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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Triângulo Pitagórico e projeções dos catetos sobre a hipotenusa - 299

Triângulos Retângulos Pitagóricos apresentam regularidades numéricas quanto as medidas dos seus lados, isto porque os seus lados são formados por conjuntos de três números inteiros denominados de Ternos Pitagóricos os quais também tem relação com o Teorema de Pitágoras: a 2 = b 2 + c 2.

Um dos métodos de se gerarem Ternos Pitagóricos é através das Fórmulas de Euclides:

a = m² - n²

b = 2mn

c = m² + n²

onde:

m > n (m tem que ser maior que n)

m e n tem que ser primos entre si

Observação importante:

As Fórmulas de Euclides não geram ternos pitagóricos derivados ímpares.

As Fórmulas de Euclides geram ternos pitagóricos derivados da seguinte forma: o dobro, do dobro, do dobro, do dobro e assim sucessivamente de um terno pitagórico primitivo.

Outro método de se obter ternos pitagóricos é multiplicar determinado terno pitagórico primitivo pela sequência de números naturais.

Por exemplo, a partir do Terno Pitagórico 3-4-5, multiplicando cada um dos seus termos por números naturais obtêm-se os seus ternos derivados:

Ternos Pitagóricos
Derivados
do Terno 3-4-5
         
    Terno Primitivo
    3 4 5
         
Números   Ternos Derivados
Naturais        
         
2 x 6 8 10
3 x 9 12 15
4 x 12 16 20
5 x 15 20 25
6 x 18 24 30
7 x 21 28 35
8 x 24 32 40
9 x 27 36 45
10 x 30 40 50
         
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Triângulo Pitagórico e relações métricas

Em triângulos retângulos tendo duas medidas de seus lados é possível saber a medida do terceiro lado, assim como obter a medida de sua altura, medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.

Podemos resumir as relações métricas em um triângulo retângulo conforme as ilustrações apresentadas na Fig. 299-01.

triângulo retângulo e relações métricas

Triângulo Pitagórico 3-4-5 e relações métricas

Determinados triângulos pitagóricos, como no exemplo, o Triângulo Pitagórico 3-4-5, tem suas medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa e sua altura em números decimais, isto é não são números inteiros.

triângulo pitagórico 3-4-5 e relações métricas

Triângulo Pitagórico 15-20-25 e relações métricas

Triângulos Pitagóricos de lados formados por ternos pitagóricos cujos termos são múltiplos de 5 apresentam outras regularidades numéricas quanto às medidas das projeções dos catetos e altura relativa a hipotenusa, pois essas medidas também apresentam números inteiros.

O Triângulo Pitagórico 15-20-25 é o primeiro triângulo pitagórico que têm medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa e altura relativa à hipotenusa em números inteiros, fato este constatado no modelo matemático da Fig. 299-03.

triângulo pitagóricos 15-20-25 e relações métricas

Triângulos pitagóricos e ternos pitagóricos múltiplos de 5

A seguinte tabela apresenta alguns ternos pitagóricos cujos termos são múltiplos de 5.

Ternos Pitagóricos
Derivados
do Terno 3-4-5
         
    Terno Primitivo
    3 4 5
         
Números   Ternos Derivados
Naturais        
    c b a
         
2 x 6 8 10
3 x 9 12 15
4 x 12 16 20
5 x 15 20 25
6 x 18 24 30
7 x 21 28 35
8 x 24 32 40
9 x 27 36 45
10 x 30 40 50
11        
12        
13        
14        
15 x 45 60 75
16        
17        
18        
19        
20 x 60 80 100
21        
22        
23        
24        
25 x 75 100 125
 
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Aplicando fórmulas das relações métricas, pode-se verificar as medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa e altura relativa à hipotenusa, veja os seguintes exemplos:

Terno Pitagórico 30-40-50

Projeção do cateto maior sobre a hipotenusa

b 2 : a = n

1600 : 50 = 32

Projeção do cateto menor sobre a hipotenusa

c 2 : a = m

900 : 50 = 18

Altura relativa à hipotenusa

h 2 = m x n

h 2 = 32 x 18

h 2 = 576

h = √ 576

h = 24

Terno Pitagórico 45-60-75

Projeção do cateto maior sobre a hipotenusa

b 2 : a = n

3600 : 75 = 48

Projeção do cateto menor sobre a hipotenusa

c 2 : a = m

2025 : 75 = 27

Altura relativa à hipotenusa

h 2 = m x n

h 2 = 48 x 27

h 2 = 1296

h = √1296

h = 36

 

Autor: Ricardo Silva - novembro/2020

Fontes Bibliográficas:

SILVA, Ricardo José da. Descobrindo Números Primos a partir de Números Compostos. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Estudos de Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Manual do Quadrado Mágico Triplo. São Paulo, edição digital, 2019

SILVA, Ricardo José da. Os Fantásticos Números Primos. São Paulo, edição digital, 2012

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

SILVA, Ricardo José da. Números Triangulares e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2013

SILVA, Ricardo José da. Ternos Pitagóricos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2017

SILVA, Ricardo José da. O Triângulo Retângulo e as novas fórmulas de cálculos dos seus lados. São Paulo, edição digital, 2014

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