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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Quadrados Mágicos e Sequência de Fibonacci - 227

Assim como o Teorema de Pitágoras que tem diversas aplicações em ramos da Matemática e das Ciências e inclusive tem dezenas demonstrações compiladas no livro The Pythagorean Propositions do Professor Elisha Scott Loomis, reimpressão da segunda edição de 1940, com a Sequência de Fibonacci não é diferente, pois é uma sequência numérica que possui diversas propriedades numéricas e matemáticas, algumas publicadas aqui no site, está relacionada com a biologia, a fauna, a flora, o cosmos e possue Associações que se dedicam esclusivamente aos estudos de suas propriedades.

Quadrados Mágicos são dispositivos numéricos formados por células quadriculadas em quantidade de números quadrados perfeitos nas quais os números são dispostos em certa ordem e tem como resultado a soma de cada linha, cada coluna e diagonais a mesma soma e que é denominada de Constante Mágica.

Há quadrados formados por 9 células (3x3), 16 células (4x4), 25 células (5x5) e assim por diante.

Quadrados Mágicos e sequências numéricas

Quadrados Mágicos podem ser construídos com:

progressões aritméticas;

progressões geométricas;

números consecutivos pares;

números consecutivos ímpares;

números primos;

frações;

raízes quadradas;

desenhos;

símbolos;

divisores de um número natural, etc.

Quadrado Natural 3x3 / Quadrado de Números Consecutivos

Quadrado Natural ou Quadrado de Números Consecutivos são formados por sequências finitas de números consecutivos.

Estudos desses quadrados estão publicados no livro digital Sequência Numéricas Mágicas e demonstram que suas construções estão amplamente relacionadas, entre outras, com sequências de números triangulares, números quadrados perfeitos, etc.

No Quadrado Natural formado pelos 9 primeiros números naturais, as somas da coluna central, linha central e diagonas tem como resultado 15.

Todas as somas são múltiplos de 3.

Quadrado Natural
de números consecutivos
15
1 2 3 6
4 5 6 15
7 8 9 24
12 15 18 15

Quadrado Mágico 3x3 - Lo-shu

Quadrado Mágico Lo-Shu é o primeiro quadrado mágico formado por progressão aritmética finita de 9 termos (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).

Constante Mágica 15.

Quadrado Mágico 3x3 - Lo-Shu
constante mágica 15
15
4 9 2 15
3 5 7 15
8 1 6 15
15 15 15 15

Quadrado Mágico Multiplicativo Imperfeito 3x3 - Lo-shu

Quadrado multiplicativo é o quadrado em que os termos de cada linha, cada coluna e diagonais são muliplicados.

Com a progressão aritmética finita de 9 termos (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) não é possível construir um Quadrado Mágico Multiplicativo Perfeito, pois não se forma Constante Mágica.

Quadrado Mágico Multiplicativo Imperfeito 3x3
80
4 9 2 72
3 5 7 105
8 1 6 48
96 45 84 120

A soma das linhas e a soma das colunas têm os mesmos resultados: 225.

Quadrado Natural Imperfeito 3x3 - divisores de 36

Com sequência numérica de 9 termos dos múltiplos de 36 (1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 é 36) é não é possível construir um Quadrado Natural Perfeito, pois nem todas as somas são múltiplos de 6.

Quadrado Mágico Imperfeito 3x3
 
21
1 2 3 6
4 6 9 19
12 18 36 66
17 26 48 43

Quadrado Mágico 3x3 - divisores de 36

Com sequência numérica de 9 termos dos múltiplos de 36 (1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 é 36) é não é possível construir um Quadrado Mágico Perfeito, pois não se forma Constante Mágica.

Quadrado Mágico Imperfeito 3x3
26
4 36 2 42
3 6 12 21
18 1 9 28
25 43 23 19

Quadrado Mágico Multiplicativo Perfeito 3x3

Quadrado Mágico Multiplicativo é o quadrado em que os termos de cada linha, cada coluna e diagonais são multiplicados.

A Constante Mágica é o produto dos termos.

Com sequência numérica de 9 termos dos múltiplos de 36 (1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 é 36) é possível construir um Quadrado Mágico Multiplicativo Perfeito, pois se forma Constante Mágica.

Observação importante: sequências de divisores de um número natural não formam progressões aritméticas e nem progressões geométricas.

Divisores do número quadrado perfeito 36
   
Números Diferença
1  
  1
2  
  1
3  
  1
4  
  2
6  
  3
9  
  3
12  
  6
18  
  18
36  
Quadrado Mágico Multiplicativo 3x3
constante mágica 216
216
3 36 2 216
4 6 9 216
18 1 12 216
216 216 216 216

Quadrado Natural Imperfeito 3x3 - Fibonacci

A Sequência de Fibonacci é formada repetindo-se o número 1 duas vezes e somando-se dois números anteriores:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,...

A Sequência de Fibonacci também não uma progressão aritmética e nem progressão geométrica, mas possui diversas propriedades matemáticas, numéricas, geométricas, etc.

Com a sub-sequência 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 e 55 de números de Fibonacci não possível construir um Quadrado Natural pois as somas de cada uma das colunas, linhas e diagonais apresentam resultados diferentes.

Quadrado Natural Imperfeito 3x3
Fibonacci
32
1 2 3 6
5 8 13 26
21 34 55 110
27 44 71 64

Quadrado Mágico Imperfeito 3x3 - Fibonacci

Vejamos algumas sub-sequências utilizadas em Quadrados Mágicos.

Sequência de 9 números de Fibonacci

A diferença entre cada termo da sequência dos 9 números de Fibonacci não é constante.

Esta sequência não se repetiu o 1, pois em Quadrado Mágico não há números repetidos.

Números de Fibonacci
   
Números Diferença
1  
  1
2  
  1
3  
  2
5  
  3
8  
  5
13  
  8
21  
  13
34  
  21
55  

Não é possível formar Quadrado Mágico com os 9 termos da Sequência de Fibonacci, pois não há constante mágica.

A soma das linhas e a soma das colunas têm os mesmos resultados: 225.

Quadrado Mágico Imperfeito 3x3
Fibonacci
44
5 55 2 62
3 8 21 32
34 1 13 48
42 64 36 26

Sequência dos 9 primeiros múltiplos de 2 dos números de Fibonacci

A diferença entre cada termo da sequência dos 9 primeiros múltiplos de 2 da Sequência de Fibonacci não é constante.

Números de Fibonacci
   
Múltiplos de 2
   
Números Diferença
2  
  6
8  
  26
34  
  110
144  
  466
610  
  1974
2584  
  8362
10946  
  35422
46368  
  150050
196418  

Não é possível formar Quadrado Mágico com os 9 primeiros múltiplos de 2 da Sequência de Fibonacci, pois não há constante mágica.

A soma das linhas e a soma das colunas têm os mesmos resultados: 257.114.

Quadrado Mágico Imperfeito 3x3
Fibonacci
46986
144 196418 8 196570
34 610 10946 11590
46368 2 2584 48954
46546 197030 13538 3338

Sequência dos 9 primeiros múltiplos de 3 dos números de Fibonacci

A diferença entre cada termo da sequência dos 9 primeiros múltiplos de 3 da Sequência de Fibonacci não é constante.

Números de Fibonacci
   
Múltiplos de 3
   
Números Diferença
3  
  18
21  
  123
144  
  843
987  
  5778
6.765  
  39.603
46.368  
  271.443
317.811  
  1.860.498
2.178.309  
  12.752.043
14.930.352  

Não é possível formar Quadrado Mágico com os 9 primeiros múltiplos de 3 da Sequência de Fibonacci, pois não há constante mágica.

A soma das linhas e a soma das colunas têm os mesmos resultados: 17.480.760.

Quadrado Mágico Imperfeito 3x3
Fibonacci
2185095
987 14930352 21 14931360
144 6765 317811 324720
2178309 3 46368 2224680
2179440 14937120 364200 54120

Quadrado Mágico Multiplicativo Imperfeito 3x3 - Fibonacci

Quadrado Mágico Multiplicativo é o quadrado em que os termos de cada linha, cada coluna e diagonais são multiplicados.

Não é possível formar Quadrado Mágico Múliplicativo Perfeito com os 9 primeiros números da Sequência de Fibonacci, pois não há constante mágica.

A soma das linhas e a soma das colunas têm os mesmos resultados: 1.496.

Quadrado Mágico Imperfeito 3x3
9 números de Fibonacci
544
5 55 2 550
3 8 21 504
34 1 13 442
510 440 546 520

Não é possível formar Quadrado Mágico Múliplicativo Perfeito com os 9 primeiros múltiplos de 2 da Sequência de Fibonacci, pois não há constante mágica.

A soma das linhas e a soma das colunas têm os mesmos resultados: 692.923.400.

Quadrado Mágico Imperfeito 3x3
múltiplos de 2
226.275.840
144 196418 8 226.273.536
34 610 10946 227.020.040
46368 2 2584 239.629.824
227.017.728 239.629.960 226.275.712 226.978.560

Não é possível formar Quadrado Mágico Múliplicativo Perfeito com os 9 primeiros múltiplos de 3 da Sequência de Fibonacci, pois não há constante mágica.

Quadrado Mágico Imperfeito 3x3
múltiplos de 3
987 14930352 21
144 6765 317811
2178309 3 46368

produto da primeira linha = 309.461.405.904

produto da segunda linha = 309.598.763.760

produto da terceira linha = 303.011.495.136

 

produto da primeira coluna = 309.598.701.552

produto da segunda coluna = 303.011.493.840

produto da terceira coluna = 309.461.469.408

 

A soma das linhas e a soma das colunas têm os mesmos resultados: 922.071.664.800.

Conclusão:

Será que Quadrado Mágico é o Calcanhar de Aquiles na Sequência de Fibonacci?

Será que existe ao menos uma sub-sequência de Fibonacci em que é possível construir Quadrado Mágico?

A Sequência de Fibonacci possui diversas propriedades numéricas mas com alguns Quadrados Mágicos elementares não houve êxito.

Can a 3x3 magic square be constructed with nine distinct square numbers? This short question asked by Martin LaBar in 1984 became famous when Martin Gardner republished it in 1996 and offered $100 to the first person to construct such a square. Two years later, Gardner wrote: So far no one has come forward with a “square of squares” – but no one has proved its impossibility either. If it exists, its numbers would be huge, perhaps beyond the reach of today’s fastest computers. Fonte: http://www.multimagie.com.

 

Pode um quadrado mágico de 3x3 ser construído com nove números quadrados distintos? Esta pequena pergunta feita por Martin LaBar em 1984 tornou-se famosa quando Martin Gardner a republicou em 1996 e ofereceu US$ 100 para a primeira pessoa a construir tal quadrado. Dois anos depois, Gardner escreveu: Até agora ninguém avançou com um “quadrado de quadrados” - mas ninguém provou sua impossibilidade. Se existir, seus números seriam enormes, talvez além do alcance dos computadores mais rápidos de hoje.

Parafraseando Martin Labar, será que é possível construir Quadrado Mágico Fibonático, isto é, com números da Sequência de Fibonacci?

 

Autor: Ricardo Silva - julho/2019

Fonte:

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Sequência Numéricas Mágicas. São Paulo, edição digital, 2013

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QUADRADOS MÁGICOS E SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS

 

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