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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Tabuada da Sequência de Fibonacci - 253

O Professor Ledo, na introdução da vídeo aula: PAPMEM - Julho de 2017 - Números racionais, irracionais, reais diz que um homem que vive em cidades pode até não saber ler, mas não saber contar e lidar com números é uma coisa inconcebível, porque estamos impregnados de números, pois necessitamos ver horas, lidar com dinheiro, lembrar de datas, fazer medições, etc...

Criado na civilização indiana, disseminado pelos árabes, os algarismos indo-arábicos chegou à Europa, no século XII, através de Leonardo Pisano, conhecido por Fibonacci.

Em uma de suas obras, Liber Abaci, Fibonacci discorre sobre a praticidade e superioridade dos algarismos indo-arábicos para se efetuar os mais diversos cálculos matemáticos e é nesta obra que também aparece a sequência 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,... relecionada a um problema em que se desejava saber quantos coelhos no período de um ano poderiam ser gerados a partir de um casal de coelhos.

Johannes Kepler, astronômo, astrólogo e matemático alemão percebe que dividindo um número por um número anterior da sequência 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,...o quociente tende para o número 1,6180339887 498948 48, denominado por Luca Paccioli como Número de Ouro, hoje também conhecido por Número Dourado, Número Áureo, Número de Deus, posteriormente em homenagem ao arquiteto grego Fhidias, escolheu a letra grega phi (Ф) e passou a ser chamado de Número phi (Ф).

François-Édouard-Anatole Lucas (1842-1891), matemático francês, nota que nos números dos problemas dos coelhos a partir do terceiro termo, somando-se um termo anterior, obtem-se o próximo termo.

Após vários estudos, François-Édouard-Anatole Lucas descobre diversas outras propriedades numéricas e algébricas na sequência 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,... a qual passa a denominá-la de Sequência de Fibonacci, em homenagem a Leonado Pisano, Leonardo de Pisa, desenvolve também a partir da Sequência de Fibonacci a Sequência de Lucas.

Diversas outras propriedades numéricas e algébricas foram descobertas por renomados matemáticos e estudiosos de outras áreas da ciências e das artes que também constataram que a Sequência de Fibonacci aparece na fauna, flora, fenômenos físicos, fenômenos químicos, artes, arquitetura, etc.

Sequência de Fibonacci

Duplicando-se o número 1 e a partir do terceiro termo, somando-se dois número antecedentes forma-se assim, a Sequência de Fibonacci.

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610...

Número de Ouro

Dividindo-se um número por um número anterior da Sequência de Fibonacci, o resultado tende para o Número de Ouro, o Número phi (Ф).

Sequência de Fibonacci Número de Ouro (Ф)
   
1 1
1 2
2 1,5
3 1,666666667
5 1,604984472
8 1,618033989
13 1,618033989
21 1,618033989
34 1,618033989
55 1,618033989
89 1,618033989
144 1,618033989
233 1,618033989
377 1,618033989
610 1,618033657

H. E. Huntley, em seu livro A divina Proporção, Cap. IV, pag. 54 diz que o número (phi) possuí o "dom" de aparecer inesperadamente nos lugares mais estranhos, pois qualquer sequência numérica cujo termo seja a soma de dois temos anteriores, a razão entre quaisquer dois termos dessa sequência tenderá para o Número phi (Ф), dando como exemplo a escolha de dois número aleatórios: 5 e 2 e formando a sequência: 5 , 2, 7, 9, 16, 25, 41, 66,...

5  
2 0,4
7 3,5
9 1,285
16 1,777
25 1,562
41 1,64
66 1,609
107 1,621

Tabuada originada da Sequência de Fibonacci

Assim como da Sequência de Números Naturiais, podemos formar outros sub-conjuntos de sequências numéricas como números pares, números ímpares, números primos, acontece o mesmo na Sequência de Fibonacci, podemos formar múltiplos de sua sequência que apresentam a mesma propriedade da soma de dois números tendo como resultado o próximo termo da sequência cuja a razão tende para o Número phi (Ф).

Escolhendo-se qualquer número natural, repetindo-o duas vezes e somando a partir do terceiro termo, dois termos anteriores, infinitas sequências numéricas semelhantes a Sequência de Fibonacci podem ser formadas.

Interessante notar que a Sequência de Fibonacci aparece na primeira posição, sendo ela geradora de todas as outras sequências semelhantes a ela.

Tabuada da Sequência de Fibonacci
                             
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610...
                             
2 2 4 6 10 16 26 42 68 110 178 288 466 754 1220
                             
3 3 6 9 15 24 39 63 102 165 267 432 699 1131 1830
                             
4 4 8 12 20 32 52 84 136 220 356 566 1278 1844 3122
                             
5 5 10 15 25 40 65 105 170 275 445 720 1165 1885 3050
                             
6 6 12 18 30 48 78 126 204 330 534 864 1398 2262 3660
                             
7 7 14 21 35 56 91 147 238 385 623 1008 1631 2639 42270
                             
8 8 16 24 40 64 104 168 272 440 712 1152 1864 3016 4880
                             
9 9 18 27 45 72 117 189 306 495 801 1296 2097 3393 5490
                             
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Tabuada da Sequência de Fibonacci e razão entre termos

A razão entre os termos de cada sequência de múltiplos de números de Fibonacci tem como resultado número próximo a razão áurea.

No exemplo, os números de Fibonacci multiplicados por 2 e a razão entre um produto por produto anterior tende ao número áureo.

Números de Fibonacci multiplicados 2 razão
   
1 2
1 2 1
2 4 2
3 6 1,5
5 10 1,666667
8 16 1,6
13 26 1,625
21 42 1,615385
34 68 1,619048
55 110 1,617647

Tabuada da Sequência de Fibonacci e diferença entre termos

Outra propriedade numérica referente à Tabuda da Sequência de Fibonacci é que a diferença entre termos correspondentes de cada sequência de múltiplos posteriores de um número de Fibonacci com uma sequência anterior é também um número de Fibonacci.

Tabuada da Sequência de Fibonacci
                             
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610...
                             
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610...
                             
2 2 4 6 10 16 26 42 68 110 178 288 466 754 1220
                             
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610...
                             
3 3 6 9 15 24 39 63 102 165 267 432 699 1131 1830
                             
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610...
                             
4 4 8 12 20 32 52 84 136 220 356 566 1278 1844 3122
                             
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610...
                             
5 5 10 15 25 40 65 105 170 275 445 720 1165 1885 3050
                             
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610...
                             
6 6 12 18 30 48 78 126 204 330 534 864 1398 2262 3660
                             
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610...
                             
7 7 14 21 35 56 91 147 238 385 623 1008 1631 2639 42270
                             
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610...
                             
8 8 16 24 40 64 104 168 272 440 712 1152 1864 3016 4880
                             
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610...
                             
9 9 18 27 45 72 117 189 306 495 801 1296 2097 3393 5490
                             
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Autor: Ricardo Silva - abril /2020

Fontes Bibliográficas:

Huntley, H. E. A divina Proporção.Trad. de Luiz Carlos Ascêncio Nunes. Brasília. Universidade de Brasília., 1985.

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