Quadrados Mágicos são dispositivos numéricos formados por matrizes quadriculadas em quantidades de números quadrados perfeitos, isto é, há quadrados 3x3 com 9 células, 4x4 com 16 células, 5x5 com 25 células, 6x6 com 36 células e assim por diante, nos quais sequências numéricas finitas são dispostas em certa ordem de forma que a soma de cada linha, cada coluna e bem como as diagonais formam Constante Mágica.
Quadrados Mágicos podem ser construídos com progressões aritméticas (P.A.s) e geométricas (P.G.s) e também com sequências numéricas que não são nem PAs e nem PGs, que são os casos de sequências de divisores de determinados números naturais que são produtos de dois números primos distintos, tais como: 6, 10, 14, 22, 26, etc...
O presente estudo demonstra exemplos de construções de Quadrados Mágicos com frações.
A partir da fração 1/2 e multiplicando-a pela razão 1/2 obtem-se a seguinte progressão geométrica finita.
| Progressão Geométrica de razão 1/2 | ||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||||||||
| __ | , | __ | , | __ | , | __ | , | __ | , | __ | , | __ | , | __ | , | __ |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 | 512 | ||||||||
A progressão geométrica têm como númeradores o número 1 e denominadores potências de base 2.
O Quadrado Mágico 3x3 construído com a progressão geométrica de razão 1/2 cujos denominadores são potências de base 2 não formam Constante Mágica.
As somas de cada linha, cada coluna e diagonais têm como resultados frações cujos numeradores são números ímpares, entre eles números primos, e denominadores potências de base 2.
| Quadrado Mágico 3x3 | ||||
| Progressão Geométrica de razão 1/2 | ||||
| 73 / 256 | ||||
| 1 / 16 | 1 / 512 | 1 / 4 | 161 / 512 | |
| 1 / 8 | 1 / 32 | 1 / 128 | 21 / 128 | |
| 1 / 256 | 1 / 2 | 1 / 64 | 133 / 256 | |
| 49 / 256 | 145 / 512 | 35 / 128 | 7 / 64 | |
Mínimo Múltiplo Comum (16, 512, 4) = 512
| Linha 1 | ||||||||
| 1 | 1 | 1 | 32 + 1 + 128 | 161 | ||||
| __ | + | __ | + | __ | = | __________ | = | __ |
| 16 | 512 | 4 | 512 | 512 | ||||
Mínimo Múltiplo Comum (8, 32, 128) = 128
| Linha 2 | ||||||||
| 1 | 1 | 1 | 16 + 4 + 1 | 21 | ||||
| __ | + | __ | + | __ | = | __________ | = | __ |
| 8 | 32 | 128 | 128 | 128 | ||||
Mínimo Múltiplo Comum (256, 2, 64) = 256
| Linha 3 | ||||||||
| 1 | 1 | 1 | 1 + 128 + 4 | 133 | ||||
| __ | + | __ | + | __ | = | __________ | = | __ |
| 256 | 2 | 64 | 256 | 256 | ||||
Mínimo Múltiplo Comum (16, 8, 256) = 256
| coluna 1 | ||||||||
| 1 | 1 | 1 | 16 + 32 + 1 | 49 | ||||
| __ | + | __ | + | __ | = | __________ | = | __ |
| 16 | 8 | 256 | 256 | 256 | ||||
Mínimo Múltiplo Comum (512, 32, 2) = 512
| coluna 2 | ||||||||
| 1 | 1 | 1 | 1 + 16 + 128 | 145 | ||||
| __ | + | __ | + | __ | = | __________ | = | __ |
| 512 | 32 | 2 | 512 | 512 | ||||
Mínimo Múltiplo Comum (4, 128, 64) = 128
| coluna 3 | ||||||||
| 1 | 1 | 1 | 32 + 1 + 2 | 35 | ||||
| __ | + | __ | + | __ | = | __________ | = | __ |
| 4 | 128 | 64 | 128 | 128 | ||||
Os numeradores 7 e 73 são números primos.
Mínimo Múltiplo Comum (16, 32, 64) = 64
| diagonal principal | ||||||||
| 1 | 1 | 1 | 4 + 2 + 1 | 7 | ||||
| __ | + | __ | + | __ | = | __________ | = | __ |
| 16 | 32 | 64 | 64 | 64 | ||||
Mínimo Múltiplo Comum (256, 32, 4) = 256
| diagonal secundária | ||||||||
| 1 | 1 | 1 | 1 + 8 + 64 | 73 | ||||
| __ | + | __ | + | __ | = | __________ | = | __ |
| 256 | 32 | 4 | 256 | 256 | ||||
As somas consecutivas de potências de base 2 têm como resultados números ímpares de 1 unidade menor que uma potência de base 2 e entre eles números primos.
Quando a soma de potências de base 2 for um número primo e este multiplicado pela última parcela da soma obtem-se um número perfeito.
1
1 + 2 = 3 ( 3 x 2 = 6)
1 + 2 + 4 = 7 (7 x 4 = 28)
1 + 2 + 4 + 8 = 15
1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 (31 x 16 = 496)
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 127 (127 x 64 = 8128)
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 = 255
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 = 511
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 = 1023
Observação: as somas de potências de base 2 têm os mesmos resultados dos numeradores nas somas de frações de potências de base 2.
As somas consecutivas de frações de potências de base 2 têm como resultados numeradores com números ímpares de 1 unidade menor que o denominador da fração e entre eles números primos.
1/2
1/2 + 1/4 = 3/4
1/2 + 1/4 + 1/8 = 7/8
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16= 15/16
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32= 31/32
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 = 63/64
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128= 127/128
Observação: as somas de frações de potências de base 2 têm os seus numeradores os mesmos resultados das somas de potências de base 2.
A partir da fração 1/3 e multiplicando-a pela razão 1/3 obtem-se a seguinte progressão geométrica finita.
| Progressão Geométrica de razão 1/3 | ||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||||||||
| __ | , | __ | , | __ | , | __ | , | __ | , | __ | , | __ | , | __ | , | __ |
| 3 | 9 | 27 | 81 | 243 | 729 | 2187 | 6561 | 19683 | ||||||||
A progressão geométrica têm como númeradores o número 1 e denominadores potências de base 3.
O Quadrado Mágico 3x3 construído com a progressão geométrica de razão 1/3 cujos denominadores são potências de base 3 não formam Constante Mágica.
As somas de cada linha, cada coluna e diagonais têm como resultados frações cujos numeradores são números ímpares, entre eles números primos, e denominadores potências de base 3.
Os numeradores 13 e 757, nas diagonais, são números primos.
| Quadrado Mágico 3x3 | ||||
| Progressão Geométrica de razão 1/3 | ||||
| 757 / 6561 | ||||
| 1 / 81 | 1 / 19683 | 1 / 9 | 2431 / 19683 | |
| 1 / 27 | 1 / 243 | 1 / 2187 | 91 / 2187 | |
| 1 / 6561 | 1 / 3 | 1 / 729 | 2197 / 6561 | |
| 325 / 6561 | 6643 / 19683 | 247 / 2187 | 13 / 729 | |
A partir da fração 1/5 e multiplicando-a pela razão 1/5 obtem-se a seguinte progressão geométrica finita.
| Progressão Geométrica de razão 1/3 | ||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||||||||
| __ | , | __ | , | __ | , | __ | , | __ | , | __ | , | __ | , | __ | , | __ |
| 5 | 25 | 125 | 625 | 3125 | 15625 | 78125 | 390625 | 1953125 | ||||||||
A progressão geométrica têm como númeradores o número 1 e denominadores potências de base 5.
O Quadrado Mágico 3x3 construído com a progressão geométrica de razão 1/5 cujos denominadores são potências de base 5 não formam Constante Mágica.
As somas de cada linha, cada coluna e diagonais têm como resultados frações cujos numeradores são números ímpares, entre eles números primos, e denominadores potências de base 5.
Os numeradores 31, na diagonal principal, é número primo.
| Quadrado Mágico 3x3 | ||||
| Progressão Geométrica de razão 1/5 | ||||
| 15751 / 390625 | ||||
| 1 / 625 | 1 / 1953125 | 1 / 25 | 81251/ 1953125 | |
| 1 / 125 | 1 / 3125 | 1 / 78125 | 651 / 78125 | |
| 1 / 390625 | 1 / 5 | 1 / 15625 | 78151 / 390625 | |
| 3751 / 390625 | 391251 / 1953125 | 3131 / 78125 | 31 / 15625 | |
Autor: Ricardo Silva - novembro/2020
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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