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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Quadrados Mágicos 3x3 com frações com denominadores múltiplos - 302

Quadrados Mágicos são quadrados quadriculados formados por linhas e colunas apresentando quantidades de células em números quadrados perfeitos, isto é, os quadrados podem ter 9, 16, 25, 36, 49 células e assim por diante.

Os números das sequências numéricas finitas são dispostos nas células de tal forma que a soma de cada linha, de cada coluna e diagonais tenham a mesma soma, isto é, a Constante Mágica.

Quadrados Mágicos podem ser construídos com progressões aritméticas (PA) e geométricas (PG) como também por sequências que não sejam nem PA ou PG.

O presente estudo demonstra exemplos de construções de Quadrados Mágicos com sequências de frações cujos numeradores são o número 1 e denominadores múltiplos de determinado número.

Quadrado Mágico 3x3 com frações de denominadores múltiplos de 2

A partir da fração 1/2 e somando ao denominador a razão 2 obtem-se a seguinte progressão aritmética finita.

Progressão Aritmética de razão 2
                                 
1   1   1   1   1   1   1   1   1
__ , __ , __ , __ , __ , __ , __ , __ , __
2   4   6   8   10   12   14   16   18

A progressão artimética têm como númeradores o número 1 e denominadores múltiplos de 2.

O Quadrado Mágico 3x3 construído com a progressão artimética cujos denominadores são múltiplos de 2 não formam Constante Mágica.

As somas de cada linha, cada coluna e diagonais têm como resultados frações cujos numeradores apresentam números pares e ímpares, entre eles números primos, e denominadores múltiplos 2.

Observação: os numeradores das somas são também os mesmos numeradores dos quadrados mágicos de razão 2 e 3.

Quadrado Mágico 3x3
Progressão Aritmética de razão 2
33 / 80
 
1 / 8 1 / 18 1 / 4 31 / 72
1 / 6 1 / 10 1 / 14 71 / 210
1 / 16 1 / 2 1 / 12 31 / 48
 
17 / 48 59 / 90 34 / 84 37 / 120

Resolução: soma de cada linha

Mínimo Múltiplo Comum (8, 18, 4) = 72

Linha 1
1   1   1   9 + 4 + 18   31
__ + __ + __ = __________ = __
8   18   4   72   72

Mínimo Múltiplo Comum (6, 10, 14) = 210

Linha 2
1   1   1   35 + 21 + 15   71
__ + __ + __ = __________ = __
6   10   14   210   210

Mínimo Múltiplo Comum (16, 2, 12) = 48

Linha 3
1   1   1   3 + 24 + 4   31
__ + __ + __ = __________ = __
16   2   12   48   48

Resolução: soma de cada coluna

Mínimo Múltiplo Comum (8, 6, 16) = 48

coluna 1
1   1   1   6 + 8 + 3   17
__ + __ + __ = __________ = __
8   6   16   48   48

Mínimo Múltiplo Comum (18, 10, 2) = 90

coluna 2
1   1   1   5 + 9 + 45   59
__ + __ + __ = __________ = __
18   10   2   90   90

Mínimo Múltiplo Comum (4, 14, 12) = 84

coluna 3
1   1   1   21 + 6 + 7   34
__ + __ + __ = __________ = __
4   14   12   84   84

Resolução: soma de cada diagonal

Mínimo Múltiplo Comum (8, 10, 12) = 120

diagonal principal
1   1   1   15 + 12 + 10   37
__ + __ + __ = __________ = __
8   10   12   120   120

Mínimo Múltiplo Comum (16, 10, 4) = 80

diagonal secundária
1   1   1   5 + 8 + 20   33
__ + __ + __ = __________ = __
16   10   4   80   80

Quadrado Mágico 3x3 com frações de denominadores múltiplos de 3

A partir da fração 1/3 e somando ao denominador a razão 3 obtem-se a seguinte progressão aritmética finita.

Progressão Geométrica de razão 1/3
                                 
1   1   1   1   1   1   1   1   1
__ , __ , __ , __ , __ , __ , __ , __ , __
3   6   9   12   15   18   21   24   27

A progressão artimética têm como númeradores o número 1 e denominadores múltiplos de 3.

O Quadrado Mágico 3x3 construído com a progressão artimética cujos denominadores são múltiplos de 3 não formam Constante Mágica.

As somas de cada linha, cada coluna e diagonais têm como resultados frações cujos numeradores apresentam números pares e ímpares, entre eles números primos, e denominadores múltiplos 3.

Observação: os numeradores das somas são também os mesmos numeradores dos quadrados mágicos de razão 1 e 3.

Quadrado Mágico 3x3
Progressão Artimética de razão 3
33 / 120
 
1 / 12 1 / 27 1 / 6 31 / 108
1 / 9 1 / 15 1 / 21 71 / 315
1 / 24 1 / 3 1 / 18 31 / 72
 
17 / 72 59 / 135 34 / 126 37 / 180

Quadrado Mágico 3x3 com frações de denominadores múltiplos de 4

A partir da fração 1/4 e somando ao denominador a razão 4 obtem-se a seguinte progressão aritmética finita.

Progressão Aritmética de razão 4
                                 
1   1   1   1   1   1   1   1   1
__ , __ , __ , __ , __ , __ , __ , __ , __
4   8   12   16   20   24   28   32   36

A progressão artimética têm como númeradores o número 1 e denominadores múltiplos de 4.

O Quadrado Mágico 3x3 construído com a progressão artimética cujos denominadores são múltiplos de 4 não formam Constante Mágica.

As somas de cada linha, cada coluna e diagonais têm como resultados frações cujos numeradores apresentam números pares e ímpares, entre eles números primos, e denominadores múltiplos 4.

Observação: os numeradores das somas são também os mesmos numeradores dos quadrados mágicos de razão 1 e 2.

Quadrado Mágico 3x3
Progressão Aritmética de razão 4
33 /160
 
1 / 16 1 / 36 1 / 8   31 / 144
1 / 12 1 / 20 1 / 28   71 / 420
1 / 32 1 / 4 1 / 24   31 / 96
 
  17 / 96   59 /180   34 / 168 37 / 240

 

Autor: Ricardo Silva - novembro/2020

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo e as novas fórmulas de cálculos dos seus lados. São Paulo, edição digital, 2014

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