Quadrados Mágicos são quadrados quadriculados formados por linhas e colunas apresentando quantidades de células em números quadrados perfeitos, isto é, os quadrados podem ter 9, 16, 25, 36, 49 células e assim por diante.
Os números das sequências numéricas finitas são dispostos nas células de tal forma que a soma de cada linha, de cada coluna e diagonais tenham a mesma soma, isto é, a Constante Mágica.
Quadrados Mágicos podem ser construídos com progressões aritméticas (P.A.s) e progressões geométricas (P.G.s) como também por sequências que não sejam nem PA ou PG.
O presente estudo demonstra exemplos de construções de Quadrados Mágicos com sequências de frações cujos numeradores são o número 1 e denominadores múltiplos de determinado número.
A partir da fração 1/2 e somando ao denominador a razão 2 obtem-se a seguinte progressão aritmética finita.
| Progressão Aritmética de razão 2 | ||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||||||||
| __ | , | __ | , | __ | , | __ | , | __ | , | __ | , | __ | , | __ | , | __ |
| 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | ||||||||
A progressão artimética têm como númeradores o número 1 e denominadores múltiplos de 2.
O Quadrado Mágico 3x3 construído com a progressão artimética cujos denominadores são múltiplos de 2 não formam Constante Mágica.
As somas de cada linha, cada coluna e diagonais têm como resultados frações cujos numeradores apresentam números pares e ímpares, entre eles números primos, e denominadores múltiplos 2.
Observação: os numeradores das somas são também os mesmos numeradores dos quadrados mágicos de razão 2 e 3.
| Quadrado Mágico 3x3 | ||||
| Progressão Aritmética de razão 2 | ||||
| 33 / 80 | ||||
| 1 / 8 | 1 / 18 | 1 / 4 | 31 / 72 | |
| 1 / 6 | 1 / 10 | 1 / 14 | 71 / 210 | |
| 1 / 16 | 1 / 2 | 1 / 12 | 31 / 48 | |
| 17 / 48 | 59 / 90 | 34 / 84 | 37 / 120 | |
Mínimo Múltiplo Comum (8, 18, 4) = 72
| Linha 1 | ||||||||
| 1 | 1 | 1 | 9 + 4 + 18 | 31 | ||||
| __ | + | __ | + | __ | = | __________ | = | __ |
| 8 | 18 | 4 | 72 | 72 | ||||
Mínimo Múltiplo Comum (6, 10, 14) = 210
| Linha 2 | ||||||||
| 1 | 1 | 1 | 35 + 21 + 15 | 71 | ||||
| __ | + | __ | + | __ | = | __________ | = | __ |
| 6 | 10 | 14 | 210 | 210 | ||||
Mínimo Múltiplo Comum (16, 2, 12) = 48
| Linha 3 | ||||||||
| 1 | 1 | 1 | 3 + 24 + 4 | 31 | ||||
| __ | + | __ | + | __ | = | __________ | = | __ |
| 16 | 2 | 12 | 48 | 48 | ||||
Mínimo Múltiplo Comum (8, 6, 16) = 48
| coluna 1 | ||||||||
| 1 | 1 | 1 | 6 + 8 + 3 | 17 | ||||
| __ | + | __ | + | __ | = | __________ | = | __ |
| 8 | 6 | 16 | 48 | 48 | ||||
Mínimo Múltiplo Comum (18, 10, 2) = 90
| coluna 2 | ||||||||
| 1 | 1 | 1 | 5 + 9 + 45 | 59 | ||||
| __ | + | __ | + | __ | = | __________ | = | __ |
| 18 | 10 | 2 | 90 | 90 | ||||
Mínimo Múltiplo Comum (4, 14, 12) = 84
| coluna 3 | ||||||||
| 1 | 1 | 1 | 21 + 6 + 7 | 34 | ||||
| __ | + | __ | + | __ | = | __________ | = | __ |
| 4 | 14 | 12 | 84 | 84 | ||||
Mínimo Múltiplo Comum (8, 10, 12) = 120
| diagonal principal | ||||||||
| 1 | 1 | 1 | 15 + 12 + 10 | 37 | ||||
| __ | + | __ | + | __ | = | __________ | = | __ |
| 8 | 10 | 12 | 120 | 120 | ||||
Mínimo Múltiplo Comum (16, 10, 4) = 80
| diagonal secundária | ||||||||
| 1 | 1 | 1 | 5 + 8 + 20 | 33 | ||||
| __ | + | __ | + | __ | = | __________ | = | __ |
| 16 | 10 | 4 | 80 | 80 | ||||
A partir da fração 1/3 e somando ao denominador a razão 3 obtem-se a seguinte progressão aritmética finita.
| Progressão Geométrica de razão 1/3 | ||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||||||||
| __ | , | __ | , | __ | , | __ | , | __ | , | __ | , | __ | , | __ | , | __ |
| 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | 27 | ||||||||
A progressão artimética têm como númeradores o número 1 e denominadores múltiplos de 3.
O Quadrado Mágico 3x3 construído com a progressão artimética cujos denominadores são múltiplos de 3 não formam Constante Mágica.
As somas de cada linha, cada coluna e diagonais têm como resultados frações cujos numeradores apresentam números pares e ímpares, entre eles números primos, e denominadores múltiplos 3.
Observação: os numeradores das somas são também os mesmos numeradores dos quadrados mágicos de razão 1 e 3.
| Quadrado Mágico 3x3 | ||||
| Progressão Artimética de razão 3 | ||||
| 33 / 120 | ||||
| 1 / 12 | 1 / 27 | 1 / 6 | 31 / 108 | |
| 1 / 9 | 1 / 15 | 1 / 21 | 71 / 315 | |
| 1 / 24 | 1 / 3 | 1 / 18 | 31 / 72 | |
| 17 / 72 | 59 / 135 | 34 / 126 | 37 / 180 | |
A partir da fração 1/4 e somando ao denominador a razão 4 obtem-se a seguinte progressão aritmética finita.
| Progressão Aritmética de razão 4 | ||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||||||||
| __ | , | __ | , | __ | , | __ | , | __ | , | __ | , | __ | , | __ | , | __ |
| 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 | 32 | 36 | ||||||||
A progressão artimética têm como númeradores o número 1 e denominadores múltiplos de 4.
O Quadrado Mágico 3x3 construído com a progressão artimética cujos denominadores são múltiplos de 4 não formam Constante Mágica.
As somas de cada linha, cada coluna e diagonais têm como resultados frações cujos numeradores apresentam números pares e ímpares, entre eles números primos, e denominadores múltiplos 4.
Observação: os numeradores das somas são também os mesmos numeradores dos quadrados mágicos de razão 1 e 2.
| Quadrado Mágico 3x3 | ||||
| Progressão Aritmética de razão 4 | ||||
| 33 /160 | ||||
| 1 / 16 | 1 / 36 | 1 / 8 | 31 / 144 | |
| 1 / 12 | 1 / 20 | 1 / 28 | 71 / 420 | |
| 1 / 32 | 1 / 4 | 1 / 24 | 31 / 96 | |
| 17 / 96 | 59 /180 | 34 / 168 | 37 / 240 | |
Autor: Ricardo Silva - novembro/2020
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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