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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Sequências de Fibonacci semelhantes e números primos- 255

Assim como o Teorema de Pitágoras possui aplicações em várias áreas das ciências como Matemática, Física, Química, Biologia, etc. e diversas demostrações geométricas; a Sequência de Fibonacci não foge à regra, além de suas propriedades númericas e algébricas, é uma sequência que aparece na Fauna, Flora, Fenômenos Físicos, Arte, Arquitetura, Geometria, etc.

Duas importantes propriedades matemáticas foram descobertas na sequência numérica relacionada a um problema em que se desejava saber quantos coelhos, em um ano, um casal de coelhos procriaria em um viveiro, descartando condições expecionais como morte, doenças, etc.

O problema dos coelhos se encontra publicado no livro Liber Abaci (Livro de Cálculos) publicado no ano de 1202, obra de Leonardo Fibonacci, também conhecido como Leonardo Pisano, Leonardo de Pisa.

A primeira descoberta foi feita pelo astronômo, astrólogo e matemático alemão, Johannes Kepler que quanto mais se avançava a sequência numérica, o quociente de um termo por um termo anterior, tendia ao número 1,6180339887 498948 48... que mais tarde foi denominado Número phi (Ф), Número de Ouro.

A segunda descoberta, deve-se ao matemático francês, François-Édouard-Anatole Lucas (1842-1891), quem notou que a soma de dois números tinha como resultado o próximo número da sequência.

Grande estudioso das obras de Leonardo Fibonacci, François-Édouard-Anatole Lucas é quem denominou e popularizou a Sequência de Fibonacci e apartir dela devirou uma outra sequência, denominda de Sequência de Lucas.

Diversos outros matemáticos descobriram novas propriedades na Sequência de Fibonacci e inclusive há a The Fibonacci Association, entidade estadunidense que realiza estudos, promove conferências sobre Fibonacci e suas obras.

Sequência de Fibonacci

A Sequência de Fibonacci é formada pelo seguinte método: repete-se o 1 duas vezes e a partir do terceiro elemento pela soma de dois números anteriores.

1

1

1 + 1 = 2

2 + 1 = 3

3 + 2 = 5

Número de Ouro

O quociente entre um número e seu antecedente da Sequência de Fibonacci, tende ao Número phi (Ф), Número de Ouro.

20 Primeiros Números de Fibonacci
       
ordem / índice primo número de Número de
  Fibonacci Ouro
     
F 1 1  
F 2 1 2
F 3 sim 2 1,5
F 4 sim 3 1,666666667
F 5 sim 5 1,6
F 6 8 1,625
F 7 sim 13 1,615384615
F 8 21 1,619047619
F 9 34 1,617647059
F 10 55 1,618181818
F 11 sim 89 1,617977528
F 12 144 1,618055556
F 13 sim 233 1,618025751
F 14 377 1,618037135
F 15 610 1,618032787
F 16 987 1,618034448
F 17 sim 1.597 1,618033813
F 18 2.584 1,618034056
F 19 4.181 1,618033963
F 20 6.765 1,618033999
     
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Números Primos de Fibonacci

Na coluna ordem/índice cujo número é impar há ocorrência de número primo, incluindo o único índice par F4 = 3

Esta ocorrência não é constante, conforme as ordem/índice no detalhe da tabela, os números não são primos.

F 31 13.46.269 não é primo
F 37 24.157.817 não é primo
F 41 165.580.141 não é primo

Sequência de Lucas/Número de Lucas

François-Édouard-Anatole Lucas, em seus estudos com a Sequência de Fibonacci, criou uma outra sequência, que leva o seu nome: Sequência de Lucas.

Somando-se números dois a dois (células verde), com um intervalo entre eles, da Sequência de Fibonacci e posteriormente os intervalos forma-se a Sequência de Lucas, sequência esta utilizada em Ciências da Computação, Criptografia e testes de Primalidade (para se saber se um número é primo ou não).

Sequência de Fibonacci
                           
  1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233
                           
    3   7   18   47   123   322  
      4   11   29   76   199    
                           
Sequência de Lucas
                           
2 1 3 4 7 11 18 29 47 76 123 199 322 521

Sequência de Fibonacci e Números Primos

Na Monografia, de Ricardo Alexandre da Rocha Dias, Algumas evidências computacionais da infinitude dos números primos de Fibonacci e generalizações destes, publicado no ano de 2008, o autor apresenta interessantíssimas estatísticas realizadas com 27.000 (vinte e sete mil) primeiros números de Fibonacci:

a) dos 27.000 primeiros números da Sequência de Fibonacci testados, 28 são números primos;

Total de Números de Fibonacci testados 27000
Qtde de num. primos de Fibonacci encontrados 28
Percentual 0,103%
Qtde de primos terminados em1 2
Qtde de primos terminados em3 6
Qtde de primos terminados em7 7
Qtde de primos terminados em 9 11
   
Tabela 6.1 - Dados da Sequência de Fibonacci  

b) dos 27.000 primeiros números da Sequência de Fibonacci testados, o maior número primo possui 5.342 digitos;

c) a razão entre a ordem/índice e as quantidades de dígitos dos números primos encontrados apresentam resultado próximo de 4,8;

d) a razão entre a quantidade de dígitos de número primo de Fibonacci e um prmo anterior apresenta resultado próximo de 1,7712;

e) a razão entre uma ordem/índice com uma ordem/índice anterior apresenta resultado próximo de 1,7712;

f) nem todos os índices que são primos, exemplos: F 31, F 37, F41,.., apresentam números de Fibonacci primos (o grifo é nosso);

g) há grandes intervalos referente à ordem/índice que não ocorrem números de Fibonacci que são primos.

Estas duas últimas constatações f) e g) são objetos de estudos que serão apresentados nos topicos a seguir.

       
ordem Números razão  
/ índice de entre
  digitos ordem/índice
     
F 3 1  
F 4 1  
F 5 2    
F 7 2 3,5  
F 11 2 5,5  
F 13 3 4,33  
F 17 4 4,25  
F 23 5 4,6  
F 29 6 4,83  
     
F 31   não é primo
F 37   não é primo
F 41   não é primo
     
F 43 9 4,77  
F 47 10 4,7  
F 83 17 4,88  
       
      não há primos
       
F 131 28 4,67  
F 137 29 4,72  
     
    não há primos
     
F 359 76 4,72  
F 431 90 4,78  
F 433 91 4,75  
F 449 94 4,77  
F 509 107 4,75  
F 569 119 4,78  
F 571 119 4,79  
F 2971 621 4,78  
F 4723 987 4,78  
F 5387 1126 4,78  
F9311 1946 4,78  
F 9377 2023 4,63  
F 1431 3016 4,78  
F 25561 5342 4,78  
     
Tabela 6.2 – Índices dos primos de Fibonacci e quantidades de dígitos destes
     
Tabela 6.3 – índices / número de dígitos

Sequência de Fibonacci e tabuada

As propriedades numéricas e algébricas relacionadas à Sequência de Fibonacci podem aplicadas por exemplo na eleboração de tabuada.

veja matéria:

011-estudos-253-tabuada-sequencia-fibonacci

Tabuada da Sequência de Fibonacci
                             
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610...
                             
2 2 4 6 10 16 26 42 68 110 178 288 466 754 1220
                             
3 3 6 9 15 24 39 63 102 165 267 432 699 1131 1830
                             
4 4 8 12 20 32 52 84 136 220 356 566 1278 1844 3122
                             
5 5 10 15 25 40 65 105 170 275 445 720 1165 1885 3050
                             
6 6 12 18 30 48 78 126 204 330 534 864 1398 2262 3660
                             
7 7 14 21 35 56 91 147 238 385 623 1008 1631 2639 42270
                             
8 8 16 24 40 64 104 168 272 440 712 1152 1864 3016 4880
                             
9 9 18 27 45 72 117 189 306 495 801 1296 2097 3393 5490
                             
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Sequência de Fibonacci semelhantes

A partir de dois números consecutivos também são possíveis de se formarem diversas outras sequências numéricas com as propriedades numéricas e algébricas relacionadas à Sequência de Fibonacci.

Na tabela Sequências de Fibonacci Semelhantes são apresentadas algumas sequências numéricas em que se podem verificar as seguintes propriedades:

a) as diferenças entre termos correspondentes tem como resultado a Sequência de Fibonacci (linhas amarela);

b) a razão entre um termo e seu antecedente de cada sequência tende ao número de ouro.

Exemplos:

843 : 521 = 1,6180 4222 6487 5239 9232 2456 8138 196

1076 : 665 = 1,6180 4511 2781 9548 8721 8045 1127 82

1309 : 809 = 1,6180 46971 5698 3930 7787 3918 4178

Sequência de Fibonacci
                         
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233
                         
Sequências de Fibonacci Semelhantes
                         
3 4 7 11 18 29 47 76 123 199 322 521 843
                         
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233
                         
4 5 9 14 23 37 60 97 157 254 411 665 1076
                         
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233
                         
5 6 11 17 28 45 73 118 191 309 500 809 1309
                         
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233
                         
6 7 13 20 33 53 86 139 225 364 589 953 1542
                         
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233
                         
7 8 15 23 38 61 99 160 259 419 678 1097 1775
                         
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233
                         
8 9 17 26 43 69 112 181 293 474 767 1241 2008
                         
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233
                         
9 10 19 29 48 77 125 202 327 529 856 1385 2241
                         
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233
                         
10 11 21 32 53 85 138 223 361 584 945 1529 2474
                         
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c) as sequências numéricas geradas receberam identificações a partir dos dois primeiros números consecutivos que as formam: Sequência 3-4, 4-5, 5-6, 7-8, 8-9, 9-10,...;

d) nas sequências numéricas geradas, os números primos recaem em ordem/índice pares com maior frequência;

e) nas ordem/índice (F19, F31, F37, F41) - linhas amarela - que não ocorrem números primos na Sequência de Fibonacci, nas sequências numéricas geradas também não ocorrem primos.

f) nas ordem/índice (F19, F31, F37, F41) de sequências numéricas geradas cuja a identificação começa em impar (3-4, 5-6, 7-8, 9-10,...), as terminações dos números seguem o seguinte padrão: impar, ímpar, ímpar, par;

g) nas ordem/índice (F19, F31, F37, F41) de sequências numéricas geradas cuja a identificação começa em par (4-5, 6-7, 8-9, 10-11,...), as terminações dos números seguem o seguinte padrão: par, par, par, ímpar;

Todas estas constatações foram realizadas em 12 sequências numéricas com 50 números cada uma e comparadas com a Sequência de Fibonacci por meio da planilha digital Excel que tem limitação de 15 dígitos para números nas células, portanto não foi possível prosseguir os testes.

Prezado visitante, professor, profissional de exatas, estudante de matemática, se você tem interesse em dar continuidade a este estudo, por gentileza, entre em contato, pois para se fazer testes mais elaborados são necessários potentes computadores e específicos programas aplicativos.

Sequências de Fibonacci Semelhantes
       
ordem/ Sequência Sequência Sequência
índice de Fibonacci 3-4 4-5
       
F 1 1 3 4
F 2 1 4 5
F 3 2 7 9
F 4 3 11 14
F 5 5 18 23
F 6 8 29 37
F 7 13 47 60
F 8 21 76 97
F 9 34 123 157
F 10 55 199 254
F 11 89 322 411
F 12 144 521 665
F 13 233 843 1076
F 14 377 1364 1741
F 15 610 2207 2817
F 16 987 3571 4558
F 17 1597 5778 7375
F 18 2584 9349 11933
F 19 4181 15127 19308
F 20 6765 24476 31241
F 21 10946 39603 50549
F 22 17711 64079 81790
F 23 28657 103682 132339
F 24 46368 167761 214129
F 25 75025 271443 346468
F 26 121393 439204 560597
F 27 196418 710647 907065
F 28 317811 1149851 1467662
F 29 514229 1860498 2374727
F 30 832040 3010349 3842389
F 31 1346269   4870847   6217116
F 32 2178309 7881196 10059505
F 33 3524578 12752043 16276621
F 34 5702887 20633239 26336126
F 35 9227465 33385282 42612747
F 36 14930352 54018521 68948873
F 37 24157817   87403803   111561620
F 38 39088169 141422324 180510493
F 39 63245986 228826127 292072113
F 40 102334155 370248451 472582606
F 41 165580141   599074578   764654719
F 42 267914296 969323029 1237237325
F 43 433494437 1568397607 2001892044
F 44 701408733 2537720636 3239129369
F 45 1134903170 4106118243 5241021413
F 46 1836311903 6643838879 8480150782
F 47 2971215073 10749957122 13721172195
F 48 4807526976 17393796001 22201322977
F 49 7778742049 28143753123 35922495172
F 50 12586269025 45537549124 58123818149
       
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Observação importante:

Para a verificação e confirmação de números primos das Sequências de Fibonacci Semelhantes, utilizou-se o WebSite Império do Números.

 

Autor: Ricardo Silva - maio /2020

Fontes Bibliográficas:

Carvalho, Maria Cecília Costa e Silva. Padrões Numéricos e Sequências - São Paulo: Moderna, 1997

Dias , Ricardo Alexandre da Rocha. Algumas evidências computacionais da infinitude dos números primos de Fibonacci e generalizações destes. Universidade Federal do Rio Grande do Norte Centro de Ciências Exatas e da Terra Departamento de Informática e Matemática Aplicada Curso de Ciências da Computação. Natal - RN, 2008.

Huntley, H. E. A divina Proporção. Trad. de Luiz Carlos Ascêncio Nunes. Brasília. Universidade de Brasília., 1985.

Império dos números

The Fibonacci Association

 

 

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