  
4  
5 32
6 64
7  
8  
9  
10  

Quando se efetua uma divisão na coluna PG, na coluna PA subtraem-se os números correspondentes.

Logaritmos e Michael Stiefel

O Matemático, de origem alemã, Michael Stiefel (1487-1567) publicou em sua obra: Aritmetica Integra (1544) estudos de relações numéricas entre uma progressão aritmética - PA e uma progressão geométrica - PG.

PA de razão 1 e primeiro termo 0.

PG de razão 2 e primeiro termo 1.

PA PG
   
(logaritmo) (potência)
   
0 1
1 2
2 4
3 8
4 16
5 32
6 64
7 128
8 256
9 512
10 1024
   

Produto de 2 termos de uma PG

Exemplo 1)

Produto de 2 termos da PG:

2 x 4 = 8

Soma de 2 termos da PA (logaritmos) correspondentes aos termos 2 e 4 da PG:

1 + 2 = 3

O produto 8 se encontra na mesma linha da soma 3 (logaritmo).

Exemplo 2)

Produto de 2 termos da PG:

4 x 8 = 32

Soma de 2 termos da PA (logaritmos) correspondentes aos termos 2 e 3 da PG:

2 + 3 = 5

O produto 32 se encontra na mesma linha da soma 5 (logaritmo).

Quociente de 2 termos de uma PG

Exemplo 1)

Quociente de 2 termos da PG:

8 : 4 = 2

Diferença de 2 termos da PA (logaritmos) correspondentes aos termos 8 e 4 da PG:

3 - 2 = 1

1 é o termo da PA (logaritmo) correspondente ao termo 2 da PG.

Exemplo 2)

Quociente de 2 termos da PG:

64 : 4 = 16

Diferença de 2 termos da PA (logaritmos) correspondentes aos termos 64 e 4 da PG:

6 - 2 = 4

4 é o termo da PA (logaritmo) correspondente ao termo 16 da PG.

Potência de um termo de uma PG

Exemplo 1)

42 = 16

Produto do expoente 2 pelo termo da PA (logaritmo) correspondente ao temo 4 da PG:

2 x 2 = 4

4 é o termo da PA (logaritmo) correspondente ao termo 16 da PG.

Exemplo 2)

82 = 64

Produto do expoente 2 pelo termo da PA (logaritmo) correspondente ao temo 8 da PG:

2 x 3 = 6

6 é o termo da PA (logaritmo) correspondente ao termo 64 da PG.

Observação importante: a notação de potência como: 20, 21 22, 23, 24 e assim sucessivamente, não existia na época de Michael Stiefel, viera a aparecer nos estudos de Rene Descartes (1596-1650).

Raiz e-nésima de um termo de uma PG

Exemplo 1)

√4 = 2

Quociente do termo 2 da PA (logaritmo) correspondente ao termo 4 da PG pelo índice 2 da raiz:

2 : 2 = 1

1 é o termo da PA (logaritmo) correspondente ao termo 2 da PG.

Exemplo 2)

√16 = 4

Quociente do termo 4 da PA (logaritmo) correspondente ao termo 16 da PG pelo índice 2 da raíz :

4 : 2 = 2

2 é o termo da PA (logaritmo) correspondente ao termo 4 da PG.

Observação importante: não existia na época de Michael Stiefel, o termo Logaritmo para se referir as operações acima.

Logaritmos e John Napier

John Napier (1550-1617), astrônomo, físico, entusiasta matemático e teólogo escocês. Também conhecido pelo nome, em latim, de Ioannes Neper.

Idealizou os Logaritmos a partir de estudos de propriedades de potências de mesma base:

am x an = a m+n

Produto cujas bases são iguais, conserva-se a base e soma-se os expoentes.

am : am = a m-m

Divisão cujas bases são iguais, conserva-se a base e subtraem-se os expoentes.

John Napier passou 20 longos anos construíndo as tábuas de logaritmos e as publicou em 1614, cujo título é Mirifici logarithimorum canonis constructio (Descrição da Maravilhosa Regra dos Logaritmos) tendo enorme repercusão tanto no meio acadêmico quanto no meio astrológico, astronômico, naval enfim no meio científico em geral.

Os Logaritmos são FERRAMENTA, INSTRUMENTAL, ALGORITMO com as quais, astrôlogos, astronômos, banqueiros, cientistas, engenheiros, matemáticos, navegadores, ou seja, qualquer pessoa, pode efetuar cálculos aritméticos com maior rapidez.

E realmente, os Logaritmos são incríveis e em sua base de construção se encontram as relações númericas entre progressões aritméticas e geométricas.

Logaritmos e Henry Briggs

Henry Briggs (1561-1630), matemático, professor da Universidade de Oxford.

Segundo alguns autores, Henry Briggs ficou tão estusiasmado com criação dos Logaritmos que entrou imediatamente em contato com John Napier e sugeriu-lhe a utilização da base 10 na produção de novas tábuas de logaritmos, por achar esta base de fácil utilização e manipulação.

Napier aceitou a sugestão e ficou convecionado as seguintes notações:

log10 1 = 0

e

log10 10 =1.

1617 - foi publicada a primeira tábua de logaritmos de base 10 com 1.000 termos.

1624 - Obra: Aritmetica Logaritmica de 1 a 20.000 termos e de 90.000 a 100.000.

Adrian Vlacq complementa a Aritmetica Logaritmica dos 20.000 a 90.000 termos.

Na obra Trigonometria Britannica é publicaca logaritmos de 1 a 100.000

Logaritmos e Joost Bürggi

Joost Bürggi (1555-1632), matemático, fabricante de relógios e instrumentos de astronomia.

Em 1588 desenvolve método independente de logaritmos e a publica em 1620, seis anos após os logaritmos de Napier.

A sua obra acabou sendo ofuscada e os méritos da criação dos logaritmos ficou sendo de Napier.

Posteriormente inventou a Phosthapharesis, algoritmo para aproximar produto utilizando fórmulas da trigonometria.

Veja também matérias relacionadas:

011-estudos-325-logaritmos-de-potencias-de-base-10
011-estudos-326-logaritmos-de-potencias-de-base-10-e-numeros-primos

 

Autor: Ricardo Silva - marco /2021

Fontes Bibliográficas:

CERGOLI, Daniel. Ensino de Logaritmos por meio de investigações em sala de aula. Dissertação de Mestrado. Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo. São Paulo, 2017

GUIMARÃES, Angelo de Moura. Introdução à ciência da computação / Angelo de Moura Guimarães, [e] Newton Alberto de Castilho Lages - Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Cientifícos Ed., 1982

SILVA, Claudio Xavier da. Matemática aula por aula - 2 ed. renov. São Paulo:FTD, 2005 - (Coleção matemática aula por aula) -vol 1

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

https://books .google.fr/

 A Construção da Primeira Tábua de Logaritmos Decimais por Briggs. Publicado por Kleber Kilhian em 07/08/2011. URL: https:// www.obaricentrodamente.com /2011/08/ construcao-da-primeira-tabua-de.html

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