Quadrados Mágicos são quadrados divididos em linhas e colunas formando células nas quais são dispostos termos de sequências numéricas finitas em certa ordem de forma que a soma ou produto de cada linha, cada coluna e cada uma das diagonais tenham a mesma soma/produto a qual é denominada de Constante Mágica.
Os Quadrados Mágicos podem ser construídos com quadrados quadriculados cujas quantidades são em números de quadrados perfeitos, isto é, podem ser construídos com 9, 16, 25, 36, 49 células e assim sucessivamente.
Diversos outros dispositivos numéricos semelhantes a Quadrados Mágicos podem ser construídos com os mais diversos formatos bidimensionais como círculos, triângulos, estrelas, pentagramas, hexagramas, etc. e tridimensionais como cubos.
Quadrados Mágicos podem ser construídos com progressões aritméticas (P.A.s), progressões geométricas (P.G.s) e sequências que não sejam nem PA ou PG como também símbolos, figuras geométricas, desenhos, etc.
O presente estudo demonstra exemplos de construções de Quadrados Mágicos com sequências numéricas formadas por frações homogêneas, isto é, frações que possuem denominadores iguais e Quadrados Mágicos constrídos com números mistos e por números decimais.
A partir da fração 1/2, com o denominador 2 constante, e somando sempre 1 unidade ao numerador obtem-se frações homogêneas.
Os numeradores aumentam de 1 em 1 unidade.
Os denominadores possuem o número 2 constante.
| Sequência de frações homogêneas | ||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| de denominadores 2 | ||||||||||||||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | ||||||||
| __ | , | __ | , | __ | , | __ | , | __ | , | __ | , | __ | , | __ | , | __ |
| 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | ||||||||
As somas de cada linha, cada coluna e diagonais têm como resultados frações cujas somas dos numeradores é 15 e denominadores constantes.
| Quadrado Mágico 3x3 | ||||
| Frações homogêneas | ||||
| de denominador 2 | ||||
| 15 / 2 | ||||
| 4 / 2 | 9 / 2 | 2 / 2 | 15 / 2 | |
| 3 / 2 | 5 / 2 | 7 / 2 | 15 / 2 | |
| 8 / 2 | 1 / 2 | 6 / 2 | 15 / 2 | |
| 15 / 2 | 15 / 2 | 15 / 2 | 15 / 2 | |
| Linha 1 | ||||||||
| 4 | 9 | 2 | 4 + 9 + 2 | 15 | ||||
| __ | + | __ | + | __ | = | __________ | = | __ |
| 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | ||||
| Linha 2 | ||||||||
| 3 | 5 | 7 | 3 + 5 + 7 | 15 | ||||
| __ | + | __ | + | __ | = | __________ | = | __ |
| 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | ||||
| Linha 3 | ||||||||
| 8 | 1 | 6 | 8 + 1 + 6 | 15 | ||||
| __ | + | __ | + | __ | = | __________ | = | __ |
| 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | ||||
| coluna 1 | ||||||||
| 4 | 3 | 8 | 24 + 3 + 8 | 15 | ||||
| __ | + | __ | + | __ | = | __________ | = | __ |
| 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | ||||
| coluna 2 | ||||||||
| 9 | 5 | 1 | 45 + 45 + 45 | 135 | ||||
| __ | + | __ | + | __ | = | __________ | = | __ |
| 18 | 10 | 2 | 90 | 90 | ||||
| coluna 3 | ||||||||
| 2 | 7 | 6 | 2 + 7 + 6 | 15 | ||||
| __ | + | __ | + | __ | = | __________ | = | __ |
| 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | ||||
| diagonal principal | ||||||||
| 4 | 5 | 6 | 4 + 5 + 6 | 15 | ||||
| __ | + | __ | + | __ | = | __________ | = | __ |
| 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | ||||
| diagonal secundária | ||||||||
| 8 | 5 | 2 | 8 + 5 + 2 | 15 | ||||
| __ | + | __ | + | __ | = | __________ | = | __ |
| 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | ||||
O mesmo Quadrado Mágico também pode ser construído com números mistos tendo como Constante Mágica o número misto 7 1/2.
| Quadrado Mágico 3x3 | |||
| com números mistos | |||
| da fração 1/2 e derivadas | |||
| 7 1/2 | |||
| 2 | 4 1/2 | 1 | 7 1/2 |
| 1 1/2 | 2 1/2 | 3 1/2 | 7 1/2 |
| 4 | 1/2 | 3 | 7 1/2 |
| 7 1/2 | 7 1/2 | 7 1/2 | 7 1/2 |
O mesmo Quadrado Mágico também pode ser construído com números decimais tendo como Constante Mágica o número decimal 7,5.
| Quadrado Mágico 3x3 | |||
| com números decimais | |||
| 7,5 | |||
| 2 | 4,5 | 1 | 7,5 |
| 1,5 | 2,5 | 3,5 | 7,5 |
| 4 | 0,5 | 3 | 7,5 |
| 7,5 | 7,5 | 7,5 | 7,5 |
A partir da fração 1/3, com o denominador 3 constante, e somando sempre 1 unidade ao numerador obtem-se frações homogêneas.
Os numeradores aumentam de 1 em 1 unidade.
Os denominadores possuem o número 3 constante.
| Sequência de frações homogêneas | ||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| de denominadores 3 | ||||||||||||||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | ||||||||
| __ | , | __ | , | __ | , | __ | , | __ | , | __ | , | __ | , | __ | , | __ |
| 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | ||||||||
As somas de cada linha, cada coluna e diagonais têm como resultados frações cujas somas dos numeradores é 15 e denominadores constantes.
| Quadrado Mágico 3x3 | ||||
|---|---|---|---|---|
| Frações homogêneas | ||||
| de denominadores 3 | ||||
| 15 / 3 | ||||
| 4 / 3 | 9 / 3 | 2 / 3 | 15 / 3 | |
| 3 / 7 | 5 / 3 | 7 / 3 | 15 / 3 | |
| 8 / 3 | 1 / 3 | 6 / 3 | 15 / 3 | |
| 15 / 3 | 15 / 3 | 15 / 3 | 15 / 3 | |
O mesmo Quadrado Mágico também pode ser construído com números mistos tendo como Constante Mágica o número 5.
| Quadrado Mágico 3x3 | |||
| com números mistos | |||
| da fração 1/3 e derivadas | |||
| 5 | |||
| 1 1/3 | 3 | 2/3 | 5 |
| 1 | 1 2/3 | 2 1/3 | 5 |
| 2 2/3 | 1/3 | 2 | 5 |
| 5 | 5 | 5 | 5 |
A partir da fração 1/4, com o denominador 4 constante, e somando sempre 1 unidade ao numerador obtem-se frações homogêneas.
Os numeradores aumentam de 1 em 1 unidade.
Os denominadores possuem o número 4 constante.
| Sequência de frações homogêneas | ||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| de denominadores 4 | ||||||||||||||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | ||||||||
| __ | , | __ | , | __ | , | __ | , | __ | , | __ | , | __ | , | __ | , | __ |
| 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | ||||||||
As somas de cada linha, cada coluna e diagonais têm como resultados frações cujas somas dos numeradores é 15 e denominadores constantes.
| Quadrado Mágico 3x3 | ||||
| Frações homogêneas | ||||
| de denominadores 4 | ||||
| 15 / 4 | ||||
| 4 / 4 | 9 / 4 | 2 / 4 | 15 / 4 | |
| 4 / 4 | 5 / 4 | 7 / 4 | 15 / 4 | |
| 8 / 4 | 1 / 4 | 6 / 4 | 15 / 4 | |
| 15 / 4 | 15 / 4 | 15 / 4 | 15 / 4 | |
O mesmo Quadrado Mágico também pode ser construído com números mistos tendo como Constante Mágica o número misto 3 3/4.
| Quadrado Mágico 3x3 | |||
| números mistos | |||
| da fração 1/4 e derivadas | |||
| 3 3/4 | |||
| 1 | 2 1/4 | 1/2 | 3 3/4 |
| 3/4 | 1 1/4 | 1 3/4 | 3 3/4 |
| 2 | 1/4 | 1 1/2 | 3 3/4 |
| 3 3/4 | 3 3/4 | 3 3/4 | 3 3/4 |
Autor: Ricardo Silva - novembro/2020
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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