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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Círculo Mágico de Benjamin Franklin desvendado - 189

Benjamin Franklin (1706-1790), político, físico, escritor estadunidense, inventor do Para-Ráios, gostava de dedicar parte de seu tempo a elaborar Quadrados Mágicos.

No site http://www.magic-squares.net [1] há uma seção dedicada exclusivamente a Benjamin Franklin referente a algumas de suas produções de Quadrados Mágicos e entre elas a de um Círculo Mágico que foi publicado em outubro de 1768 na Gentleman’s Magazine e posteriormente foi republicado por Edward Falkener em seu livro Games ancient and oriental and how to play them (1892) [2].

círculo mágico de Benjamin Franklin desvendado

Fonte: http://www.magic-squares.net

O círculo apresenta as seguintes propriedades:

a) é formado com números de 12 a 75 mais o 12 no centro;

b) oito números em cada raio mais 12 somam 360;

c) oito números em cada círculo mais 12 soma 360;

d) oito números em cada círculo excêntrico mais 12 soma 360;

e) qualquer metade do círculo na parte posterior ou inferior mais a metade de 12 soma 180;

f) qualquer metade de raio mais a metade de 12 soma 180;

g) qualquer quatro números adjacentes mais a metade de 12 soma 180;

73 + 14 + 15 +72 + 6 = 180

Verificando o círculo, confesso que fiquei intrigado, porque aqui no site Os Fantásticos Números Primos há vários estudos com círculos com sequências numéricas crescentes, não tão díspares como o de Benjamin Franklim, no dele, percebe-se um número maior na parte superior e número menor na parte inferior e de forma cruzada em relação a um outro raio no círculo.

Então comecei a estudar e analisá-lo em partes conforme as etapas a seguir.

Tabulação dos números

A partir de cada raio com números, foram feitos colunas e linhas formando uma tabela.

Cada coluna apresenta a Constante Mágica 348.

Progressões aritméticas do Círculo Mágico de Benjamin Franklin
14 73 30 57 25 62 41 46
72 15 56 31 63 24 47 40
23 64 39 48 16 71 32 55
65 22 49 38 70 17 54 33
21 66 37 50 18 69 34 53
67 20 51 36 68 19 52 35
12 75 28 59 27 60 43 44
74 13 58 29 61 26 45 42
               
348 348 348 348 348 348 348 348

Nas colunas, percebe-se duplas de números deslocadas e fazendo correspôndencia entre uma coluna e outra de mesma cor, por exemplo:

14 e 15

72 e 73

23 e 22

65 e 66

e assim por diante...

Colunas de Números

Dividiu-se a sequência numérica de 12 a 75 em duas colunas de pares e ímpares e marcou os números que se encontram nos dois setores do círculo indicados pela letra "A".

Neste grupo, formado por 8 de números, parte-se do extremo para o meio, selecionando-os em duplas.

12 13
14 15
16 17
18 19
20 21
22 23
24 25
26 27
28 29
30 31
32 33
34 35
36 37
38 39
40 41
42 43
44 45
46 47
48 49
50 51
52 53
54 55
56 57
58 59
60 61
62 63
64 65
66 67
68 69
70 71
72 73
74 75

Montou-se outra tabela com os números que fazem duplas em ordem crescente.

Cada coluna tem a soma de 348.

Ordem                
12 13 28 29 25 60 41 40
14 15 30 31 27 62 43 42
21 20 37 36 16 24 45 33
23 22 39 38 18 26 47 35
65 64 49 48 61 17 32 44
67 66 51 50 63 19 34 46
72 73 56 57 68 69 52 53
74 75 58 59 70 71 54 55
                 
  348 348 348 348 348 348 348 348

Cada raio (coluna) do Círculo Mágico foi montado intercalando, permutando e cruzando números das partes superiores, inferiores e centrais para cada duas colunas (raios) do Círculo Mágico.

Benjamim Franklin trocou as ordens dos números em cada coluna.

Exemplos:

14 vai para a primeira posição;

12 vai para a sétima posição;

72 vai para a segunda posição.

Através destas trocas de posições, acredito estar o segredo do Círculo Mágico, pois os círculos excêntricos tocam em 8 números cuja soma também apresentam a Constante Mágica 348.

Progressões aritméticas - de Benjamin Franklin
14 73 30 57 25 62 41 46
72 15 56 31 63 24 47 40
23 64 39 48 16 71 32 55
65 22 49 38 70 17 54 33
21 66 37 50 18 69 34 53
67 20 51 36 68 19 52 35
12 75 28 59 27 60 43 44
74 13 58 29 61 26 45 42
               
348 348 348 348 348 348 348 348

Quadrado Mágico de ordem 8

Quadrado Mágico de ordem 8 formado com a progressão aritmética finita (12, 13, 14,...73, 74, 75) por meio do Método de Moschopoulos, o mesmo utilizado para quadrado de ordem 4.

Com os números dispostos no quadrado, tem-se uma visão geral e constata-se que o Círculo Mágico foi elaborado com as propriedades do Quadrado Mágico de ordem 8, pois:

Quadrado Mágico 8x8 - de Benjamin Franklin
348
               
75 13 14 72 71 17 18 68 348
20 66 65 23 24 62 61 27 348
28 58 57 31 32 54 53 35 348
51 37 38 48 47 41 42 44 348
43 45 46 40 39 49 50 36 348
52 34 33 55 56 30 29 59 348
60 26 25 63 64 22 21 67 348
19 69 70 16 15 73 74 12 348
                 
348 348 348 348 348 348 348 348 348

a) Constante Mágica 348 + 12 = 360;

b) qualquer metade de colunas ou linhas 174 +6 = 180;

c) sub-quadrado 75 + 13 + 20 + 66 = 174 + 6 = 180

Verifica-se também os grupos de pares de números, os mesmos, da tabela Colunas de Números.

Poder-se-ia montar o Círculo Mágico apenas as propriedades deste Quadrado Mágico.

Engenhosamente, o Sr. Benjamin Franklim, a partir dos grupos de pares de números remontou-os para formar os raíos dos círculo, como no exemplo:

14 na parte de cima;

72 na parte de cima;

23 na parte de cima;

65 na parte de cima;

21 na parte de baixo;

67 na parte de baixo;

12 na parte de baixo e

74 na parte de baixo.

O círculo verde (excêntrico) passa pelos seguintes números:

62 15 23 70 49 32 40 57 = 348

348 + 12 = 360

A partir de 62 , seguindo em linha reta, há vários cruzamentos para se formar apenas a sequência acima, teríamos que fazer vários quadrados para formar as rotas dos círculos excêntricos.

Quadrado Mágico 8x8 - constante mágica 348
348
               
75 13 14 72 71 17 18 68 348
20 66 65 23 24 62 61 27 348
28 58 57 31 32 54 53 35 348
51 37 38 48 47 41 42 44 348
43 45 46 40 39 49 50 36 348
52 34 33 55 56 30 29 59 348
60 26 25 63 64 22 21 67 348
19 69 70 16 15 73 74 12 348
                 
348 348 348 348 348 348 348 348 348

Mais uma vez, a engenhosidade do Sr. Benjamin Franklin entra em ação, e aqui fica o grande mistério embutido no Círculo Mágico.

Os pares de números dispostos em colunas e posteriormente transportados para os raios do círculo, além de preservarem as propriedades matemáticas do Quadrado Mágico de ordem 8 "criam" outras formas de se obterem Costantes Mágicas através de círculos excêntricos no Círculo Mágico.

Círculo Mágico a partir do Quadrado Mágico de ordem 8

A partir do Quadrado Mágico de ordem 8, montou-se outro Círculo Mágico para se verificar se círculos excêntricos apresentavam as mesmas somas do Círculo Mágico de Benjamin Franklin.

Nos dois exemplos que se seguem, cada uma das sequências nas quais os círculos excêntricos as tocam, quando somadas não tem a mesma Constante Mágica 348.

68 20 58 38 48 32 62 18 = 344
75 13 65 31 47 41 53 27 = 352
círculo mágico de Benjamin Franklin e quadro mágico de ordem 8

Autor: Ricardo Silva junho/2018

Fonte Bibliográfica:

[1] http://www.magic-squares.net

[2] http://scienceblogs.com.br/hypercubic/

2016/06/os-crculos-mgicos-de-franklin/

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