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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Circunferências concêntricas pitagóricas - 296

Triângulo Retângulo Pitagórico pode ser desenhado das de várias formas, entre elas:

em folha de papel quadriculado;

nos cantos de uma folha de papel, aproveitando o ângulo reto;

a partir de duas retas perpendiculares simplesmente marcando seu comprimento e altura e posteriormente a hipotenusa.

triângulo pitagórico 3-4-5

Triângulo Retângulo Pitagórico também pode ser construído com objetos, como barbante ou corda com 12 nós equidistantes.

Estas versatilidadades e facilidades de desenhos e contruções de Triângulos Retângulo Pitagóricos são porque eles são formados por números inteiros, isto é, os seus lados: catetos e hipotenusa tem medidas de Terno Pitagórico.

Terno Pitagórico é um conjunto de três números inteiros que satisfazem o Teorema de Pitágoras a²=b²+c² e que tem o seguinte enunciado:

O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos.

O primeiro triângulo retângulo cujas medidas dos lados são formados por números inteiros é o Triângulo Retângulo Pitagórico 3-4-5.

O triângulo retângulo 3-4-5 já era de conhecimento de antigas civilizações como: mesopotâmica, egípcia, indiana, chinesa, etc. e foram os estudiosos gregos que o generalizaram para qualquer triângulo retângulo.

Diferentemente do Triângulo Pitagórico, o Triângulo Retângulo de 30-60-90 graus pode ser construído em semicircunferências de quaisquer tamanhos com régua não graduada e compasso, pois seus vértices possuem pontos comuns e notáveis com circunferência e semicircunferência.

triangulo retangulo 30-60-90-graus inscrito semicircunferencia

Triângulo Pitágorico construído a partir de uma semicircunferência precisa necessariamente que o diâmetro tenha comprimentro em número inteiro, relacionado a terno pitagórico, o qual pode ser determinado por meio de régua graduada ou por meio do método de divisão de um segmento em partes iguais.

Triângulos Pitagóricos inscritos em semicircunferências apresentam interessantes propriedades e padrões geométricos que serão apresentadas a seguir.

Vesica Piscis e construções geométricas

Vésica Piscis é uma construção geométrica com duas circunferências de mesmo raio na qual o centro de uma está sobre a circunferência da outra.

Entre diversas construções de polígonos, com a Vesica Piscis podem ser contruídos triângulos equiláteros e triângulos retângulos de angulos de 30-60-90 graus.

Em duas de suas contruçôes elementarares, o segmento perpendicular que une os dois pontos de intersecções da duas circunferências tem como medida a raiz quadrada de 3 [√3] e contruindo-se um quadrado duplo tem-se a raiz quadrada de 2 [√2] e a raiz quadrada de 5 [√5].

vesica piscis e construções geométricas

Circunferências concêntricas e o triângulo pitagórico 3-4-5

Todo triângulo inscrito numa semicircunferência é triângulo retângulo.

Construindo-se dois conjuntos de circunferências concêntricas a partir de cada extremidade do diâmetro dividido em partes iguais de uma semicircunferência e se duas duplas de circunferências intersectarem a semicircunferência então tem-se triângulos pitagóricos congruentes.

Na Fig.286-04 tem-se o exemplo do diâmetro da semicircunferência dividido em 5 partes.

5 é o termo do terno pitagórico 3-4-5 que corresponde a hipotenusa.

Duas duplas de circunferências concêntricas intersectam a semicircunferência nos pontos C e D.

Unindo-se os pontos A, B e C, obtem-se o primeiro Triângulo Pitagórico 3-4-5.

Unindo-se os pontos A, B e D, obtem-se o segundo Triângulo Pitagórico 3-4-5.

Interessante observar nesta contrução geométrica que ela se assemelha à Vesica Piscis, mas tendo como base a semicircunferência e as circunferências concêntricas.

circunferências concêntricas e o triângulo pitagórico 3-4-5

Circunferências concêntricas e o triângulo pitagórico 6-8-10

O terno pitagórico 6-8-10 é um terno pitagórico derivado do terno 3-4-5.

Semicircunferência dividida em 10 partes.

10 é o termo do terno pitagórico 6-8-10 que se refere a hipotenusa.

Duas duplas de circunferências concêntricas intersectam a semicircunferência nos pontos C e D.

Unindo-se os pontos A, B e C, obtem-se o primeiro Triângulo Pitagórico 6-8-10.

Unindo-se os pontos A, B e D, obtem-se o segundo Triângulo Pitagórico 6-8-10.

circunferências concêntricas e o triângulo pitagórico 6-8-10

 

Autor: Ricardo Silva - outubro/2020

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo e as novas fórmulas de cálculos dos seus lados. São Paulo, edição digital, 2014

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