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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Ternos Pitagóricos e o livro As Maravilhas da Matemática - 178

No livro As Maravilhas da Matemática, segunda edição, 1973, Bloch Editores, do Professor Julio César de Mello e Souza (Malba Tahan), na página 79, se encontra o seguinte parágrafo:

"Há números que não figuram em nenhum terno pitagórico. Citemos os seguintes: 47, 59, 67, 71, 79, etc. A esses números é dada a denominação de números antipitagóricos."

A partir desta afirmação, foram feitas análises dos números em questão para saber se realmente eles têm ou não têm alguma relação com ternos pitagóricos.

Observação: todos são números primos.

ternos pitagóricos e o livro As Maravilhas da Matemática

Métodos para se obterem ternos pitagóricos

Tomando-se como base as Fórmulas de Euclides, análises foram feitas através da geração de 1.000 ternos pitagóricos onde se constataram que os Ternos Pitagóricos Primitivos estão estritamente relacionados com a sequência de número triangulares.

O estudos apresentam, entre outras regularidades, novas classificações para ternos pitagóricos conforme características comuns encontradas em suas formações numéricas:

a) Ternos Pitagóricos Primitivos de Ordem Triangular;

b) Ternos Pitagóricos Primitivos de Ordem Não Triangular;

c) Ternos Pitagorícos Derivados Pares;

d) Ternos Pitagóricos Derivados Ímpares;

e) Ternos Pitagóricos Raros.

e que a partir destas classificações pode-se facilmente reconhecer ou formar qualquer terno pitagórico simplesmente através das posições dos seus termos ou escolhendo um número aleatório.

Estes estudos se encontram publicados no livro Ternos Pitagóricos e Sequência Númericas.

Fórmulas de Euclides

Através das Fórmulas de Euclides, verificaremos se os números: 47, 59, 67, 71, 79, fazem parte de ternos pitagóricos.

a = m² - n²

b = 2mn

c = m² + n²

onde:

m > n (m tem que ser maior que n)

m e n tem que ser primos entre si

Número 47

Com os números consecutivos 23 e 24 substituindo-os nas fórmulas.

Observação: todos números consecutivos são primos entre si.

a = m² - n²

a = 24² - 23²

a = 576 - 529

a = 47

 

b = 2mn

b = 2 x 24 x 23

b = 1104

 

c = m² + n²

c = 24² + 23²

c = 576 + 529

c = 1105

Portanto 47, 1104, 1105 é um Terno Pirtagórico Triangular.

Utilizando o Teorema de Pitágoras:

47² + 1104² = 1105²

2.209 + 1.218.816 = 1.221.025

1.221.025 = 1.221.025

Número 59

Com os números consecutivos 29 e 30 substituindo-os nas fórmulas.

Observação: todos números consecutivos são primos entre si.

a = m² - n²

a = 30² - 29²

a = 900 - 841

a = 59

 

b = 2mn

b = 2 x 30 x 29

b = 1740

 

c = m² + n²

c = 30² + 29²

c = 900 + 841

c = 1741

Portanto 59, 1740, 1741 é um Terno Pirtagórico Triangular.

Utilizando o Teorema de Pitágoras:

59² + 1740² = 1741²

3.481 + 3.027.600 = 3.031.081

3.031.081 = 3.031.081

Planilha de Cálculos

Por meio de Planilha de Cálculos, inserindo as Fórmulas de Euclides descritas acima, verifica-se que os números 67, 71 e 79 também fazem partes de ternos pitagóricos.

       
m 34 36 40
n 33 35 39
       
1.156 1.296 1.600
1.089 1.225 1.521
       
  Terno Pitagórico Terno Pitagórico Terno Pitagórico
       
a 67 71 79
b 2.244 2.520 3.120
c 2.245 2.521 3.121
       
4.489 5.041 6.241
5.035.536 6.350.400 9.734.400
5.040.025 6.355.441 9.740.641

Terno Pitagórico Primitivo tem como caracterísca principal na sua formação ter como primeiro terno um número impar, seja ele um número derivado ou primo.

No livro Ternos Pitagóricos e Sequência Númericas ele recebe uma denominação especial: ele é chamado de Terno Pitagórico Primitivo de Ordem Triangular pois difere de todos os outros ternos e também está relacionado com a posição de número triangular.

Autor: Ricardo Silva - junho/2018

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