capa dos livros: os fantásticos números primos, sequências numéricas mágicas, estudos de sequências númericas, o triângulo retângulo

Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Quadrados Mágicos 7x7 - 194

Quadrado Mágico 7x7 ou de ordem 7 é um quadrado quadriculado formado por 7 linhas e 7 colunas perfazendo um total de 49 células.

O Quadrado Mágico de ordem 7 Normal ou Puro tem como formação a progressão aritmética finita constituída pelos 49 primeiros números naturais (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ,11, 12 , 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34,35, 36, 37, 38, 39, 40, 41,42, 42, 44, 45, 46, 47, 48, 49) ou 1 a n2, tendo como Constante Mágica 125 e soma do quadrado 625.

Quadrado Mágico 7x7 e o Método de Construção Yang Hui "Pirâmide"

Há vários métodos de construção de Quadrados Mágicos de ordem ímpar.

O Método da "Pirâmide"[1] Yang Hui [2] é uma técnica bem simples e prática, consistindo das seguintes etapas:

a) construir um quadriculado base de 13x13 (169 células);

Observação: o lado do quadrado base é 14 menos 1 unidade.

b) construir o quadrado principal de 7x7 (49 células);

c) a partir da linha horizontal central e do lado esquerdo do quadrado maior, começar numerando com o número 1 em sentido diagonal até 7, depois de 8 a 14, de 15 a 21, 22 a 28, 29 a 35, 36 a 42 e finalmente de 43 a 49;

d) alguns números ficam de fora (números coloridos) e outros ficam dentro do quadrado principal;

quadradro mágico de ordem 7 - método de construção pirâmide

e) deslocar os números (na cor verde) que estão do lado de fora para dentro do quadrado principal no lado direito;

f) deslocar os números (na cor vermelho) que estão do lado de fora para dentro do quadrado principal no lado esquerdo;

g) deslocar os números (na cor azul escuro) que estão do lado de fora para dentro do quadrado principal na parte inferior;

g) deslocar os números (na cor azul claro) que estão do lado de fora para dentro do quadrado principal na parte superior;

h) após montado o quadrado mágico, a diagonal principal (da esquerda superior para a direita inferior) apresenta uma sequência consecutiva de números: 22, 23, 24, 25, 26, 27 e 28.

quadrado mágico de ordem 7 - método de construção pirâmide

Quadrado Mágico 7x7 - Constante Mágica 175

O Quadrado Mágico de ordem 7 tem como Constante Mágica 175 e Soma Mágica 1225 e apresenta outras propriedades numéricas:

a) a soma de todos os números é um quadrado perfeito 1225 (raiz quadrada 35);

b) termo central é um quadrado perfeito 25 (raiz quadrada 5);

c) Ordem 7 x 5 = 35 (raiz da soma de todos os números);

d) a soma de números equidistantes têm como resultados múltiplos do termo central 25:

22 + 28 = 50

41 + 47 + 33 + 9 = 100

4 + 11 + 18 + 32 + 39 + 46 = 150

Quadrado Mágico 7x7
constante mágica 175
							175

22	5	30	13	38	21	46	175
47	23	6	31	14	39	15	175
16	48	24	7	32	8	40	175
41	17	49	25	1	33	9	175
10	42	18	43	26	2	34	175
35	11	36	19	44	27	3	175
4	29	12	37	20	45	28	175

175	175	175	175	175	175	175	175

e) o quadrado é constituído por 4 quadrados mágicos concêntricos:

quadrado central: 25

quadrado de ordem 3 cuja Soma Mágica é 225

quadrado de ordem 5 cuja Soma Mágica é 625

quadrado de ordem 7 cuja Soma Mágica é 1225

Observação: Quadrado Mágico que possui termo central um número quadrado perfeito também é Quadrado Mágico Concêntrico.

							175

22	5	30	13	38	21	46	175
47	23	6	31	14	39	15	175
16	48	24	7	32	8	40	175
41	17	49	25	1	33	9	175
10	42	18	43	26	2	34	175
35	11	36	19	44	27	3	175
4	29	12	37	20	45	28	175

175	175	175	175	175	175	175	175

Quadrado Mágico 7x7 e os números quadrados perfeitos

Elevando-se os números de 1 a 49 do Quadrado Mágico de ordem 7 ao quadrado, obtem-se um Quadrado Mágico Imperfeito com as seguintes características:

a) as colunas 1 e 7 apresentam o mesmo resultado 5971;

b) as colunas 2 e 6 apresentam o mesmo resultado 5873;

c) as colunas 3 e 5 apresentam o mesmo resultado 5677;

d) as linhas 1 e 7 apresentam o mesmo resultado 5579;

e) as linhas 2 e 6 apresentam o mesmo resulado 5677.

f) as linhas 3 e 5 apresentam o mesmo resulado 5873.

Quadrado Mágico 7x7
números quadrados perfeitos
							5747

484	25	900	169	1444	441	2116	5579
2209	529	36	961	196	1521	225	5677
256	2304	576	49	1024	64	1600	5873
1681	289	2401	625	1	1089	81	6167
100	1764	324	1849	676	4	1156	5873
1225	121	1296	361	1936	729	9	5677
16	841	144	1369	400	2025	784	5579

5971	5873	5677	5383	5677	5873	5971	4403

O Quadrado Mágico 7x7 e números consecutivos

No livro Sequências Numéricas Magicas [3] estão publicados vários estudos sobre relações numéricas entre figuras geométricas, números figurados, naturais, quadrados, cúbicos, etc.

Em um desses estudos, os 49 primeiros números naturais são dispostos sequencialmente dentro de um quadrado 7x7 apresentando entre outras, as seguintes propriedades numéricas:

Quadrado Mágico 7x7
números consecutivos
							175

1	2	3	4	5	6	7	28
8	9	10	11	12	13	14	77
15	16	17	18	19	20	21	126
22	23	24	25	26	27	28	175
29	30	31	32	33	34	35	224
36	37	38	39	40	41	42	273
43	44	45	46	47	48	49	322

154	161	168	175	182	189	196	175

a) as diagonais tem como resultado a Constante Mágica 175;

b) a soma de cada linha horizontal é múltiplo de 7;

c) a soma de cada linha vertical é múltiplo de 7;

d) a soma de todos os números do quadrado tem como resultado a soma do quadrado 1225.

Autor: Ricardo Silva - julho/2018

Fontes Bibliográficas:

[1] COSTA, Olandino. A Matemática Recreativa no Ensino Básico /Olandino da Costa. - 2014. 87 p. Dissertação (mestrado) - Universidade do Minho - Portugal

[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Magic_square

[3] SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas - livro digital - São Paulo, 2013

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019