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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Logaritmos de potências de base 10 e números primos - 326

Assim como junção de átomos formam elementos químicos e posteriormente os mais diversos materiais, com os números primos não é diferente, pois a partir deles, isto é, por meio de produtos de números primos é que se formam números compostos.

Os números primos tem desafiado a mente humana, principamente a dos matemáticos e dos entusiastas matemáticos na tentativa de se descobrir uma fórmula que os gerem sequencialmente.

Os Logaritmos foram criação de John Napier (1550-1617), astrônomo, físico, entusiasta matemático e teólogo escocês.

John Napier trabalhou produzindo Tábuas de Logaritmos ao longo de 20 anos e quando de sua publicação em 1614, cujo título é Mirifici logarithimorum canonis constructio (Descrição da Maravilhosa Regra dos Logaritmos), teve enorme repercusão nas Ciências, pois era a FERRAMENTA que astrônomos, astrôlogos, navegadores e sistema bancário estavam precisando para efetuarem os mais variados cálculos aritméticos com maior rapidez.

Os logaritmos transformam multiplicações em adição e divisões em subtração.

O Professor e Matemático Henry Briggs, da Univesidade de Oxford, teve encontros com John Napier e sugeriu-lhe para se utilizar potências de base 10 aos logaritmos.

A sugestão de Henry Briggs se baseia no fato de que qualquer número positivo pode ser escrito como potências de base 10.

Nos estudos do Professor Henry Briggs, com base nos trabalhos de John Napier, os números primos não poderiam ficar de fora, pois precisariam ser encontrados logaritmos de números primos que representasse potências de base 10 e assim poder gerar também números compostos aplicando as propriedades dos logaritmos.

Em pensar que computadores até o final de 1960, eram restritos a governos e grandes companhias, e que partir da década de 70 a informática deu um salto, com calculadoras, computadores pessoais, laptops, nootebooks, celulares, etc., podemos imaginar os esforços, dedicações e paciência de John Napier e Henry Briggs em produzirem Tábuas de Logaritmos, todas mentalmente, todas manualmente, cálculo por cálculo, número por número.

Trabalho de mestres, isto é, de grandes mestres!

Logaritmos de potências de base 10

A presente tabela demonstram as representações numéricas, fracionárias e decimais de algumas potências de base 10 com seus respectivos expoentes positivos e negativos.

Potências de base 10
         
número       expoente
natural       positivo
         
100.000 =   = 105
10.000 =   = 104
1.000 =   = 103
100 =   = 102
10 =   = 101
1 =   = 100
         
fração   número   expoente
    decimal   negativo
         
1 /10 = 0,1 = 10-1
1 / 100 = 0,01 = 10-2
1 / 1.000 = 0,001 = 10-3
1 / 10.000 = 0,0001 = 10-4
1 / 100.000 = 0,00001 = 10-5
         
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Nos exemplos acima, demonstrou-se que são possíveis de se escreverem números positivos como potências de base 10.

Logaritmos de números primos

Observando a tabela a seguir, nota-se que entre as potências 1 e 10 e seus respectivos logaritmos, há intervalos que faltam ser preenchidos com outras potências de 10 e também seus respectivos logaritmos.

Exemplos:

Qual é o logaritmo de 2 na base 10?

log10 2 =?

Qual é o logaritmo de 3 na base 10?

log10 3 =?

Qual é o logaritmo de 5 na base 10?

log10 5 =?

Qual é o logaritmo de 7 na base 10?

log10 7 =?

Base Logaritmo Potência
     
  expoente  
  (progressão aritmética) (progressão geométrica)
     
10 0 1
10 ? 2
10 ? 3
10 ? 4
10 ? 5
10 ? 6
10 ? 7
10 ? 8
10 ? 9
10 1 10

Como é possível escrever números primos 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37... como potências de 10?

Vejamos alguns cálculos e efetuando aproximações...

100 = 1

10 0,5 = 10 1/2 = √101 = 3,162277...

10 0,4 = 10 4/10 = 10√104 = 2,511886...

10 0,3 = 10 3/10 = 10√103 = 1,995262...

101 = 10

...para chegar ao logaritmo de 2 na base 10. Fazendo aproximações, quanto tempo levariámos para tal feito?

log10 2 = 0,301029995 66398119521373889472449

E aqui, o grande mérito, engenhosidade e criatividade de John Napier e a sugestão de Henry Briggs a ele, de-se utilizar potências de base 10.

Aqui está o pulo do gato dos logaritmos, poder também transformar, isto é, escrever outros números que não potências naturais de base 10, como potências de 10 e assim facilitar as operações aritméticas.

Foram precisas diversas etapas de cálculos, diversas mesmas, por meio de extrações de raizes, cálculos de médias geométricas, operações com números fracionários entre sequências de duas potências naturais de base 10 para se conseguirem representações de números primos como também de potências de base 10.

2 = 10 0,301

3 = 10 0,477

7 = 10 0,845

Como sabemos, o produto de números primos geram números compostos e da mesma forma utilizando números primos como potências de base 10 e as propriedades dos logaritmos também podemos gerar outros números como potências de base 10.

Logaritmos de potências de base 10 e Henry Briggs

O Professor Henry Briggs têm os seguintes trabalhos publicados e que posteriormente foram complementados por outros estudiosos dos logaritmos:

1617 - foi publicada a primeira tábua de logaritmos de base 10 com 1.000 termos.

1624 - Obra: Aritmetica Logaritmica de 1 a 20.000 termos e de 90.000 a 100.000.

Adrian Vlacq complementa a Aritmetica Logaritmica dos 20.000 a 90.000 termos.

Na obra Trigonometria Britannica é publicaca logaritmos de 1 a 100.000.

O Professor Associado Denis Roegel da Universidade de Lorraine - França publica no WebSite http://locomat.loria.fr estudos relacionados, bem como disponibiliza arquivos digitais de tabelas trigonométricas, de números primos, de divisores, de logaritmos, etc. elaboradas por renomeados matemáticos e estudiosos ao longo do tempo.

Na edição digital A reconstruction of the tables of Briggs’ Arithmetica logarithmica (1624) - Denis Roegel - 11 January 2011 (last version: 30 november 2014), o Professor Denis Roegel discorre sobre diversos métodos e técnicas que Henry Briggs utilizou para produzir Tábuas de Logaritmos.

A publicação possui 334 páginas, sendo 20 delas, explicando os processos e etapas de criações de fórmulas para se gerarem logaritmos.

Interessante que antes de conhecer este trabalho do Professor Denis Roegel e estudando logaritmos, ficava imaginando de como também produzí-los, então começei a escrever e pensar assim...

"10 elevado a zero é igual a 1..."

100 = 1

"10 elevado a 1 é igual a 10..."

101 = 10

"E se fizer intercalações entre: 100 = 1 e 101 = 10 da seguinte forma..."

100 = 1

10 0,5 = 10 1/2 = √101 = 3,162277...

10 0,25 = 10 1/4 = 4√101 = 1,778279...

10 0,125 = 10 1/8 = 8√101 = 1,333521...

10 0,0625 = 10 1/16 = 16√101 = 1,154781...

101 = 10

... e para minha surpresa na página 4, item 3.1...

"...Briggs used this method as follows. He first considered the logarithms of 2n√10. Their values are actually very easy to compute:


log10 = 1

log√10 = 0.5

log 4 √10 = 0.25 ......

log 2n √10 =2 -n "

O grifo é nosso.

O Professor Henry Briggs já tinha sido mais rápido, utilizando a sequencia 1/2, 1/4, 1/8, 1/16,... como expoentes de base 10.

Henry Briggs - logaritmos

Fonte: edição digital A reconstruction of the tables of Briggs’ Arithmetica logarithmica. http://locomat.loria.fr

 

A título de curiosidade, a tabela abaixo demonstram alguns detalhes dos resultados de como se chegar a representação do logaritmo de 2 = 10 0,301 por meio de extração de raízes, médias geométricas e operações com números decimais, totalizando 21 estapas.

As demonstrações dos cálculos se encontram publicados no WebSite O Baricentro da Mente do Professor Kleber Khilian.

etapa1    
etapa 2    
etapa 3 10 0,5 3,1622776
etapa 4 10 0,25 1,7782783
etapa 5 10 0,375 2,371374
etapa 6 10 0,3125 2,053525
etapa 7 10 0,28125 1,910953
etapa 8 10 0,296875 1,980957
etapa 9    
etapa 10    
... ... ...
etapa 16    
etapa 17    
etapa 18 10 0,301041 2,000049
etapa 19 10 0,301033 2,00001384
etapa 20 10 0,301029 1,99999541
etapa 21 100,30103 2,00000463

Fonte: Tabela adaptada de: https://www.obaricentrodamente.com/2011/08/construcao-da-primeira-tabua-de.html

Número 5 como potência de base 10

5 pode ser escrito como fração 10/2 e assim aplicando a propriedade logaritmo do quociente, obtemos o seu logaritmo.

O logaritmo de um quociente é igual a diferença entre o logaritmo do dividendo e logaritmo do divisor.

log a / b = log a - log b
    10   10 1        
5 = __ = ______ = 10,1 - 0,301 = 10,0,699
    2   10,0,301        

Portanto,

5 = 100,699

log10 5 = 0,699

ou ainda, sem o número 10 subescrito na palavra log.

log 5 = 0,699

Veja também matérias relacionadas:

011-estudos-324-logaritmos-e-seu-surgimento
011-estudos-325-logaritmos-de-potencias-de-base-10

Autor: Ricardo Silva - marco /2021

Fontes Bibliográficas:

CERGOLI, Daniel. Ensino de Logaritmos por meio de investigações em sala de aula. Dissertação de Mestrado. Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo. São Paulo, 2017

GUIMARÃES, Angelo de Moura. Introdução à ciência da computação / Angelo de Moura Guimarães, [e] Newton Alberto de Castilho Lages - Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Cientifícos Ed., 1982

SILVA, Claudio Xavier da. Matemática aula por aula - 2 ed. renov. São Paulo:FTD, 2005 - (Coleção matemática aula por aula) -vol 1

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

https://books .google.fr/

 A Construção da Primeira Tábua de Logaritmos Decimais por Briggs. Publicado por Kleber Kilhian em 07/08/2011. URL: https:// www.obaricentrodamente.com /2011/08/ construcao-da-primeira-tabua-de.html

A reconstruction of the tables of Briggs’ Arithmetica logarithmica. http://locomat.loria.fr

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