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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Quadrados Mágicos 5x5 e métodos de construções - 199

O texto apresenta transformações e comparações de métodos de construções de quadradros mágicos de ordem ímpar, neste estudo analisa um Quadrado Mágico 5x5 Puro originado de Quadrado Mágico Imperfeito formado por números consecutivos de 1 a 25.

Quadrados Mágicos são classificados conforme a sua ordem, isto é, quadrados de ordem 3 (3x3) são formados por 3 linhas e 3 colunas, perfazendo um total de 9 células, de ordem 4 (4x4) é formando por 16 células, de ordem 5 (5x5) é formado por 25 células e assim por diante.

Quadrados Mágicos 5x5 imperfeitos

Quadrados Mágicos Imperfeitos são quadrados que não apresentam Constante Mágica em todas linhas, colunas e diagonais.

Quadrados Mágicos Imperfeitos podem ser construídos naturalmente por sequências numéricas consecutivas dispostas em matrizes quadriculadas de 1 a n2.

O Quadrado Mágico 5x5 Imperfeito formado pela progressão aritimética de 1 a 25 possui as seguintes características:

Quadrado a)

1) as diagonais (cor laranja) têm como resultado a Constante Mágica 65;

2) a linha e coluna centrais (cor amarela) têm como resultado a Constante Mágica 65;

3) as somas são múltiplos de 5;

4) o termo médio 13 se encontra na célula central do quadrado;

Observação: mesmo sendo um Quadrado Mágico Imperfeito ele possui também Constante Mágica aparecendo nas diagonais, linha e coluna centrais.

Quadrados 3x3, 4x4, 5x5, etc, de números consecutivos são bases de estudos publicados no livro Sequências Numéricas Magicas [1] sobre relações numéricas entre figuras geométricas, números figurados, naturais, quadrados, cúbicos, etc.

Será que é possível mudar os números das células de cor branca e construir um Quadrado Mágicos 5x5 Puro?

Quadrado b)

Trocando de posições os números 2, 4, 22 e 24 o quadrado permanece imperfeito, as somas das respectivas colunas são alteradas, mas se mantêm a Constante Mágica nas diagonais e linhas centrais.

Quadrado c)

Trocando de posições os números 2, 4, 22, 24, 6, 10, 16, 20 o quadrado permanece imperfeito, as somas das respectivas linhas e colunas são alteradas, mas se mantêm a Constante Mágica nas diagonais e linhas centrais.

Quadrado d)

Trocando de posições os números 2, 4, 22, 24, 6, 10, 16, 20 o quadrado permanece imperfeito, as somas das respectivas linhas e colunas são alteradas, mas se mantêm a Constante Mágica nas diagonais e linhas centrais.

quadrados mágicos 5x5 imperfeitos

Quadrado Mágico 5x5 e o Método Yang Hui / "Pirâmide"

O Método Yang Hui ou "Pirâmide" consiste em:

a) fazer um quadriculado base maior e centralizar o quadrado 5x5;

b) numerar diagonalmente a partir lateral direita;

c) parte dos números ficam para fora do quadrado;

d) os números devem ser deslocados para dentro do quadrado 5x5;

e) números que estão fora na parte superior, devem ficar dentro na parte inferior do quadrado;

f) números que estão fora na parte inferior, devem ficar dentro na parte superior do quadrado;

g) números que estão fora na lateral esquerda, devem ficar dentro na lateral direita do quadrado;

h) números que estão fora na lateral direita, devem ficar dentro na lateral esquerda do quadrado;

Temos um configuração completamente diferente em relação ao quadrado de números consecutivos:

i) Os números que estavam nas linhas horizontal e vertical centrais, agora estão em diagonais;

j) Os números que estavam nas diagonais, agora estão em linhas horizontal e vertical centrais;

Observação: os números nas células brancas e dos cantos do Quadrado Mágico Imperfeito são os que ficaram do lado de fora no Método Pirâmide e no Quadrado Mágico trocam de lugares, mas mantêm correspondências com pares equidistantes diagonalmente:

2 e 24;

4 e 22;

6 e 10;

10 e 16

quadrado mágico 5x5 - método pirâmide

Quadrados Mágicos 5x5 e os Métodos de Rotação, de Yang Hui "Pirâmide" e La Loubère

a) contruir um quadrado base e um Quadrado Mágico Imperfeito 5x5 com números consecutivos de 1 a 25;

b) rotacionando o quadrado 5x5 de números consecutivos a 900, os números nas células branca e dos cantos ficam para fora do quadrado 5x5 semelhante ao Método Pirâmide

Veja mais detalhes do Método de Rotação aqui no site: 011-estudos-170-quadrados-magicos-ordem-3.

Como se pode observar, o Método Yang Hui "Pirâmide" tem em sua essência a rotação dos termos de um quadrado de números consecutivos.

quadrados mágicos 5x5 - métodos rotação e Yang Hu (pirâmide)

Na figura 199-04 podemos comparar as transformações do quadrado imperfeito para quadrados mágicos

Alguns números que estavam nas células branca no Quadrado Mágico Imperfeito (item a) passaram a ficar juntos na linha horizontal central no quadrado com o Método La Loubere (item c).

Veja mais detalhes do Método de La Loubere aqui no site: 011-estudos-170-quadrados-magicos-ordem-3.

quadrados mágicos 5x5 - métodos de rotação e La Loubere

Quadrados Mágicos 5x5 e o Método Construção De La Hire

O método de construção de Quadrados Mágicos 5x5 De La Hire [3] consiste em construir dois quadrados auxiliares e posteriormente somar os termos correspondentes das duas sequências numéricas.

A primeira sequência é formada pelos 5 primeiros múltiplos de 5.

m(5) = {0, 5, 10, 15, 20}

A segunda sequência é formada pela quantidade de células (linha ou coluna) do quadrado: 1, 2, 3, 4, 5.

1) Primeiro quadrado auxiliar

a) preenche-se com o termo central (3) da sequência de 1 a 5 a diagonal principal, da esquerda superior para à direita inferior;

a) preenche-se a linha superior com os números 1, 2, 4, 5 de forma aleatória, no nosso exemplo: 4, 1, 5 e 2;

b) preenche-se a primeira coluna à esquerda, de forma invertida aos números da linha superior: 2, 5, 1 e 4;

c) preenchem-se as diagonais quebradas da esquerda superior para a direita inferior com as sequências: (4, 1, 5, 2) e (2, 5, 1, 4);

d) os números ficam alocados nas células de forma que não se repetem nas linhas e colunas.

quadrado mágico 5x5 metodo De La Hire - quadrado auxiliar 1

2) Segundo quadrado auxiliar

e) preenche-se com o termo central (10) da sequência dos múltiplos de 5 a diagonal principal secundária, da direita superior para à esquerda inferior;

e) preenche-se a linha superior da direita para à esquerda com os múltiplos 0, 5, 15, 20 de forma aleatória, no nosso exemplo: 5, 20, 0 e 15;

f) preenche-se a primeira coluna à direita, de forma invertida aos números da linha superior: 15, 0, 20 e 5;

g) preenchem-se as diagonais quebradas da direita superior para à esquerda inferior com as sequências: (5, 20, 0, 15) e (15, 0, 20, 5);

h) os números ficam alocados nas células de forma que não se repetem nas linhas e colunas.

quadrado mágico 5x5 metodo De La Hire - quadrado auxiliar 2

3) Construção do Quadrado Mágico 3x3 com método De La Hire

Após montagens dos quadrados auxiliares, somam-se os termos correspondentes, obtendo-se assim o Quadrado Mágico 5x5 com a sequência dos 25 primeiros números naturais.

quadrado mágico 5x5 método De La Hires

Autor: Ricardo Silva agosto/2018

Fontes bibliográficas:

[1] Silva, Ricardo José da.  Sequências Numéricas Mágicas - livro digital - São Paulo, 2013

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

[3] Rouse Ball, WW. Mathematical Recreation and Essays. Nova York, edição digital, 1905 - Gutenberg Project, 2008

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