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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Quadrados Mágicos 3x3 com frações equivalentes - 303

Quadrados Mágicos são conjuntos de números organizados em linhas e colunas de forma que a soma de cada linha, cada coluna bem como cada diagonal tenham sempre a mesma soma, a qual é denominada de Constante Mágica.

Os Quadrados Mágicos podem ser construídos com quadrados quadriculados cujas quantidades se referem a números quadrados perfeitos: 9, 16, 25, 36, 49 e assim sucessivamente.

Quadrados Mágicos não estão restrito à forma quadrada, há diversos outros dispositivos numéricos como círculos, triângulos, estrelas, pentagramas, etc. que se assemelham a Quadrados Mágicos.

Quadrados Mágicos podem ser construídos com progressões aritméticas (PA), progressões geométricas (PG), sequências que não sejam nem PA ou PG como também com símbolos, figuras geométricas, desenhos, etc.

O presente estudo demonstra exemplos de construções de Quadrados Mágicos com sequências numéricas formadas de frações equivalentes.

Quadrado Mágico 3x3 com frações equivalentes a 1/2

A partir da fração 1/2 e multiplicando-a pela sequência de números naturais de 1 a 9 obtem-se frações cujos numeradores e denominadores tem como razão 1/2.

Os numeradores aumentam de 1 em 1 unidade.

Os denominadores aumentam de 2 em 2 unidades.

Sequência de frações equivalentes a 1/2
                                 
1   2   3   4   5   6   7   8   9
__ , __ , __ , __ , __ , __ , __ , __ , __
2   4   6   8   10   12   14   16   18

A progressão artimética têm como numeradores a sequência dos números naturais de 1 a 9 e os denominadores a sequência dos múltiplos de 2.

O Quadrado Mágico 3x3 construído com a progressão artimética cuja a razão é 1/2 forma a Constante Mágica de razão 1/2.

As somas de cada linha, cada coluna e diagonais têm como resultados frações cujos numeradores e denominadores apresentam múltiplos de 3.

Quadrado Mágico 3x3
Frações equivalentes a 1/2
160 / 80
 
4 / 8 9 / 18 2 / 4 108 / 72
3 / 6 5 / 10 7 / 14 315 / 210
8 / 16 1 / 2 6 / 12 78 / 48
 
72 / 48 135 / 90 126 / 84 180 / 120

Resolução: soma de cada linha

Mínimo Múltiplo Comum (8, 18, 4) = 72

Linha 1
4   9   2   36 + 36 + 36   108
__ + __ + __ = __________ = __
8   18   4   72   72

Mínimo Múltiplo Comum (6, 10, 14) = 210

Linha 2
3   5   7   105 + 105 + 105   315
__ + __ + __ = __________ = __
6   10   14   210   210

Mínimo Múltiplo Comum (16, 2, 12) = 48

Linha 3
8   1   6   24 + 24 + 24   74
__ + __ + __ = __________ = __
16   2   12   48   48

Resolução: soma de cada coluna

Mínimo Múltiplo Comum (8, 6, 16) = 48

coluna 1
4   3   8   24 + 24 + 24   72
__ + __ + __ = __________ = __
8   6   16   48   48

Mínimo Múltiplo Comum (18, 10, 2) = 90

coluna 2
9   5   1   45 + 45 + 45   135
__ + __ + __ = __________ = __
18   10   2   90   90

Mínimo Múltiplo Comum (4, 14, 12) = 84

coluna 3
2   7   6   42 + 42 + 42   126
__ + __ + __ = __________ = __
4   14   12   84   84

Resolução: soma de cada diagonal

Mínimo Múltiplo Comum (8, 10, 12) = 120

diagonal principal
4   5   6   60 + 60 + 60   180
__ + __ + __ = __________ = __
8   10   12   120   120

Mínimo Múltiplo Comum (16, 10, 4) = 80

diagonal secundária
8   5   2   40 + 40 + 40   120
__ + __ + __ = __________ = __
16   10   4   80   80

Quadrado Mágico 3x3 com frações equivalentes a 2/3

A partir da fração 2/3 e multiplicando-a pela sequência de números naturais de 1 a 9 obtem-se frações cujos numeradores e denominadores tem como razão 2/3.

Os numeradores aumentam de 2 em 2 unidades.

Os denominadores aumentam de 3 em 3 unidades.

Sequência de frações equivalentes a 2/3
                                 
2   4   6   8   10   12   14   16   18
__ , __ , __ , __ , __ , __ , __ , __ , __
3   6   9   12   15   18   21   24   27

A progressão artimética têm como numeradores a sequência dos números pares e os denominadores a sequência dos múltiplos de 3.

O Quadrado Mágico 3x3 construído com a progressão artimética cuja a razão é 2/3 forma Constante Mágica de razão 2.

As somas de cada linha, cada coluna e diagonais têm como resultados frações cujos numeradores e denominadores apresentam múltiplos de 3.

Quadrado Mágico 3x3
Frações equivalentes a 2/3
240 / 120
 
8 / 12 18 / 27 4 / 6 216 / 108
6 / 9 10 / 15 14 / 21 630 / 315
16 / 24 2 / 3 12 / 18 144 / 72
 
144 / 72 270 / 135 252 / 126 360 / 180

Quadrado Mágico 3x3 com frações equivalentes a 3/4

A partir da fração 3/4 e multiplicando-a pela sequência de números naturais de 1 a 9 obtem-se frações cujos numeradores e denominadores tem como razão 3/4.

Os numeradores aumentam de 3 em 3 unidades.

Os denominadores aumentam de 4 em 4 unidades.

Progressão Aritmética de razão 3/4
                                 
3   6   9   12   15   18   21   24   27
__ , __ , __ , __ , __ , __ , __ , __ , __
4   8   12   16   20   24   28   32   36

A progressão artimética têm como numeradores a sequência dos números múltiplos de 3 e os denominadores a sequência dos múltiplos de 4.

O Quadrado Mágico 3x3 construído com a progressão artimética cuja a razão é 3/4 forma Constante Mágica de razão 2,25.

As somas de cada linha, cada coluna e diagonais têm como resultados frações cujos numeradores e denominadores apresentam múltiplos de 3.

Quadrado Mágico 3x3
Frações equivalentes a 3/4
360 / 160
 
12 / 16 27 / 36 6 / 8 324 / 144
9 / 12 15 / 20 21 / 28 945 / 420
24 / 32 3 / 4 18 / 24 216 / 96 
 
216 / 96  405 / 180  378 / 168 540 / 240

 

Autor: Ricardo Silva - novembro/2020

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo e as novas fórmulas de cálculos dos seus lados. São Paulo, edição digital, 2014

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