Imagine que você esteja caminhando e resolve contar a quantidade de passos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,..., você poderiar estar recitando os números ou contando mentalmente.
Você resolve mudar a forma de contagem, começa então a contar: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256,...
São duas sequências numéricas com características diferentes:
a) a primeira é uma progressão aritmética (P.A.), em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado de uma constante chamada de razão, no exemplo, a diferença entre os termos é de 1 unidade;
Progressão Aritmética (P.A.) | ||||||||||
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6.. | |||||
+ 1 | + 1 | + 1 | + 1 | + 1 |
b) a segunda é progressão geométrica (P.G.), em que cada termo, a partir do segundo, é ígual ao anterior multiplicado por uma constante chamada de razão, no exemplo razão 2. Cada número posterior dobra de valor.
Progressão Geométrica (P.G.) | ||||||||||
1 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32.. | |||||
x 2 | x 2 | x 2 | x 2 | x 2 |
Tanto uma PA quanto uma PG, podem ter outras classificações como: sequência finita, sequência infinita, crescente, decrescente, estacionária, etc.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,... é uma sequência numérica diferente de uma PA e uma PG, a partir do terceiro número, somando-se dois números precedentes tem como resultado o número posterior, ela é formada por recorrência.
O nome Sequência de Fibonacci foi uma homenagem feita por François-Édouard-Anatole Lucas (1842-1891), matemático francês, grande estudioso das obras de Leonardo Fibonacci, também conhecido como Leonardo Pisano, Leonardo de Pisa, Leonardo Bonacci. Foi Édouard Lucas quem notou que a soma de dois números tinha como resultado o próximo número da sequência.
François-Édouard-Anatole Lucas descobriu diversas propriedades numéricas e algébricas na Sequência de Fibonacci, a Sequência de Lucas é originada da Sequência de Fibonacci.
A Sequência de Fibonacci está publicada no livro Liber Abaci a qual está relacionada ao problema dos coelhos, isto é, a partir de um casal de coelhos, quantos coelhos terão depois de um ano, não havendo mortes ou doenças.
A Sequência de Fibonacci possui uma propriedade muito especial que foi observada por Johannes Kepler, astronômo, astrólogo e matemático alemão, que a divisão de um termo por um anterior, quanto mais se avança na sequência, tende ao número de ouro 1,6180339887
Sequência de Fibonacci | Número de Ouro (Ф) |
---|---|
razão entre | |
os termos | |
1 | 1 |
1 | 2 |
2 | 1,5 |
3 | 1,666666667 |
5 | 1,604984472 |
8 | 1,618033989 |
13 | 1,618033989 |
21 | 1,618033989 |
34 | 1,618033989 |
55 | 1,618033989 |
89 | 1,618033989 |
144 | 1,618033989 |
233 | 1,618033989 |
377 | 1,618033989 |
610 | 1,618033657 |
H. E. Huntley, em seu livro A divina Proporção, Cap. IV, pag. 54 diz que o número (phi) possuí o "dom" de aparecer inesperadamente nos lugares mais estranhos, pois qualquer sequência numérica cujo termo seja a soma de dois temos anteriores, a razão entre quaisquer dois termos dessa sequência tenderá para o Número phi (Ф), dando como exemplo a escolha de dois número aleatórios: 5 e 2 e formando a sequência: 5, 2, 7, 9, 16, 25, 41, 66,...
Sequência | razão entre |
os termos | |
5 | |
2 | 0,4 |
7 | 3,5 |
9 | 1,285 |
16 | 1,777 |
25 | 1,562 |
41 | 1,64 |
66 | 1,609 |
107 | 1,621 |
No exemplo de H. E. Huntley, o número 2 estando como primeiro termo da sequência, as razões também tende ao o Número phi (Ф), Número de Ouro.
Sequência | razão entre |
os termos | |
2 | |
5 | 2,5 |
7 | 1,4 |
12 | 1,71 |
19 | 1,58 |
31 | 1,631 |
50 | 1,612 |
81 | 1,62 |
131 | 1,617 |
Formando sequências numéricas cujos dois primeiros termos são números consecutivos, primos entre si e aplicando a soma de dois termos anteriores, obtem-se sequências numéricas semelhantes à Sequencia de Fibonacci.
As diferenças entre termos correspondentes tem como resultado a Sequência de Fibonacci (linhas amarela).
A razão entre um termo e seu antecedente de cada sequência tende ao número de ouro.
Exemplos:
843 : 521 = 1,6180
1076 : 665 = 1,6180
1309 : 809 = 1,6180
Sequências de Fibonacci semelhantes | ||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 | 233 |
3 | 4 | 7 | 11 | 18 | 29 | 47 | 76 | 123 | 199 | 322 | 521 | 843 |
1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 | 233 |
4 | 5 | 9 | 14 | 23 | 37 | 60 | 97 | 157 | 254 | 411 | 665 | 1076 |
1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 | 233 |
5 | 6 | 11 | 17 | 28 | 45 | 73 | 118 | 191 | 309 | 500 | 809 | 1309 |
1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 | 233 |
6 | 7 | 13 | 20 | 33 | 53 | 86 | 139 | 225 | 364 | 589 | 953 | 1542 |
1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 | 233 |
7 | 8 | 15 | 23 | 38 | 61 | 99 | 160 | 259 | 419 | 678 | 1097 | 1775 |
1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 | 233 |
8 | 9 | 17 | 26 | 43 | 69 | 112 | 181 | 293 | 474 | 767 | 1241 | 2008 |
1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 | 233 |
9 | 10 | 19 | 29 | 48 | 77 | 125 | 202 | 327 | 529 | 856 | 1385 | 2241 |
1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 | 233 |
10 | 11 | 21 | 32 | 53 | 85 | 138 | 223 | 361 | 584 | 945 | 1529 | 2474 |
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Autor: Ricardo Silva - abril /2020
Huntley, H. E. A divina Proporção. Trad. de Luiz Carlos Ascêncio Nunes. Brasília. Universidade de Brasília., 1985.
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