Números triangulares, também denominados de números geométricos, figurados e poligonais, são números que por meio de arranjos de pontos podemos formar figuras de triângulos.
Os números triangulares apresentam diversas relações numéricas com outras sequências numéricas famosas como a dos quadrados perfeitos, dos cúbicos, ternos pitagóricos, bem como a dos números perfeitos, etc.
Neste estudo são demonstrados como se saber se determinado número natural é um número triangular ou não, através de Equação do Segundo Grau pelo Método de Bhaskára e pelo Método de Completar Quadrados.
Um dos métodos usuais para se gerar números triangulares é por meio da soma de números naturais consecutivos:
1
1 + 2 = 3
1 + 2 + 3 = 6
1 + 2 + 3 + 4 = 10
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
O WebSite Os Fantásticos Números Primos apresenta outros métodos de se gerarem números triangulares veja:
Seção: Estudos
Tópico: Números Triangulares
Por meio da Fórmula da Soma de Progressão Aritmética pode-se gerar quaisquer números triangulares.
Progressão aritmética (1, 2, 3, 4, 5, 6), onde:
a1 - primeiro termo = 1
an - último termo = 6
n - quantidade de termos = 6
Sn - soma dos termos = ?
(a1 + an) | ||||
Sn | = | _____________ | x | n |
2 |
(1 + 6) | ||||
S6 | = | _____________ | x | 6 |
2 |
7 | ||||
S6 | = | _____________ | x | 6 |
2 |
42 | ||
S6 | = | _____________ |
2 |
S6 | = | 21 |
O sexto número triangular é 21.
Na prática, o produto de dois números naturais consecutivos (número retangular/oblongo) dividido por 2 tem como resultado um número triangular.
Exemplo 1:
1 x 2 = 2
2 : 2 = 1
Exemplo 2:
2 x 3 = 6
6 : 2 = 3
Exemplo 3:
3 x 4 = 12
12 : 2 = 6
Qual é o número triangular de posição 6?
(n + 1) | ||||
Tn | = | _____________ | x | n |
2 |
n2 + n | ||
Tn | = | _____________ |
2 |
62 + 6 | ||
T6 | = | _____________ |
2 |
36 + 6 | ||
T6 | = | _____________ |
2 |
42 | ||
T6 | = | _____________ |
2 |
T6 | = | 21 |
O sexto número triangular é 21.
Na prática, a soma de um quadrado perfeito e a sua raiz dividido por 2 tem como resultado um número triangular.
Exemplo 1:
1 + 1 = 2
2 : 2 = 1
Exemplo 2:
4 + 2 = 6
6 : 2 = 3
Exemplo 3:
9 + 3 = 12
12 : 2 = 6
ou um quadrado perfeito menos a sua raiz dividido por 2 tem como resultado um número triangular a partir do quadrado 4.
Exemplo 1:
4 - 2 = 2
2 : 2 = 1
Exemplo 2:
9 - 3 = 6
6 : 2 = 3
Exemplo 3:
16 - 4 = 12
12 : 2 = 6
A partir dos exemplos aritméticos e algébricos descritos acima foi possível demonstrar como se obter um número triangular.
Agora, como saber se determinado número natural é um número triangular ou não.
Para isso, podemos fazemos uso da seguinte fórmula:
n2 + n | ||
Tn | = | _____________ |
2 |
n2 + n | ||
28 | = | _____________ |
2 |
2 x 28 = n2 + n
56 = n2 + n
e chegamos à uma equação do segundo grau.
n2 + n - 56 = 0
para se saber a posição do número triangular 28 e consequentemente a primeira parcela da soma de dois números consecutivos.
n2 + n - 56 = 0
Coeficientes:
a =1
b = 1
c = - 56
- b ± √b 2 - 4 . a .c | ||
x | = | _____________ |
2.a |
Δ = b2 - 4 . a . c |
i)
Δ = 12 - 4 . 1 . (-56) |
ii)
Δ = 1 + 224 |
iii)
O Delta é positivo e maior que 0 (zero), portanto, há duas soluções para a equação.
Δ = 225 |
iv)
-(+1) ± √225 | ||
x | = | _____________ |
2 |
v)
Raízes da equação
- 1 + 15 | ||||
x' | = | _____ | = | 7 |
2 |
- 1 - 15 | ||||
x" | = | _____ | = | - 8 |
2 |
7 é positivo.
O sétimo número triangular é 28, pois:
7 x 8 = 56
Observação importante: o fator 7 na multiplicação também determina a posição do triangular 28.
56 : 2 = 28
n2 + n - 56 = 0
i)
desloca-se o termo independente "c" 56 para o segundo membro.
n2 + n = 56
ii)
dividi-se o coeficiente 1 do termo "bn" por 2 e eleve-o ao quadrado, (1/2)2 = 1/4, somando-o ao primeiro e segundo membros.
12 | 12 | ||||||||
n2 | + | 1 n | + | ___ | = | - | 56 | + | __ |
22 | 22 |
1 | 1 | ||||||||
n2 | + | 1 n | + | ___ | = | - | 56 | + | __ |
4 | 4 |
efetua-se o mmc
4n2 | + | 4 n | + | 1 | = | - | 224 | + | 1 |
iii)
fatora-se o primeiro membro...
4n2 - 4x + 1 = 225
iv)
... obtendo um quadrado da soma (Produto Notável)
(2n + 1)2 = 225
v)
extrai-se a raiz quadrada
(2n + 1)2 = 225
2n + 1 = ± √225
2n + 1 = ± 15
vi)
- 1 + 15 | ||||
n' | = | _______ | = | 7 |
2 |
vii)
-1 - 15 | ||||
n' | = | _____ | = | - 8 |
2 |
7 é positivo.
O sétimo número triangular é 28, pois:
7 x 8 = 56
Observação importante: o fator 7 na multiplicação também determina a posição do triangular 28.
56 : 2 = 28
Autor: Ricardo Silva - dezembro /2020
Números poligonais construídos na Grécia 300 aC
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