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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Demonstração do Teorema de Pitágoras com figuras geométricas mistas - 298

O Teorema de Pitágoras a² = b² + c² prima pela simplicidade, isto é, diferentemente de outras fórmulas e equaçôes é uma equação de fácil entendimento na sua utilização mais trivial para se obter as medidas dos lados de um triângulo retângulo, tendo duas das medidas dos seus lados é possível se obter a medida do terceiro lado.

Uma das propriedades relacionadas aos termos da fórmulas a² = b² + c² é que podem ser gerados infinitos conjuntos de três números inteiros denominados de Ternos Pitágoricos que também se relacionam com cada um dos lados de um triângulo retângulo.

O Teorema de Pitágoras possui aplicação em diversas áreas do conhecimento humano como astronômia, engenharia, fisíca, geometria, trigonometria, matemática, entre outras, etc.

Ao longo da História, tantos matemáticos como entusiastas matemáticos têm apresentados demonstrações do Teorema de Pitágoras que primam pela criatividade e engenhosidade.

O Professor estadunidense Elisha Escott Loomis catalogou mais de 370 demonstrações do Teorema de Pitágoras e que estão publicados em seu livro The Phitagorean Proposition, publicada em 1940, entre as demonstrações algébricas e geometricas estão exemplos de Quadrados Mágicos Pitagóricos, isto é, quadrados mágicos sobre os lados de triângulos retângulos contruídos com sequência de múltiplos de termos ternos pitagóricos. Veja matérias relacionadas.

Outro livro que também aborda demonstrações do Teorema de Pitágoras é  Pythagorean Theorem – Crowl Jewl of Mathematics, edição de 2008,  do engenheiro estadunidense John C. Sparks. Há um estudo sistemático com sobreposição, dissecção, translação de figuras geométricas de como possa ter surgido a primeira demonstração do Teorema de Pitágoras.

No livro digital O Triângulo Retângulo - Novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos são apresentados novos métodos e algoritmos para se calcular lados de triângulos retângulos, diagonais de quadrados e retângulo (download gratuito aqui no WebSite).

Demonstração do Teorema de Pitágoras - exemplos clássicos

Abaixo alguns exemplos clássicos de demonstrações do Teorema de Pitágoras por matemáticos e entusiastas matemáticos.

Demonstração do Teorema de Pitágoras - Euclides de Alexandria

Teorema de Pitágoras por Euclides de Alexandria

Fonte: EUCLIDES, Elementos de Geometria dos seis primeiros livros do undécimo e duodécimo da versão latina de Frederico Commandino. Edições Cultura, São Paulo, 1944

Demonstração do Teorema de Pitágoras - Chou Pei Suan Ching - versão 1

Teorema de Pitágoras - Livro Shou Pei Suan Ching

Fonte: LOOMIS, Elisha Scott. The Pythagorean Propositions - Classics in Mathematics Education Serie - by The National Council of Teachers of Mathematics, Inc. - 1968

Demonstração do Teorema de Pitágoras - Chou Pei Suan Ching - versão 2

Teorema de Pitágoras - Livro Shou Pei Suan Ching

Fonte:https://pt.wikipedia.org/wiki/Chou_Pei_Suan_Ching#/ media/File:Chinese_pythagoras.jpg

Demonstração do Teorema de Pitágoras - Bhaskara

Teorema de Pitágoras por Bhaskara

Fonte: LOOMIS, Elisha Scott. The Pythagorean Propositions - Classics in Mathematics Education Serie - by The National Council of Teachers of Mathematics, Inc. - 1968

Demonstração do Teorema de Pitágoras - James Garfield

Teorema de Pitágoras por James Garfield

Fonte: LOOMIS, Elisha Scott. The Pythagorean Propositions - Classics in Mathematics Education Serie - by The National Council of Teachers of Mathematics, Inc. - 1968

Demonstração do Teorema de Pitágoras - Henry Perigal

Teorema de Pitágoras por Henry Perigal

Fonte: By Henry Perigal - Archives of the Mathematical Association Public Domain

https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=14529933

Demonstração do Teorema de Pitágoras - George Polya

Teorema de Pitagóras por George Polya

Fonte: POLYA, George, Induction And Analogy In Mathematics 1

https://archive.org/details/Induction_And_Analogy_ In_Mathematics_1_/page/n5/mode/2up

Demonstração do Teorema de Pitágoras - figuras geométricas com retas e curvas

Interessante destacar que nos livros The Phitagorean Proposition e Pythagorean Theorem – Crowl Jewl of Mathematics são apresentados em suas totalidades demonstrações com figuras geométricas retilíneas, não há demonstrações com geométricas mistas, isto é, figuras com contornos retos e curvos.

A demonstração do Teorema de Pitágoras que se segue surgiu de estudos com triângulos retângulo inscritos em semicircunferências, circunferências concêntricas, Vesica Piscis e Mandorla, estudos estes que estão publicados aqui no WebSite. Ver matérias relacionadas.

Teorema de Pitágoras - figuras geométricas mistas

A partir do ponto B, traçou-se arcos de circunferências concêntricos e equidistantes nas áreas dos quadrados do cateto maior e da hipotenusa.

Inclinando o quadrado do cateto maior para a esquerda até a hipotenusa e posteriormente fazendo um giro de 180 graus, o grafismo, isto é, o desenho do cateto maior coincidirá com o desenho sobre o quadrado da hipotenusa.

O quadrado do cateto menor foi dividido em quatro áreas, dois retângulos e três quadradinhos.

No quadrado da hipotenusa, um retângulo foi colocado no canto esquerdo superior, o outro no canto direito inferior e os quadradinhos formando uma letra L "éle" no canto esquerdo inferior.

Observação importante:

O quinto arco de circunferência toca os vértices opostos dos retângulos como se fossem linhas diagonais.

O quinto arco de circunferência toca exatamente as larguras e os comprimentos dos retângulos, deixando "sobrar" os três quadradinhos.

E o mais interessante nesta construção geométrica é que a partir de pontos notáveis como ponto médio, ponto de 1/4 dos lados do quadrado do cateto maior determina-se os arcos de circunferências nos retângulos e quadradinhos do quadrado do cateto menor.

Métodos de construção

Constrói-se um triângulo retângulo de lados 3-4-5 e os quadrados dos catetos e da hipotenusa em seus respectivos lados.

Dividi-se a hipotenusa em 5 unidades.

Dividi-se a área do cateto maior em 16 quadrados.

Dividi-se a área do cateto menor em 2 retângulos e 3 quadrados.

No quadrado da hipotenusa aloca-se os 2 retângulos e os 3 quadrados referente a área do cateto menor.

Teorema de Pitágoras e divisção dos quadrados

Com centro em B traça-se arcos de circunferências a partir das divisões da hipotenusa no quadrado do cateto maior e no quadrado da hipotenusa.

O quinto arco de circunferência (cor laranja) intersecta os vértices do dois retângulos como se fossem diagonais.

Teorema de Pitágoras e arcos concêntricos

Com centro em M e abertura em A, trace-se o arco no primeiro retângulo.

Com centro em N e abertura em O, traça-se o arco no segundo retângulo.

Com centro em P e abertura em Q, traça-se o arco nos dois pequenos quadrados simultaneamente.

Com centro em R e mesma abertura de PQ, traça-se o arco no terceiro pequeno quadrado.

Teorema de Pitágoras e arcos no cateno menor

 

Autor: Ricardo Silva - outubro/2020

Fontes Bibliográficas:

LOOMIS, Elisha Scott. The Pythagorean Propositions - Classics in Mathematics Education Serie - by The National Council of Teachers of Mathematics, Inc. - 1968

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo e as novas fórmulas de cálculos dos seus lados. São Paulo, edição digital, 2014

SPARKS, John C. Pythagorean Theorem – Crowl Jewl of Mathematics, edição digital de 2008.

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