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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Quadrados Mágicos 7x7 - 194

Quadrado Mágico 7x7 ou de ordem 7 é um quadrado quadriculado formado por 7 linhas e 7 colunas perfazendo um total de 49 células.

O Quadrado Mágico de ordem 7 Normal ou Puro tem como formação a progressão aritmética finita constituída pelos 49 primeiros números naturais (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ,11, 12 , 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34,35, 36, 37, 38, 39, 40, 41,42, 42, 44, 45, 46, 47, 48, 49) ou 1 a n2, tendo como Constante Mágica 125 e soma do quadrado 625.

Quadrado Mágico 7x7 e o Método de Construção Yang Hui "Pirâmide"

Há vários métodos de construção de Quadrados Mágicos de ordem ímpar.

O Método da "Pirâmide"[1] Yang Hui [2] é uma técnica bem simples e prática, consistindo das seguintes etapas:

a) construir um quadriculado base de 13x13 (169 células);

Observação: o lado do quadrado base é 14 menos 1 unidade.

b) construir o quadrado principal de 7x7 (49 células);

c) a partir da linha horizontal central e do lado esquerdo do quadrado maior, começar numerando com o número 1 em sentido diagonal até 7, depois de 8 a 14, de 15 a 21, 22 a 28, 29 a 35, 36 a 42 e finalmente de 43 a 49;

d) alguns números ficam de fora (números coloridos) e outros ficam dentro do quadrado principal;

quadradro mágico de ordem 7 - método de construção pirâmide

e) deslocar os números (na cor verde) que estão do lado de fora para dentro do quadrado principal no lado direito;

f) deslocar os números (na cor vermelho) que estão do lado de fora para dentro do quadrado principal no lado esquerdo;

g) deslocar os números (na cor azul escuro) que estão do lado de fora para dentro do quadrado principal na parte inferior;

g) deslocar os números (na cor azul claro) que estão do lado de fora para dentro do quadrado principal na parte superior;

h) após montado o quadrado mágico, a diagonal principal (da esquerda superior para a direita inferior) apresenta uma sequência consecutiva de números: 22, 23, 24, 25, 26, 27 e 28.

quadrado mágico de ordem 7 - método de construção pirâmide

Quadrado Mágico 7x7 e propriedades numéricas

O Quadrado Mágico de ordem 7 tem como Constante Mágica 175 e Soma Mágica 1225 e apresenta outras propriedades numéricas:

a) a soma de todos os números é um quadrado perfeito 1225 (raiz quadrada 35);

b) termo central é um quadrado perfeito 25 (raiz quadrada 5);

c) Ordem 7 x 5 = 35 (raiz da soma de todos os números);

quadrado mágico de ordem 7

d) a soma de números equidistantes têm como resultados múltiplos do termo central 25:

22 + 28 = 50

41 + 47 + 33 + 9 = 100

4 + 11 + 18 + 32 + 39 + 46 = 150

Quadrado Mágico 7x7 - constante mágica 175
175
               
22 5 30 13 38 21 46 175
47 23 6 31 14 39 15 175
16 48 24 7 32 8 40 175
41 17 49 25 1 33 9 175
10 42 18 43 26 2 34 175
35 11 36 19 44 27 3 175
4 29 12 37 20 45 28 175
               
175 175 175 175 175 175 175 175

e) o quadrado é constituído por 4 quadrados mágicos concêntricos:

quadrado central: 25

quadrado de ordem 3 cuja Soma Mágica é 225

quadrado de ordem 5 cuja Soma Mágica é 625

quadrado de ordem 7 cuja Soma Mágica é 1225

Observação: Quadrado Mágico que possui termo central um número quadrado perfeito também é Quadrado Mágico Concêntrico.

175
               
22 5 30 13 38 21 46 175
47 23 6 31 14 39 15 175
16 48 24 7 32 8 40 175
41 17 49 25 1 33 9 175
10 42 18 43 26 2 34 175
35 11 36 19 44 27 3 175
4 29 12 37 20 45 28 175
               
175 175 175 175 175 175 175 175

O Quadrado Mágico 7x7 e os números quadrados perfeitos

Elevando-se os números de 1 a 49 do Quadrado Mágico de ordem 7 ao quadrado, obtem-se um Quadrado Mágico Imperfeito com as seguintes características:

a) as colunas 1 e 7 apresentam o mesmo resultado 5971;

b) as colunas 2 e 6 apresentam o mesmo resultado 5873;

c) as colunas 3 e 5 apresentam o mesmo resultado 5677;

d) as linhas 1 e 7 apresentam o mesmo resultado 5579;

e) as linhas 2 e 6 apresentam o mesmo resulado 5677.

f) as linhas 3 e 5 apresentam o mesmo resulado 5873.

Quadrado Mágico 7x7 - números quadrados perfeitos
5747
 
484 25 900 169 1444 441 2116 5579
2209 529 36 961 196 1521 225 5677
256 2304 576 49 1024 64 1600 5873
1681 289 2401 625 1 1089 81 6167
100 1764 324 1849 676 4 1156 5873
1225 121 1296 361 1936 729 9 5677
16 841 144 1369 400 2025 784 5579
 
5971 5873 5677 5383 5677 5873 5971 4403

O Quadrado Mágico 7x7 e números consecutivos

No livro Sequências Numéricas Magicas [3] estão publicados vários estudos sobre relações numéricas entre figuras geométricas, números figurados, naturais, quadrados, cúbicos, etc.

Em um desses estudos, os 49 primeiros números naturais são dispostos sequencialmente dentro de um quadrado 7x7 apresentando entre outras, as seguintes propriedades numéricas:

Quadrado Mágico 7x7 - números consecutivos
175
               
1 2 3 4 5 6 7 28
8 9 10 11 12 13 14 77
15 16 17 18 19 20 21 126
22 23 24 25 26 27 28 175
29 30 31 32 33 34 35 224
36 37 38 39 40 41 42 273
43 44 45 46 47 48 49 322
               
154 161 168 175 182 189 196 175

a) as diagonais tem como resultado a Constante Mágica 175;

b) a soma de cada linha horizontal é múltiplo de 7;

c) a soma de cada linha vertical é múltiplo de 7;

d) a soma de todos os números do quadrado tem como resultado a soma do quadrado 1225.

Autor: Ricardo Silva julho/2018

Fontes Bibliográficas:

[1] Costa, Olandino. A Matemática Recreativa no Ensino Básico /Olandino da Costa. - 2014. 87 p. Dissertação (mestrado) - Universidade do Minho - Portugal

[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Magic_square

[3] Silva, Ricardo José da. Sequências Numéricas Mágicas - livro digital - São Paulo, 2013

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

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