Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Raiz Quadrada e os Números Triângulares e Retangulares - 481

O estudo demonstra relações numéricas e matemáticas entre: números quadrados perfeitos, somas de diferenças de quadrados, números triangulares, números retangulares com as quais são possíveis de se extrair a raiz quadrada exata de um número natural por meio dos métodos numéricos:

a) Método Numérico SDQ - 1

b) Método Numérico SDQ - 2

Números figurados, também denominados de números geométricos, são números que podem ser construídos por meio de arranjos de pontos formando figuras geométricas.

Números triangulares, Retangulares e Quadrados são números figurados.

Números triangulares

Podemos formar números triangulares, por meio:

a) da soma de números naturais consecutivos;

1

1 + 2 = 3

1 + 2 + 3 = 6

b) do produto de 2 números consecutivos e dividido por 2;

( 1 x 2 ) / 2 = 1

( 2 x 3 ) / 2 = 3

( 3 x 4 ) / 2 = 6

Números retangulares

Podemos formar números retangulares, por meio:

a) do produto de 2 números consecutivos;

1 x 2 = 2

2 x 3 = 6

3 x 4 = 12

Números quadrados perfeitos

Podemos formar números quadrados perfeito, por meio:

a) do produto de um número por ele mesmo;

1 x 1 = 1

2 x 2 = 4

3 x 3 = 9

b) de potênciação.

1^² = 1

2^² = 4

3^² = 9

Somas (pares) das diferenças de Quadrados e os números triangulares e retangulares

A presente tabela demonstra os 30 primeiros números quadrados perfeitos, as somas das diferenças de quadrados (SDQ), os 14 primeiros números triangulares e retangulares, bem como, suas relações numéricas e matemáticas, vejamos:

a) 1 unidade subtraída de números quadrados perfeitos têm como resultados Somas das Diferenças de Quadrados (SDQ) e entre as somas, números pares múltiplos de 4 e 8;

Para mais informações, veja:

011-estudos-477-raizes-quadradas-somas-das-diferencas-de-numeros-quadrados-perfeitos

b) Somas (pares) das Diferenças de Quadrados divididas por 4 têm como quocientes números retangulares;

c) Somas (pares) das Diferenças de Quadrados divididas por 8 têm como quocientes números triangulares;

d) a soma dos fatores que geram um número retangular tem como resultado a raiz quadrada correspondente ao quadrado e Somas (pares) das Diferenças de Quadrados que são divisíveis por 4.

Extração de Raiz Quadrada - Métodos Numéricos SDQ

Número Quadrado Perfeito 9

Método Numérico SDQ - 1

Somas (pares) das Diferenças de Quadrados divido por 4

Qual é a raiz quadrada de 9?

a) 9 é ímpar;

b) 1 unidade subtraída de 9 = 8;

c) 8 é divisível por 4 e 8;

d) 8 são as Somas (pares) das Diferenças de Quadrados (SDQ);

e) 8 : 4 = 2

f) 2 é um número retangular

g) o produto de 2 números consecutivos gera um retangular;

h) 1 x 2 = 2

i) a soma dos fatores 1 + 2 = 3

Resposta: 3 é a raiz quadrada de 9.

Método Numérico SDQ - 2

Somas (pares) das Diferenças de Quadrados divido por 8

a) 8 : 8 = 1;

b) 1 é um número triangular;

c) o dobro de um triangular é um retangular;

1 x 2 = 2

d) quais são os dois divisores centrais do retangular 2?

D(2)={1,2}

e) a soma dos dois divisores centrais de 2 são 3;

1 + 2 = 3

f) 3 é raiz quadrada de 9.

Número Quadrado Perfeito 25

Método Numérico SDQ 1

Somas (pares) das Diferenças de Quadrados divido por 4

Qual é a raiz quadrada de 25?

a) 25 é ímpar;

b) 1 unidade subtraída de 25 = 24;

c) 24 é divisível por 4 e 8;

d) 24 são as Soma (pares) das Diferenças de Quadrados (SDQ);

e) 24 : 4 = 6

f) 6 é um número retangular;

g) o produto de 2 números consecutivos gera um retangular;

h) 2 x 3 = 6

i) a soma dos fatores 2 + 3 = 5

Resposta: 5 é a raiz quadrada de 25.

Método Numérico SDQ - 2

Somas (pares) das Diferenças de Quadrados divido por 8

a) 24 : 8 = 3;

b) 3 é um número triangular;

c) o dobro de um triangular é um retangular;

3 x 2 = 6

d) quais são os dois divisores centrais do retangular 6?

D(6)={1, 2, 3, 6}

e) a soma dos dois divisores centrais de 6 são 5;

2 + 3 = 5

f) 5 é raiz quadrada de 25.

Número Quadrado Perfeito 49

Método Numérico SDQ - 1

Somas (pares) das Diferenças de Quadrados divido por 4

Qual é a raiz quadrada de 49?

a) 49 é ímpar;

b) 1 unidade subtraída de 49 = 48;

c) 48 é divisível por 4 e 8;

d) 48 são as Somas (pares) das Diferenças de Quadrados (SDQ);

e) 48 : 4 = 12

f) 12 é um número retangular;

g) o produto de 2 números consecutivos gera um retangular;

h) 3 x 4 = 12

i) a soma dos fatores 3 + 4 = 7

Resposta: 7 é a raiz quadrada de 49.

Método Numérico SDQ - 2

Somas (pares) das Diferenças de Quadrados divido por 8

a) 48 : 8 = 6;

b) 6 é um número triangular;

c) o dobro de um triangular é um retangular;

6 x 2 = 12

d) quais são os dois divisores centrais do retangular 12?

D(12)={1, 2, 3, 4, 6, 12}

e) a soma dos dois divisores centrais de 12 são 7;

3 + 4 = 7

f) 5 é raiz quadrada de 25.

Cálculos Algébricos

Equação do Segundo Grau (Método Completando Quadrado)

Por meio de Equação do Segundo Grau (Método Completando Quadrado), podemos verificar quais são dois números cuja soma e o produto são dados.

Neste caso queremos saber os dois fatores de um produto que somados é a raiz de um número quadrado perfeito.

Exemplo 1)

O retangular 2 é o produto dos consecutivos 1 e 2.

1 x 2 = 2

A soma dos fatores 1 + 2 = 3

3 é a raiz quadrada de 9.

Para se saber quais são dois números consecutivos cujo produto é um número retangular, podemos também utilizar Equação do Segundo Grau (Completando Quadrado).

(i) x . ( x + 1) = 2

(ii) x² + x = 2

(iii) x² + x + (1/2)² = 2 + ( 1/2 )²

(iv) x² + x + 1/4 = 2 + 1/4

(v) 4x² + 4x + 1 = 8 + 1

(vi) 4x² + 4x + 1 = 9

(vii) ( 2x + 1 )² = 9

(viii) 2x + 1 = ± √9

Interessante observar que o radical √9, está aparecendo na própria equação em que queremos saber que são dois número que somados é a sua raiz quadrada.

(ix) 2x + 1 = ± 3

(x) x´ = + 3 - 1 = 2 / 2 = 1

(xi) x´´= - 3 - 1 = - 4 / 2 = - 2

Autores: Aristóteles de Araújo Costa e Ricardo Silva - dezembro/2023

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020

SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022

SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014

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