O Professor Ledo, na introdução da vídeo-aula: PAPMEM - Julho de 2017 - Números racionais, irracionais e reais diz que um homem que vive em cidades pode até não saber ler, mas não saber contar e lidar com números é uma coisa inconcebível, porque estamos impregnados de números, pois necessitamos ver horas, lidar com dinheiro, lembrar de datas, fazer medições, etc...
Criado na civilização indiana, disseminado pelos árabes, os algarismos indo-arábicos chegou à Europa, no século XII, através de Leonardo Pisano, conhecido por Fibonacci.
Em uma de suas obras, Liber Abaci, Fibonacci discorre sobre a praticidade e superioridade dos algarismos indo-arábicos para se efetuar os mais diversos cálculos matemáticos e é nesta obra que também aparece a sequência 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,... relecionada a um problema em que se desejava saber quantos coelhos no período de um ano poderiam ser gerados a partir de um casal de coelhos.
Johannes Kepler, astronômo, astrólogo e matemático alemão percebe que dividindo um número por um número anterior da sequência 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,...o quociente tende para o número 1,6180339887
François-Édouard-Anatole Lucas (1842-1891), matemático francês, nota que nos números dos problemas dos coelhos a partir do terceiro termo, somando-se um termo anterior, obtem-se o próximo termo.
Após vários estudos, François-Édouard-Anatole Lucas descobre diversas outras propriedades numéricas e algébricas na sequência 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,... a qual passa a denominá-la de Sequência de Fibonacci, em homenagem a Leonado Pisano, Leonardo de Pisa, desenvolve também a partir da Sequência de Fibonacci a Sequência de Lucas.
Diversas outras propriedades numéricas e algébricas foram descobertas por renomados matemáticos e estudiosos de outras áreas da ciências e das artes que também constataram que a Sequência de Fibonacci aparece na fauna, flora, fenômenos físicos, fenômenos químicos, artes, arquitetura, etc.
Duplicando-se o número 1 e a partir do terceiro termo, somando-se dois número antecedentes forma-se assim, a Sequência de Fibonacci.
1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 | 233 | 377 | 610... |
Dividindo-se um número por um número anterior da Sequência de Fibonacci, o resultado tende para o Número de Ouro, o Número phi (Ф).
Sequência de Fibonacci | Número de Ouro (Ф) |
---|---|
1 | 1 |
1 | 2 |
2 | 1,5 |
3 | 1,666666667 |
5 | 1,604984472 |
8 | 1,618033989 |
13 | 1,618033989 |
21 | 1,618033989 |
34 | 1,618033989 |
55 | 1,618033989 |
89 | 1,618033989 |
144 | 1,618033989 |
233 | 1,618033989 |
377 | 1,618033989 |
610 | 1,618033657 |
H. E. Huntley, em seu livro A divina Proporção, Cap. IV, pag. 54 diz que o número (phi) possuí o "dom" de aparecer inesperadamente nos lugares mais estranhos, pois qualquer sequência numérica cujo termo seja a soma de dois termos anteriores, a razão entre quaisquer dois termos dessa sequência tenderá para o Número phi (Ф), dando como exemplo a escolha de dois número aleatórios: 5 e 2 e formando a sequência: 5 , 2, 7, 9, 16, 25, 41, 66,...
5 | |
2 | 0,4 |
7 | 3,5 |
9 | 1,285 |
16 | 1,777 |
25 | 1,562 |
41 | 1,64 |
66 | 1,609 |
107 | 1,621 |
Assim como da Sequência de Números Naturiais, podemos formar outros sub-conjuntos de sequências numéricas como números pares, números ímpares, números primos, acontece o mesmo na Sequência de Fibonacci, podemos formar múltiplos de sua sequência que apresentam a mesma propriedade da soma de dois números tendo como resultado o próximo termo da sequência cuja a razão tende para o Número phi (Ф).
Escolhendo-se qualquer número natural, repetindo-o duas vezes e somando a partir do terceiro termo, dois termos anteriores, infinitas sequências numéricas semelhantes à Sequência de Fibonacci podem ser formadas.
Interessante notar que a Sequência de Fibonacci aparece na primeira posição, sendo ela a base geradora de todas as outras sequências semelhantes a ela.
Tabuada da | ||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Sequência de Fibonacci | ||||||||||||||
1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 | 233 | 377 | 610... |
2 | 2 | 4 | 6 | 10 | 16 | 26 | 42 | 68 | 110 | 178 | 288 | 466 | 754 | 1220 |
3 | 3 | 6 | 9 | 15 | 24 | 39 | 63 | 102 | 165 | 267 | 432 | 699 | 1131 | 1830 |
4 | 4 | 8 | 12 | 20 | 32 | 52 | 84 | 136 | 220 | 356 | 566 | 1278 | 1844 | 3122 |
5 | 5 | 10 | 15 | 25 | 40 | 65 | 105 | 170 | 275 | 445 | 720 | 1165 | 1885 | 3050 |
6 | 6 | 12 | 18 | 30 | 48 | 78 | 126 | 204 | 330 | 534 | 864 | 1398 | 2262 | 3660 |
7 | 7 | 14 | 21 | 35 | 56 | 91 | 147 | 238 | 385 | 623 | 1008 | 1631 | 2639 | 42270 |
8 | 8 | 16 | 24 | 40 | 64 | 104 | 168 | 272 | 440 | 712 | 1152 | 1864 | 3016 | 4880 |
9 | 9 | 18 | 27 | 45 | 72 | 117 | 189 | 306 | 495 | 801 | 1296 | 2097 | 3393 | 5490 |
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A razão entre os termos de cada sequência de múltiplos de números de Fibonacci tem como resultado número próximo a razão áurea.
No exemplo, os números de Fibonacci multiplicados por 2 e a razão entre um produto por produto anterior tende ao número áureo.
Números de Fibonacci | multiplicados 2 | razão |
---|---|---|
1 | 2 | |
1 | 2 | 1 |
2 | 4 | 2 |
3 | 6 | 1,5 |
5 | 10 | 1,666667 |
8 | 16 | 1,6 |
13 | 26 | 1,625 |
21 | 42 | 1,615385 |
34 | 68 | 1,619048 |
55 | 110 | 1,617647 |
Outra propriedade numérica referente à Tabuda da Sequência de Fibonacci é que a diferença entre termos correspondentes de cada sequência de múltiplos posteriores de um número de Fibonacci com uma sequência anterior é também um número de Fibonacci.
Tabuada da Sequência de Fibonacci | ||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 | 233 | 377 | 610... |
1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 | 233 | 377 | 610... |
2 | 2 | 4 | 6 | 10 | 16 | 26 | 42 | 68 | 110 | 178 | 288 | 466 | 754 | 1220 |
1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 | 233 | 377 | 610... |
3 | 3 | 6 | 9 | 15 | 24 | 39 | 63 | 102 | 165 | 267 | 432 | 699 | 1131 | 1830 |
1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 | 233 | 377 | 610... |
4 | 4 | 8 | 12 | 20 | 32 | 52 | 84 | 136 | 220 | 356 | 566 | 1278 | 1844 | 3122 |
1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 | 233 | 377 | 610... |
5 | 5 | 10 | 15 | 25 | 40 | 65 | 105 | 170 | 275 | 445 | 720 | 1165 | 1885 | 3050 |
1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 | 233 | 377 | 610... |
6 | 6 | 12 | 18 | 30 | 48 | 78 | 126 | 204 | 330 | 534 | 864 | 1398 | 2262 | 3660 |
1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 | 233 | 377 | 610... |
7 | 7 | 14 | 21 | 35 | 56 | 91 | 147 | 238 | 385 | 623 | 1008 | 1631 | 2639 | 42270 |
1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 | 233 | 377 | 610... |
8 | 8 | 16 | 24 | 40 | 64 | 104 | 168 | 272 | 440 | 712 | 1152 | 1864 | 3016 | 4880 |
1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 | 233 | 377 | 610... |
9 | 9 | 18 | 27 | 45 | 72 | 117 | 189 | 306 | 495 | 801 | 1296 | 2097 | 3393 | 5490 |
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Autor: Ricardo Silva - abril /2020
Huntley, H. E. A divina Proporção. Trad. de Luiz Carlos Ascêncio Nunes. Brasília. Universidade de Brasília., 1985.
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