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Equação do Segundo Grau e números triangulares - 030

Números triangulares, também denominados de números geométricos, figurados e poligonais, são números que por meio de arranjos de pontos podemos formar figuras de triângulos.

Os números triangulares apresentam diversas relações numéricas com outras sequências numéricas famosas como a dos quadrados perfeitos, dos cúbicos, bem como a dos números perfeitos, etc.

Neste estudo são demonstrados como se saber se determinado número natural é um número triangular ou não, através da equação do segundo grau pelo Método de Bhaskára e pelo Método de Completar Quadrados

Números triangulares e soma de números naturais consecutivos

Um dos métodos usuais para se gerar números triangulares é por meio da soma de números naturais consecutivos:

1

1 + 2 = 3

1 + 2 + 3 = 6

1 + 2 + 3 + 4 = 10

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

O WebSite Os Fantásticos Números Primos apresentam outros métodos de se gerarem números triangulares veja:

Seção: Estudos

Tópico: Números Triangulares

Por meio da Fórmula da Soma de Progressão Aritmética pode-se gerar quaisquer números triangulares.

Fórmula 1

Progressão aritmética (1, 2, 3, 4, 5, 6), onde:

a1 - primeiro termo = 1

an - último termo = 6

n - quantidade de termos = 6

Sn - soma dos termos = ?

    (a1 + an)    
Sn = _____________ x n
    2    
    (1 + 6)    
S6 = _____________ x 6
    2    
    7    
S6 = _____________ x 6
    2    
    42
S6 = _____________
    2
S6 = 21

O sexto número triangular é 21.

Na prática, o produto de dois números naturais consecutivos divido por 2 tem como resultado um número triangular.

Exemplo 1:

1 x 2 = 2

2 : 2 = 1

Exemplo 2:

2 x 3 = 6

6 : 2 = 3

Exemplo 3:

3 x 4 = 12

12 : 2 = 6

Fórmula 2

Qual é o número triangular de posição 6?

    (n + 1)    
Tn = _____________ x n
    2    
    n2 + n
Tn = _____________
    2
    62 + 6
T6 = _____________
    2
    36 + 6
T6 = _____________
    2
    42
T6 = _____________
    2
T6 = 21

O sexto número triangular é 21.

Na prática, a soma de um quadrado perfeito e a sua raiz divido por 2 tem como resultado um número triangular.

Exemplo 1:

1 + 1 = 2

2 : 2 = 1

Exemplo 2:

4 + 2 = 6

6 : 2 = 3

Exemplo 3:

9 + 3 = 12

12 : 2 = 6

O número 28 é um número triangular?

A partir dos exemplos aritméticos e algébricos descritos acima foi possível demonstrar como se obter um número triangular.

Agora, como saber se determinado número natural é um número triangular ou não.

Para isso podemos fazemos uso da fórmula:

    n2 + n
Tn = _____________
    2
    n2 + n
28 = _____________
    2

2 x 28 = n2 + n

56 = n2 + n

e chegamos à uma equação do segundo grau.

n2 + n - 56 = 0

para se saber a posição do número triangular 28 e consequentemente a primeira parcela da soma de dois números consecutivos.

Equação do segundo grau - Fórmula de Bháskara

n2 + n - 56 = 0

Coeficientes:

a =1

b = 1

c = - 56

    - b ± √b 2 - 4 . a .c
x = _____________
    2.a

Delta (Discriminante da equação)

Δ = b2 - 4 . a . c

i)

Δ = 12 - 4 . 1 . (-56)

ii)

Δ = 1 + 224

iii)

O Delta é positivo e maior que 0 (zero), portanto há duas soluções para a equação.

Δ = 225

iv)

    -(+1) ± √225
x = _____________
    2

v)

Raízes da equação

    - 1 + 15    
x' = _____ = 7
    2    
    - 1 - 15    
x" = _____ = - 8
    2    

7 é positivo.

O sétimo número triangular é 28, pois:

7 x 8 = 56

56 : 2 = 28

Equação do Segundo Grau - Método de Completar Quadrados

n2 + n - 56 = 0

i)

desloca-se o termo independente "c" 56 para o segundo membro.

n2 + n = 56

ii)

dividi-se o coeficiente 1 do termo "bn" por 2 e eleve-o ao quadrado, 1/22 = 1/4, somando-o ao primeiro e segundo membro.

        1         1
n2 + 1 n + ___ = - 56 + __
        4         4

efetua-se o mmc

                   
4n2 + 4 n + 1 = - 224 + 1
                   

iii)

fatora-se o primeiro membro...

4n2 - 4x + 1 = 225

iv)

... obtendo um quadrado da soma (Produto Notável)

(2n + 1)2 = 225

v)

extrai-se a raiz quadrada

(2n + 1)2 = 225

2n + 1 = ± √225

2n + 1 = ± 15

vi)

    - 1 + 15    
n' = _______ = 7
    2    

vii)

    -1 - 15    
n' = _____ = - 8
    2    

7 é positivo.

O sétimo número triangular é 28, pois:

7 x 8 = 56

56 : 2 = 28

 

Autor: Ricardo Silva - dezembro /2020

Fontes Bibliográficas:

Números poligonais construídos na Grécia 300 aC

https://www.youtube.com/watch?v=qXObq2obHoI

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