logotipo os fantasticos numeros primos
capa dos livros: os fantásticos números primos, sequências numéricas mágicas, estudos de sequências númericas, o triângulo retângulo
Página Textos

Equação do Segundo Grau, perímetro e área de retângulo - 029

O retângulo é um quadrilátero que possui dois pares de lados de medidas congruentes e paralelos podendo ser construído com instrumentos de desenho como: lápis, régua, esquadrados, papel quadriculado ou mesmo ser desenhado em suportes de materiais diversos como: papel, lousa, etc., ou ainda em softwares de desenho, softwares de edição de imagem, softwares de geometria, etc.

O retângulo possui diversas propriedades geométricas e numéricas e apresenta estreita relação com equação do segundo grau.

A partir de sua forma e dimensões de seus lados são possíveis de se elaborarem equações do segundo grau completas, isto é, equações na forma ax2 + bx + c = 0.

Perímetro de um retângulo

Para se saber o perímetro de um polígono, somamos as medidas dos comprimentos de seus lados, no caso do retângulo que possui dois pares de lados congruentes, isto é, dois pares de lados de mesmas medidas de comprimentos, procedemos a seguinte forma:

a) lador de maior comprimento = 2 unidades

b) lado de menor comprimento = 1 unidades

c) (2 x 2) + (2 x 1) = 4 + 2 = 6

d) portanto, o perímetro é de 6 unidades.

A partir deste exemplo, podemos formular outros problemas relacionados a retângulos

1) O perímetro é 6, e o lado menor do retângulo é 1, qual é a medida da base, isto é, a medida do seu lado maior?

a) perímetro subtraído da soma dos lados menores:

6 - 2 = 4

b) diferença dividida por 2

4 : 2 = 2

cada lado maior do retângulo mede 2 unidades.

2) Quantos retângulos podem ser desenhados com um perímetro de 16 unidades?

Resposta: podem ser desenhados 3 retângulos de lados:

1 + 1 + 7 + 7 = 16

3 + 3 + 5 + 5 = 16

4 + 4 + 4 + 4 = 16

Área de região retângular

Uma região retangular tem 45cm2 e 28 cm de perímetro. Qual é o comprimento da base e da altura?

Podemos pensar da seguinte forma, quais são os dois números cujo produto é 45 e a soma é 14?

Dividindo o perímetro por 2, obtemos o semiperímetro

28 : 2 = 14

14 é a soma da base e altura.

Com quantas somas obtem-se o número 14?

1) 1 + 13 = 14

2) 2 + 14 = 14

3) 3 + 11 = 14

4) 4 + 10 = 14

5) 5 + 9 = 14

6) 8 + 6 = 14

7) 7 + 7 = 14

Com quantas multiplicações obtem-se o número 45?

1) 1 x 45 = 45

2) 3 x 15 = 45

3) 5 x 9 = 45

Portanto, os número 5 e 9 são os dois números que somados reultam 14 e multiplicados resultam 45.

Equação do segundo grau e retângulo

O exemplo anterior também pode ser formulados por meio de equações do segundo grau.

Uma região retangular tem 28cm de perímetro e 45cm2 de área. Quais as dimensões dessa região retangular.

Observação: semiperímetro é 14cm.

Equação do segundo grau - Fórmula de Bháskara

x2 + 14x = 45

x2 + 14x + 45 = 0

Coeficientes:

a =1

b = 14

c = 45

    - b ± √b 2 - 4 . a .c
x = _____________
    2.a

Delta (Discriminante da equação)

Δ = b2 - 4 . a . c

i)

Δ = 142 - 4 . 1 . 45

ii)

Δ = 196 - 180

iii)

O Delta é positivo e maior que 0 (zero), portanto há duas soluções para a equação.

Δ = 16

iv)

    -(+14) ± √16
x = _____________
    2

v)

Raízes da equação

    -14 + 4    
x' = _____ = - 5
    2    
    -14 - 4    
x" = _____ = - 9
    2    

Equação do Segundo Grau - Método de Completar Quadrados

x2 + 14x = 45

x2 + 14x + 45 = 0

i)

desloca-se o termo independente "c" 45 para o segundo membro.

x2 + 14x = - 45

ii)

dividi-se o coeficiente 14 do termo "bx" por 2 e eleve-o ao quadrado, 72 = 49, somando-o ao primeiro e segundo membro.

                   
x2 + 14 x + 49 = - 45 + 49
                   

iii)

fatora-se o primeiro membro...

x2 - 14x + 49 = - 45 + 49

iv)

... obtendo um quadrado da soma (Produto Notável)

(x + 7)2 = - 45 + 49

v)

extrai-se a raiz quadrada

(x + 7)2 = 4

x + 7 = ± √4

x + 7 = ± 2

vi)

         
x' = + 7 + 2 = 9
         

vii)

         
x' = + 7 - 2 = 5
         

 

Autor: Ricardo Silva - setembro /2020

Fontes Bibliográficas:

Andrade, Bernardino Carneiro de . A evolução histórica da resolução das equações do 2o grau. Departamento de Matemática Pura da Faculdade de Ciências da Universidade do Porto,2000

Dante, Luiz Roberto . Tudo é Matemática / Luiz Roberto Dante - - 3. ed. - - São Paulo: Àtica, 2009

Iezzi, Gelson. Matêmática e realidade: 90 ano / Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce, Antonio Machado. - 6. ed. - São Paulo: Atual, 2009

Vale, Alberton Fagno Albino do. As diferentes Estratégias de Resolução da Equação do Segundo Grau. Dissertação apresentada à Universidade Federal Rural do Semiárido – Ufersa, Mossoró, 2013

Matérias relacionadas:

005-texto-016-numeros-irracionais
005-texto-019-equacao-segundo-grau-numero-ouro
005-texto-020-equacao-segundo-grau-e-premio-de-terreno
005-texto-021-equacao-segundo-grau-metodo-completar-quadrados
005-texto-022-equacao-segundo-grau-trinomio-quadrado-nao-perfeito
005-texto-023-equacao-segundo-grau-com-quadrados-retangulos
005-texto-024-equacao-segundo-grau-sequencias-numericas
005-texto-025-equacao-segundo-grau-regularidades-numericas
005-texto-026-equacao-segundo-grau-raizes-quadradas-negativas
005-texto-027-equacao-segundo-grau-soma-produto
005-texto-028-equacao-segundo-grau-soma-dois-quadrados
Livro digital (e-book)
Estudos de Sequências Numéricas
livro estudos de sequências numéricas

Mais informações, acesse:

SEÇÃO LIVROS

LIVROS DIGITAIS (E-books)

Senhores Professores de Matemática, Profissionais de Exatas e Entusiastas Matemáticos se encontram disponíveis para

DOWNLOAD GRATUITO
livro Triângulo Retângulolivro multiplicação através da soma de múltiplos

Mais informações, acesse:

SEÇÃO LIVROS

Manual Digital (E-book) Quadrado Mágico Triplo
livro quadrado mágico triplo
DOWNLOAD GRATUITO

Mais informações, acesse:

SEÇÃO LIVROS


Prezado visitante, o conteúdo deste site está protegido por direitos autorais.

O uso acadêmico e escolar está liberado, desde que informando ao autor o local ou o meio em que será utilizado e divulgado, através do e-mail: contato

O uso comercial é proibido.

curta  fantasticos numeros primos no facebook
anúncio dominó tri-minox anúncio dominó quadriminox
fapage dos fantasticos numeros primos
Canal youtube dos fantasticos numeros primos