O presente estudo demonstra relações numéricas e matemáticas entre números quadrados perfeitos ímpares, bem como, suas raízes quadradas entre produtos de 2 números pares consecutivos e produtos de números triangulares com número oito.
Os produtos de 2 números pares consecutivos têm como resultados números de 1 unidade menor de um número quadrado perfeito ímpar.
Os produtos de 2 números pares consecutivos têm os mesmos resultados de produtos de números triangulares por número 8.
Exemplos:
2 x 4 = 8
4 x 6 = 24
Os produtos de 2 números pares consecutivos são múltiplos de 4 e de 8.
| O produto de dois números | ||
| pares consecutivos | ||
| Produto | Número | 1 unidade |
| de 2 pares | quadrado | subtraída de |
| quadrado | ||
| 2 x 4 = 8 | 3² = 9 | 9 - 1 = 8 |
| 4 x 6 = 24 | 5² = 25 | 25 - 1 = 24 |
| 6 x 8 = 48 | 7² = 49 | 49 - 1 = 48 |
| 8 x 10 = 80 | 9² = 81 | 81 - 1 = 80 |
| 10 x 12 = 120 | 11² = 121 | 121 - 1 = 120 |
| 12 x 14 = 168 | 13² = 169 | 169 - 1 = 168 |
| 14 x 16 = 224 | 15² = 225 | 225 - 1 = 224 |
| 16 x 18 = 288 | 17² = 289 | 289 - 1 = 288 |
| 18 x 20 = 360 | 19² = 361 | 361 - 1 = 360 |
| 20 x 22 = 440 | 21² = 441 | 441 - 1 = 440 |
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Os produtos de números triangulares pelo número 8 têm como resultados números de 1 unidade menor de um número quadrado perfeito ímpar.
Os produtos de números triangulares por 8 têm os mesmos resultados de produtos de 2 números pares consecutivos.
Interessante observar que a famosa sequência numérica de números triangulares multiplicada pela constante 8 têm como resultados números que são 1 unidade menor de números quadrados perfeitos ímpares.
| Produtos de Pares Consecutivos | ||||||||||
| e | ||||||||||
| Produtos de Triangulares por 8 | ||||||||||
| múltiplo | triangular | múltiplo | ||||||||
| par | par | 8 | 0 | 8 | 8 | |||||
| 2 | x | 4 | = | 8 | 1 | x | 8 | = | 8 | |
| 4 | x | 6 | = | 24 | 3 | x | 8 | = | 24 | |
| 6 | x | 8 | = | 48 | 6 | x | 8 | = | 48 | |
| 8 | x | 10 | = | 80 | 10 | x | 8 | = | 80 | |
| 10 | x | 12 | = | 120 | 15 | x | 8 | = | 120 | |
| 12 | x | 14 | = | 168 | 21 | x | 8 | = | 168 | |
| 14 | x | 16 | = | 224 | 28 | x | 8 | = | 224 | |
| 16 | x | 18 | = | 288 | 36 | x | 8 | = | 288 | |
| 18 | x | 20 | = | 360 | 45 | x | 8 | = | 360 | |
| 20 | x | 22 | = | 440 | 55 | x | 8 | = | 440 | |
| 22 | x | 24 | = | 528 | 66 | x | 8 | = | 528 | |
| 24 | x | 26 | = | 624 | 78 | x | 8 | = | 624 | |
| 26 | x | 28 | = | 728 | 91 | x | 8 | = | 728 | |
| 28 | x | 30 | = | 840 | 105 | x | 8 | = | 840 | |
| 30 | x | 32 | = | 960 | 120 | x | 8 | = | 960 | |
| 32 | x | 34 | = | 1088 | 136 | x | 8 | = | 1088 | |
| 34 | x | 36 | = | 1224 | 153 | x | 8 | = | 1224 | |
| 36 | x | 38 | = | 1368 | 171 | x | 8 | = | 1368 | |
| 38 | x | 40 | = | 1520 | 190 | x | 8 | = | 1520 | |
| 40 | x | 42 | = | 1680 | 210 | x | 8 | = | 1680 | |
| 42 | x | 44 | = | 1848 | 231 | x | 8 | = | 1848 | |
| 44 | x | 46 | = | 2024 | 253 | x | 8 | = | 2024 | |
| 46 | x | 48 | = | 2208 | 276 | x | 8 | = | 2208 | |
| 48 | x | 50 | = | 2400 | 300 | x | 8 | = | 2400 | |
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Partindo-se das relações entre números quadrados perfeitos, produtos de 2 números pares consecutivos, diferenças de quadrados e diferenças raízes, podemos extrai raízes quadradas por 3 diferentes métodos, vejamos:
Qual é a raiz quadrada de 9 ?
a) subtrái-se 1 unidade do quadrado perfeito 9;
9 - 1 = 8
8 é a diferença dos quadrados 9 e 1.
8 é múltiplo de 8.
Observações importantes:
8 x 1 (triangular) = 8
8 é 1 unidade menor que o quadrado perfeito 9.
b) diferença das raízes 3 e 1;
3 - 1 = 2
c) quais são 2 números pares distintos cuja soma é 6 é o produto é 8;
soma
2 + 4 = 6
produto
2 x 4 = 8
Por meio de Equação do Segundo Grau (Método Completando Quadrado), podemos verificar quais são dois números cuja soma e o produto são dados.
Neste caso queremos saber as duas parcelas da soma e os dois fatores do produto.
(i) x . ( x + 2) = 8
(ii) x² + 2x = 8
(iii) x² + 2x + 1 = 8 + 1
(iv) ( x + 1 )² = 9
(v) x + 1 = ± √9
(vi) x + 1 = ± 3
(vii) x´ = + 3 - 1 = 2
(vii) x´´= - 3 - 1 = - 4
Verificação
2² + 2.2 = 8
( -4² ) + 2. ( -4 ) = 8
d) soma das parcelas dividida por 2;
( 2 + 4 ) / 2 = 3
3 é a raíz quadrada de 9.
e) soma dos fatores dividida por 2;
2 x 4 = 8
(2 + 4) / 2 = 3
3 é a raíz quadrada de 9.
| Dq + Dr² |
| ____ |
| 2 x r |
A diferença das raízes ao quadrado (2²) somada à diferença dos quadrados (8) e dividida pelo dobro da diferença da raízes têm como quociente a √9 = 3.
| 8 + 2² | 12 | |||
| ____ | = | ___ | = | 3 |
| 2 x 2 | 4 |
Qual é a raiz quadrada de 25 ?
a) subtrái-se 1 unidade do quadrado perfeito 25;
25 - 1 = 24
24 é a diferença dos quadrados 25 e 1.
24 é múltiplo de 8.
Observações importantes:
8 x 3 (triangular) = 24.
24 é 1 unidade menor que o quadrado perfeito 25.
b) diferença das raízes 5 e 1;
5 - 1 = 4
Por meio de Equação do Segundo Grau (Método Completando Quadrado), podemos verificar quais são dois números cuja soma e o produto são dados.
Neste caso queremos saber as duas parcelas da soma e os dois fatores do produto.
(i) x . ( x + 2) = 24
(ii) x² + 2x = 24
completando o quadrado
(iii) x² + 2x + 1 = 24 + 1
(iv) ( x + 1 )² = 25
(v) x + 1 = ± √25
(vi) x + 1 = ± 5
(vii) x´ = + 5 - 1 = 4
(viii) x´´= - 5 - 1 = - 6
Verificação
4² + 2.4 = 24
( -6² ) + 2. ( -6 ) = 24
d) soma das parcelas dividida por 2
( 4 + 6 ) / 2 = 5
5 é a raíz quadrada de 25
e) soma dos fatores dividida por 2
4 x 6 = 24
(4 + 6) / 2 = 5
5 é a raíz quadrada de 25
| Dq + Dr² |
| ____ |
| 2 x r |
A diferença das raízes ao quadrado (4²) somada à diferença dos quadrados (24) e dividida pelo dobro da diferença da raízes têm como quociente a √25 = 5.
| 24 + 4² | 40 | |||
| ____ | = | ___ | = | 5 |
| 2 x 4 | 8 |
Para números quadrados perfeitos pares podemos também utilizar a Fórmula Diferença de Quadrados e Diferenças de Raízes.
Para mais informações, veja:
011-estudos-478-raiz-quadrada-e-soma-e-produto-impares-consecutivos
Autor: Ricardo Silva - dezembro/2023
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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