Triângulos Retângulos Pitagóricos apresentam regularidades numéricas quanto as medidas dos seus lados, isto porque, os seus lados são formados por conjuntos de três números inteiros denominados de Ternos Pitagóricos os quais também tem relação com o Teorema de Pitágoras: a 2 = b 2 + c 2.
Um dos métodos de se gerarem Ternos Pitagóricos é através das Fórmulas de Euclides:
a = m² - n²
b = 2mn
c = m² + n²
onde:
m > n (m tem que ser maior que n)
m e n tem que ser primos entre si
Observação importante:
As Fórmulas de Euclides não geram ternos pitagóricos derivados ímpares.
As Fórmulas de Euclides geram ternos pitagóricos derivados da seguinte forma: o dobro, do dobro, do dobro, do dobro e assim sucessivamente de um terno pitagórico primitivo.
Outro método de se obter ternos pitagóricos é multiplicar determinado terno pitagórico primitivo pela sequência de números naturais.
Por exemplo, a partir do Terno Pitagórico 3-4-5, multiplicando cada um dos seus termos por números naturais obtêm-se os seus ternos derivados:
| Ternos Pitagóricos | ||||
|---|---|---|---|---|
| Derivados | ||||
| do Terno 3-4-5 | ||||
| Terno Primitivo | ||||
| 3 | 4 | 5 | ||
| Números | Ternos Derivados | |||
| Naturais | ||||
| 2 | x | 6 | 8 | 10 |
| 3 | x | 9 | 12 | 15 |
| 4 | x | 12 | 16 | 20 |
| 5 | x | 15 | 20 | 25 |
| 6 | x | 18 | 24 | 30 |
| 7 | x | 21 | 28 | 35 |
| 8 | x | 24 | 32 | 40 |
| 9 | x | 27 | 36 | 45 |
| 10 | x | 30 | 40 | 50 |
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Em triângulos retângulos tendo duas medidas de seus lados é possível saber a medida do terceiro lado, assim como obter a medida de sua altura, medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.
Podemos resumir as relações métricas em um triângulo retângulo conforme as ilustrações apresentadas na Fig. 299-01.
Determinados triângulos pitagóricos, como no exemplo, o Triângulo Pitagórico 3-4-5, tem suas medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa e sua altura em números decimais, isto é, não são números inteiros.
Triângulos Pitagóricos de lados formados por ternos pitagóricos cujos termos são múltiplos de 5 apresentam outras regularidades numéricas quanto às medidas das projeções dos catetos e altura relativa a hipotenusa, pois essas medidas também apresentam números inteiros.
O Triângulo Pitagórico 15-20-25 é o primeiro triângulo pitagórico que têm medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa e altura relativa à hipotenusa em números inteiros, fato este constatado no modelo matemático da Fig. 299-03.
A seguinte tabela apresenta alguns ternos pitagóricos cujos termos são múltiplos de 5.
| Ternos Pitagóricos | ||||
|---|---|---|---|---|
| Derivados | ||||
| do Terno 3-4-5 | ||||
| Terno Primitivo | ||||
| 3 | 4 | 5 | ||
| Números | Ternos Derivados | |||
| Naturais | ||||
| c | b | a | ||
| 2 | x | 6 | 8 | 10 |
| 3 | x | 9 | 12 | 15 |
| 4 | x | 12 | 16 | 20 |
| 5 | x | 15 | 20 | 25 |
| 6 | x | 18 | 24 | 30 |
| 7 | x | 21 | 28 | 35 |
| 8 | x | 24 | 32 | 40 |
| 9 | x | 27 | 36 | 45 |
| 10 | x | 30 | 40 | 50 |
| 11 | ||||
| 12 | ||||
| 13 | ||||
| 14 | ||||
| 15 | x | 45 | 60 | 75 |
| 16 | ||||
| 17 | ||||
| 18 | ||||
| 19 | ||||
| 20 | x | 60 | 80 | 100 |
| 21 | ||||
| 22 | ||||
| 23 | ||||
| 24 | ||||
| 25 | x | 75 | 100 | 125 |
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Aplicando fórmulas das relações métricas, pode-se verificar as medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa e altura relativa à hipotenusa, veja os seguintes exemplos:
Projeção do cateto maior sobre a hipotenusa
b 2 : a = n
1600 : 50 = 32
Projeção do cateto menor sobre a hipotenusa
c 2 : a = m
900 : 50 = 18
Altura relativa à hipotenusa
h 2 = m x n
h 2 = 32 x 18
h 2 = 576
h = √ 576
h = 24
Projeção do cateto maior sobre a hipotenusa
b 2 : a = n
3600 : 75 = 48
Projeção do cateto menor sobre a hipotenusa
c 2 : a = m
2025 : 75 = 27
Altura relativa à hipotenusa
h 2 = m x n
h 2 = 48 x 27
h 2 = 1296
h = √1296
h = 36
Autor: Ricardo Silva - novembro/2020
SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019
SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012
SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018
SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013
SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017
SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo - novas fórmulas algébricas e aritméticas de cálculos. São Paulo, edição digital, 2014
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