logotipo os fantasticos numeros primos
capa dos livros: os fantásticos números primos, sequências numéricas mágicas, estudos de sequências númericas, o triângulo retângulo
Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Teorema de Pitágoras e figuras circulares - 297

Um dos modelos geométricos clássicos, divulgados em diversos livros, publicações, teses de mestrados, tccs, meios digitais, etc., para se comprovar o Teorema de Pitágoras a²=b²+c² é através de figuras geométricas semelhantes como no exemplo: um triângulo retângulo no qual são construídos quadrados quadriculados sobre a hipotenusa e catetos.

Somando os quadradinhos verde mais os quadradinhos amarelo, o resultado são os quadradinhos azul.

9 + 16 = 25

teorema de pitágora e método geometrico

No livro Pythagorean Proposition, Classics in Mathematics Education Serie do professor estadunidense Elisha Scott Loomis, cuja segunda edição foi lançada em 1940, encontra-se uma coletânea de 370 demonstrações do Teorema de Pitágoras entre elas: 109 demonstrações algébricas e 255 demonstrações  geométricas.

Outro livro que também aborda demonstrações do Teorema de Pitágoras: Pythagorean Theorem – Crowl Jewl of Mathematics, edição de 2008,  do engenheiro estadunidense John C. Sparks.

Teorema de Pitágoras e figuras semelhantes

George Pólya (1887-1985), matemático Hungaro, usou o Teorema de Pitágoras para comprovar que esta importante relação entre áreas vale para quaisquer figuras semelhantes desenhadas sobre a hipotenusa e sobre os catetos de um triângulo retângulo.

teorema de pitágora e figuras semelhantes

Fonte: SANTOS, Ana Maria Quaresma dos; SANTOS, Fábio Henrique da Costa; OLIVEIRA, Reinaldo Melo de. Teorema de Pitágoras: Demostrações - Trabalho de Conclusão de Curso - Universidade Federal do Amapá - Macapá/AP, 2015.

 

Teorema de Pitágoras e triângulos semelhantes

teorema de pitágoras e triângulos semelhantes

Teorema de Pitágoras e semi-círculos semelhantes

teorema de pitágoras e semi-círculos semelhantes

Teorema de Pitágoras e figuras geométricas circulares

Esta demonstração do Teorema de Pitágoras surgiu a partir de estudos realizados com triângulos retângulos inscritos em semicircunferências, circunferências concêntricas, Vesica Piscis e Mandorla, estudos estes que estão publicados aqui no WebSite. Ver matérias relacionadas.

teorema de pitágoras e figuras circulares

A partir do ponto B, traçou-se arcos de circunferências concêntricos e equidistantes nas áreas dos quadrados do cateto maior e da hipotenusa.

Inclinando o quadrado do cateto maior para a esquerda até a hipotenusa e posteriormente fazendo um giro de 180 graus, o grafismo, isto é, o desenho do cateto maior coincidirá com o desenho sobre o quadrado da hipotenusa.

O quadrado do cateto menor foi dividido em quatro áreas, dois retângulos e três quadradinhos.

No quadrado da hipotenusa, um retângulo foi colocado no canto esquerdo superior, o outro no canto direito inferior e os quadradinhos formando uma letra L "éle" no canto esquerdo inferior.

Observação importante:

O quinto arco de circunferência toca os vértices opostos dos retângulos como se fossem linhas diagonais.

O quinto arco de circunferência toca exatamente as larguras e os comprimentos dos retângulos, deixando "sobrar" os três quadradinhos.

E o mais interessante nesta construção geométrica é que a partir de pontos notáveis como ponto médio, ponto de 1/4 dos lados do quadrado do cateto maior determina-se os arcos de circunferências nos retângulos e quadradinhos do quadrado do cateto menor.

Métodos de construção

Constrói-se um triângulo retângulo de lados 3-4-5 e os quadrados dos catetos e da hipotenusa em seus respectivos lados.

Dividi-se a hipotenusa em 5 unidades.

Dividi-se a área do cateto maior em 16 quadrados.

Dividi-se a área do cateto menor em 2 retângulos e 3 quadrados.

No quadrado da hipotenusa aloca-se os 2 retângulos e os 3 quadrados referente a área do cateto menor.

teorema de pitágoras e divisão do quadrados

Com centro em B traça-se arcos de circunferências a partir das divisões da hipotenusa no quadrado do cateto maior e no quadrado da hipotenusa.

O quinto arco de circunferência (cor laranja) intersecta os vértices do dois retângulos como se fossem diagonais.

teorema de pitágoras e arcos conceêntricos

Com centro em M e abertura em A, trace-se o arco no primeiro retângulo.

Com centro em N e abertura em O, traça-se o arco no segundo retângulo.

Com centro em P e abertura em Q, traça-se o arco nos dois pequenos quadrados simultaneamente.

Com centro em R e mesma abertura de PQ, traça-se o arco no terceiro pequeno quadrado.

teorema de Pitágoras e arcos no cateto menor

 

 

Autor: Ricardo Silva - outubro/2020

Fontes Bibliográficas:

LOOMIS, Elisha Scott. The Pythagorean Propositions - Classics in Mathematics Education Serie - by The National Council of Teachers of Mathematics, Inc. - 1968

SANTOS, Ana Maria Quaresma dos; SANTOS, Fábio Henrique da Costa; OLIVEIRA, Reinaldo Melo de. Teorema de Pitágoras: Demostrações - Trabalho de Conclusão de Curso - Universidade Federal do Amapá - Macapá/AP, 2015.

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo e as novas fórmulas de cálculos dos seus lados. São Paulo, edição digital, 2014

SPARKS, John C. Pythagorean Theorem – Crowl Jewl of Mathematics, edição digital de 2008.

Matérias relacionadas:

005-texto-009-vesica-piscis-figuras-geometrica
011-estudos-251-teorema-de-pitagoras
011-estudos-285-ternos-pitagoricos-numeros-triangulares
011-estudos-286-triangulo-pitagorico-calculos-de-catetos-hipotenusa
011-estudos-287-triangulos-pitagoricos-primitivos-calculos-numericos
011-estudos-288-triangulos-pitagoricos-derivados-calculos-numericos
011-estudos-289-triangulos-pitagoricos-primitivos-nao-triangulares-calculos-numericos
011-estudos-290-ternos-pitagoricos-numeros-perfeitos
011-estudos-293-triangulo-pitagorico-circunferencia-inscrita
011-estudos-294-triangulo-pitagorico-e-semi-circunferencia
011-estudos-295-triangulo-pitagorico-e-circunferencias-concentricas
011-estudos-296-circunferencias-concentricas-pitagoricas
011-estudos-298-demonstracao-teorema-pitagoras-figuras-geometricas-mistas
Livro digital (e-book)
Estudos de Sequências Numéricas
livro estudos de sequências numéricas

Mais informações, acesse:

SEÇÃO LIVROS

Livro Ternos Pitagóricos e sequências numéricas
livro Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas

Mais informações, acesse:

SEÇÃO LIVROS

Senhores Professores de Matemática,

Profissionais de Exatas e

Entusiastas Matemáticos

RECEBAM GRATUITAMENTE
O E-BOOK
TRIÂNGULO RETÂNGULO:

 

livro Triângulo Retângulo

FAÇA A SUA SOLICITAÇÃO

AGORA MESMO ATRAVÉS

DO E-MAIL:

contato@osfantasticos numerosprimos.com.br

LIVRO DIGITAL (E-book) Números Triangulares e Sequências Numéricas
livro triangulares e sequências numéricas mágicas

Mais informações, acesse:

SEÇÃO LIVROS

Manual Digital (E-book) Quadrado Mágico Triplo
livro quadrado mágico triplo
DOWNLOAD GRATUITO

Mais informações, acesse:

SEÇÃO LIVROS


Prezado visitante, o conteúdo deste site está protegido por direitos autorais.

O uso acadêmico e escolar está liberado, desde que informando ao autor o local ou o meio em que será utilizado e divulgado, através do e-mail: contato

O uso comercial é proibido.

curta  fantasticos numeros primos no facebook
anúncio dominó tri-minox anúncio dominó quadriminox
fapage dos fantasticos numeros primos
Canal youtube dos fantasticos numeros primos