O presente estudo demonstra um novo dispositivo numérico denominado de Triângulo Numérico 9 - Somas das Diferenças de Quadrados.
Dispositivo este que apresenta relações numéricas de somas de progressões aritméticas formadas por números ímpares consecutivos com raízes quadradas de números quadrados perfeitos correspondentes a cada soma de Progressão Aritmética.
A diferença entre dois números quadrados perfeitos tem como resultado um número ímpar.
As diferenças de quadrados têm como resultado a sequência de números ímpares a partir de 3: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,..., isto é, uma Progressão Aritmética cujo o primeiro termo é 3, de razão 2, e o último termo sempre um número ímpar.
As somas das diferenças de quadrados têm como resultados números que são 1 unidade menor que um número quadrado perfeito (Números Quase Quadrados).
Entre as somas das diferenças de quadrados há termos pares que são múltiplos de 4 e de 8.
As somas (pares) das diferenças de quadrados quando divididas por 4 têm como quocientes números retangulares.
As somas (pares) das diferenças de quadrados quando divididas por 8 têm como quocientes números triangulares.
Para mais informações, veja abaixo, matérias relacionadas!
A presente tabela demonstra os 20 primeiros números quadrados perfeitos, bem como, suas respectivas raízes quadradas, diferenças de quadrados e somas de diferenças de quadrados.
| Diferença entre | |||
| números quadrados perfeitos | |||
| somas de | |||
| Número | Diferença | diferenças | |
| (raiz) | Quadrado | de quadrados | de quadrados |
| 1 | 1 | ||
| 3 | |||
| 2 | 4 | ||
| 5 | 8 | ||
| 3 | 9 | ||
| 7 | 15 | ||
| 4 | 16 | ||
| 9 | 24 | ||
| 5 | 25 | ||
| 11 | 35 | ||
| 6 | 36 | ||
| 13 | 48 | ||
| 7 | 49 | ||
| 15 | 63 | ||
| 8 | 64 | ||
| 17 | 80 | ||
| 9 | 81 | ||
| 19 | 99 | ||
| 10 | 100 | ||
| 21 | 120 | ||
| 11 | 121 | ||
| 23 | 143 | ||
| 12 | 144 | ||
| 25 | 168 | ||
| 13 | 169 | ||
| 27 | 195 | ||
| 14 | 196 | ||
| 29 | 224 | ||
| 15 | 225 | ||
| 31 | 255 | ||
| 16 | 256 | ||
| 33 | 288 | ||
| 17 | 289 | ||
| 35 | 323 | ||
| 18 | 324 | ||
| 37 | 360 | ||
| 19 | 361 | ||
| 39 | 399 | ||
| 20 | 400 | ||
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O Triângulo Numérico 9 - Somas das Diferenças de Quadrados é um triângulo numérico infinito e que apresenta as seguintes propriedades:
| Triângulo Numérico 9 | |||||||||||
| Somas das Diferenças de | |||||||||||
| Números Quadrados Perfeitos | |||||||||||
| progressões | |||||||||||
| linhas | aritiméticas | somas | números | ||||||||
| de | quadrados | ||||||||||
| P.A.s | |||||||||||
| 2 | 3 | 5 | 8 | 9 | |||||||
| 3 | 3 | 5 | 7 | 15 | 16 | ||||||
| 4 | 3 | 5 | 7 | 9 | 24 | 25 | |||||
| 5 | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | 35 | 36 | ||||
| 6 | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 | 48 | 49 | |||
| 7 | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 | 15 | 63 | 64 | ||
| 8 | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 | 15 | 17 | 80 | 81 | |
| 9 | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 | 15 | 17 | 19 | 99 | 100 |
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a) cada linha do triângulo é formada por números ímpares consecutivos a partir do número ímpar 3;
b) a soma dos termos de cada linha tem como resultado um número de 1 unidade menor que um número quadrado perfeito;
c) o último termo de cada linha somado 1 unidade e dividido por 2 tem como quociente a raiz quadrada do número quadrado correspondente;
Exemplos:
Linha 2
(5 + 1) / 2 = 3
3 é raiz quadrada de 9
Linha 3
(7 + 1) / 2 = 4
4 é raiz quadrada de 16
Linha 4
(9 + 1) / 2 = 5
5 é raiz quadrada de 25
d) cada linha de números ímpares consecutivos formam uma P.A. cujo primeiro termo é 3, razão 2 e último termo também um número ímpar;
e) no triângulo não há a linha 1, ele começa com a linha 2, referenciando as quantidades de termos de cada linha.
Querendo-se saber a ordem / posição de um número ímpar em relação aos demais ímpares, de forma prática, procedemos assim:
a) qual é a posição do ímpar 5?
soma-se 1 unidade ao número 5 e dividi-se por 2.
( 5 + 1 ) / 2 = 3
3 é ordem / posição do número 5 em relação ao demais ímpares
| Ordem / Posição | |||||||||
| de Número ìmpar | |||||||||
| 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 |
| 1 | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 | 15 | 17 | 19 |
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Querendo-se saber a ordem / posição de um número ímpar referente ao último termo de cada linha no Triângulo Numérico 9, de forma prática, procedemos assim:
a) qual é a posição do ímpar 5?
subtrái-se 1 unidade do número 5 e dividi-se por 2.
( 5 - 1 ) / 2 = 2
2 é ordem / posição do número 5 da segunda linha no Triângulo Numérico 9.
O próprio número da linha é a ordem / posição do último termo de cada linha.
| Ordem / Posição | |||||||||
| de número ìmpar | |||||||||
| (último termo de cada linha) | |||||||||
| Triângulo Numérico 9 | |||||||||
| 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 |
| 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 | 15 | 17 | 19 | 21 |
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De forma prática, podemos efetuar a soma de cada P.A. do Triângulo Numérico das seguintes fomas:
a) o primeiro termo é sempre 3;
b) a razão é sempre 2;
c) último termo um número ímpar;
d) a ordem / posição do último termo é o próprio número da linha, como também, a quantidade de termos na soma da P.A.
1) qual a soma dos termos da linha 2?
na linha 2, há 2 termos: o 3 e o 5.
[( 3 + 5) x 2] / 2 = 8
8 é 1 unidade menor que o quadrado 9.
8 é um número quase quadrado perfeito.
2) qual a soma dos termos da linha 3?
na linha 3, há 3 termos: 3, 5 e 7
[( 3 + 7) x 3] / 2 = 15
15 é 1 unidade menor que o quadrado 16.
15 é um número quase quadrado perfeito.
3) qual a soma dos termos da linha 4?
na linha 4, há 4 termos: 3, 5, 7 e 9
[( 3 + 9) x 4] / 2 = 24
24 é 1 unidade menor que o quadrado 25.
24 é um número quase quadrado perfeito.
Na Tabuada de Multiplicação, também denominada de Tabuada de Pythágoras, em sua diagonal principal estão os números quadrados perfeitos e paralalelos à ela, os números retangulares (cor azul) e somas de diferenças de quadrados (cor amarelo).
Fonte: Silva, Ricardo. livro digital Tabuada de Pythágoras e Sequências Numéricas.
"Embutidos" na Tabuada de Pythágoras estão as diferenças de quadrados e que aparecem paralelas à diagonal secundária (círculos amarelos).
Fonte: Silva, Ricardo. livro digital Tabuada de Pythágoras e Sequências Numéricas.
Somas de P.A.s (números ímpares consecutivos a partir de 3) cujo primeiro termo é 3, razão 2 e último termo ímpar são Progressões Aritméticas intrinsecamente relacionadas a números quadrados perfeitos, bem como, as suas respectivas raízes quadradas.
Autor: Ricardo Silva - dezembro/2023
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Escada de Theon e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2023
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Números Perfeitos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2020
SILVA, Ricardo José da. Números Primos e o Método Número Atraentes. São Paulo, edição digital, 2022
SILVA, Ricardo José da. Progressões Aritméticas e Geométricas - novas fórmulas de somas de PAs e PGs. São Paulo, edição digital, 2021
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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