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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Quadrados Mágicos 3x3 com frações - 301

Quadrados Mágicos são dispositivos numéricos formados por matrizes quadriculadas em quantidades de números quadrados perfeitos, isto é, há quadrados 3x3 com 9 células, 4x4 com 16 células, 5x5 com 25 células, 6x6 com 36 células e assim por diante, nos quais sequências numéricas finitas são dispostas em certa ordem de forma que a soma de cada linha, cada coluna e bem como as diagonais formam Constante Mágica.

Quadrados Mágicos podem ser construídos com progressões aritméticas (PAs) e geométricas (PGs) e também com sequências numéricas que não são nem PAs e nem PGs, que são os casos de sequências de divisores de determinados números naturais que são produtos de dois números primos distintos, tais como: 6, 10, 14, 22, 26, etc..

O presente estudo demonstra exemplos de construções de Quadrados Mágicos com frações.

Quadrado Mágico 3x3 com frações de razão 1/2

A partir da fração 1/2 e multiplicando-a pela razão 1/2 obtem-se a seguinte progressão geométrica finita.

Progressão Geométrica de razão 1/2
                                 
1   1   1   1   1   1   1   1   1
__ , __ , __ , __ , __ , __ , __ , __ , __
2   4   8   16   32   64   128   256   512

A progressão geométrica têm como númeradores o número 1 e denominadores potências de base 2.

O Quadrado Mágico 3x3 construído com a progressão geométrica de razão 1/2 cujos denominadores são potências de base 2 não formam Constante Mágica.

As somas de cada linha, cada coluna e diagonais têm como resultados frações cujos numeradores são números ímpares, entre eles números primos, e denominadores potências de base 2.

Quadrado Mágico 3x3
Progressão Geométrica de razão 1/2
73 / 256
 
1 / 16 1 / 512 1 / 4 161 / 512
1 / 8 1 / 32 1 / 128 21 / 128
1 / 256 1 / 2 1 / 64 133 / 256
 
49 / 256 145 / 512 35 / 128 7 / 64

Resolução: soma de cada linha

Mínimo Múltiplo Comum (16, 512, 4) = 512

Linha 1
1   1   1   32 + 1 + 128   161
__ + __ + __ = __________ = __
16   512   4   512   512

Mínimo Múltiplo Comum (8, 32, 128) = 128

Linha 2
1   1   1   16 + 4 + 1   21
__ + __ + __ = __________ = __
8   32   128   128   128

Mínimo Múltiplo Comum (256, 2, 64) = 256

Linha 3
1   1   1   1 + 128 + 4   133
__ + __ + __ = __________ = __
256   2   64   256   256

Resolução: soma de cada coluna

Mínimo Múltiplo Comum (16, 8, 256) = 256

coluna 1
1   1   1   16 + 32 + 1   49
__ + __ + __ = __________ = __
16   8   256   256   256

Mínimo Múltiplo Comum (512, 32, 2) = 512

coluna 2
1   1   1   1 + 16 + 128   145
__ + __ + __ = __________ = __
512   32   2   512   512

Mínimo Múltiplo Comum (4, 128, 64) = 128

coluna 3
1   1   1   32 + 1 + 2   35
__ + __ + __ = __________ = __
4   128   64   128   128

Resolução: soma de cada diagonal

Os numeradores 7 e 73 são números primos.

Mínimo Múltiplo Comum (16, 32, 64) = 64

diagonal principal
1   1   1   4 + 2 + 1   7
__ + __ + __ = __________ = __
16   32   64   64   64

Mínimo Múltiplo Comum (256, 32, 4) = 256

diagonal secundária
1   1   1   1 + 8 + 64   73
__ + __ + __ = __________ = __
256   32   4   256   256

Soma de Potências de base 2

As somas consecutivas de potências de base 2 têm como resultados números ímpares de 1 unidade menor que uma potência de base 2 e entre eles números primos.

Quando a soma de potências de base 2 for um número primo e este multiplicado pela última parcela da soma obtem-se um número perfeito.

1

1 + 2 = 3 ( 3 x 2 = 6)

1 + 2 + 4 = 7 (7 x 4 = 28)

1 + 2 + 4 + 8 = 15

1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 (31 x 16 = 496)

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 127 (127 x 64 = 8128)

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 = 255

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 = 511

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 = 1023

Observação: as somas de potências de base 2 têm os mesmos resultados dos numeradores nas somas de frações de potências de base 2

Soma de frações de Potências de base 2

As somas consecutivas de frações de potências de base 2 têm como resultados numeradores números ímpares de 1 unidade menor que o denominador da fração e entre eles números primos.

1/2

1/2 + 1/4 = 3/4

1/2 + 1/4 + 1/8 = 7/8

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16= 15/16

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32= 31/32

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 = 63/64

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128= 127/128

Observação: as somas de frações de potências de base 2 têm os seus numeradores os mesmos resultados das somas de potências de base 2.

Quadrado Mágico 3x3 com frações de razão 1/3

A partir da fração 1/3 e multiplicando-a pela razão 1/3 obtem-se a seguinte progressão geométrica finita.

Progressão Geométrica de razão 1/3
                                 
1   1   1   1   1   1   1   1   1
__ , __ , __ , __ , __ , __ , __ , __ , __
3   9   27   81   243   729   2187   6561   19683

A progressão geométrica têm como númeradores o número 1 e denominadores potências de base 3.

O Quadrado Mágico 3x3 construído com a progressão geométrica de razão 1/3 cujos denominadores são potências de base 3 não formam Constante Mágica.

As somas de cada linha, cada coluna e diagonais têm como resultados frações cujos numeradores são números ímpares, entre eles números primos, e denominadores potências de base 3.

Os numeradores 13 e 757, nas diagonais, são números primos.

Quadrado Mágico 3x3
Progressão Geométrica de razão 1/3
757 / 6561
 
1 / 81 1 / 19683 1 / 9 2431 / 19683
1 / 27 1 / 243 1 / 2187 91 / 2187
1 / 6561 1 / 3 1 / 729 2197 / 6561
 
325 / 6561 6643 / 19683 247 / 2187 13 / 729

Quadrado Mágico 3x3 com frações de razão 1/5

A partir da fração 1/5 e multiplicando-a pela razão 1/5 obtem-se a seguinte progressão geométrica finita.

Progressão Geométrica de razão 1/3
                                 
1   1   1   1   1   1   1   1   1
__ , __ , __ , __ , __ , __ , __ , __ , __
5   25   125   625   3125   15625   78125   390625   1953125

A progressão geométrica têm como númeradores o número 1 e denominadores potências de base 5.

O Quadrado Mágico 3x3 construído com a progressão geométrica de razão 1/5 cujos denominadores são potências de base 5 não formam Constante Mágica.

As somas de cada linha, cada coluna e diagonais têm como resultados frações cujos numeradores são números ímpares, entre eles números primos, e denominadores potências de base 5.

Os numeradores 31, na diagonal principal, é número primo.

Quadrado Mágico 3x3
Progressão Geométrica de razão 1/5
15751 / 390625
 
1 / 625 1 / 1953125 1 / 25 81251/ 1953125
1 / 125 1 / 3125 1 / 78125 651 / 78125
1 / 390625 1 / 5 1 / 15625 78151 / 390625
 
3751 / 390625 391251 / 1953125 3131 / 78125 31 / 15625

 

Autor: Ricardo Silva - novembro/2020

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo e as novas fórmulas de cálculos dos seus lados. São Paulo, edição digital, 2014

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