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Página de estudos de matemática e sequências numéricas

Quadrados Mágicos 8x8 - 195

Quadrado Mágico 8x8 ou de ordem 8 é um quadrado quadriculado formado por 8 linhas e 8 colunas perfazendo um total de 64 células.

O Quadrado Mágico de ordem 8 Normal ou Puro tem como formação os 64 primeiros números naturais (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 , ... , 60 , 61, 62, 53 e 64) ou 1 a n2 com Costante Mágica 260 e soma de todos os números 2.080.

Quadrado Mágico 8x8 e o Método de Moschopoulos

O Método de Manuel Moschopoulos, autor bizantino que escreveu um tratado matemático sobre quadrados mágicos baseado nos textos de Ahmed al-Buni [1], também chamado de Método Igualmente Uniforme funciona para quadrados mágicos de ordem par múltiplos de 4 (4, 8, 16, 32, 64, ...).

A técnica de construção se baseia na construção de Quadrado Mágico de ordem 4 com algumas particularidades.

É uma técnica bastante simples em que consiste de alguns passos:

a) contruir um quadrado de 64 células;

b) dividir em 4 sub-quadrados de 16 células;

c) marcar as diagonais do quadrado maior e dos sub-quadrados;

d) preencher com os números de 1 a 64 as células com fundo branco, saltado as células que estão em sentidos diagonais (células amarela);

e) o quadrado maior de 64 células segue o esquema de montagem do quadrado 4x4;

f) o primeiro preechimento com números deve ficar igual a figura 195-01;

quadrado mágico 8x8 - método de Moschopoulos

d) posteriormente, preenchem-se as células amarela, começando da parte inferior direita, preenchendo cada linha e subindo;

e) o quadrado mágico deve ficar igual o da figura 195-02.

quadrado mágico 8x8 - método de Moschopoulos

Quadrado Mágico 8x8 e propriedades numéricas

O Quadrado Mágico de ordem 8 formado com o Método de Moschopoulos tem como Constante Mágica 260 e a soma de todos os seus termos 2.080 e apresenta propriedades númericas adicionais:

a) quaisquer sub-quadrados de 2 x 2 tem como resultado 130 que é a metade da Constante Mágica;

Quadrado Mágico 8x8 - constante mágica 260
260
                 
64 2 3 61 60 6 7 57 260
9 55 54 12 13 51 50 16 260
17 47 46 20 21 43 42 24 260
40 26 27 37 36 30 31 33 260
32 34 35 29 28 38 39 25 260
41 23 22 44 45 19 18 48 260
49 15 14 52 53 11 10 56 260
8 58 59 5 4 62 63 1 260
                 
260 260 260 260 260 260 260 260 260

b) quaisquer sub-quadrados de 4 x 4 tem como resultado 520 que é o dobro da Constante Mágica;

260
                 
64 2 3 61 60 6 7 57 260
9 55 54 12 13 51 50 16 260
17 47 46 20 21 43 42 24 260
40 26 27 37 36 30 31 33 260
32 34 35 29 28 38 39 25 260
41 23 22 44 45 19 18 48 260
49 15 14 52 53 11 10 56 260
8 58 59 5 4 62 63 1 260
                 
260 260 260 260 260 260 260 260 260

c) os cantos do quadrado principal e dos sub-quadrados tem como resultado 130 que é metade da Constante Mágica;

260
                 
64 2 3 61 60 6 7 57 260
9 55 54 12 13 51 50 16 260
17 47 46 20 21 43 42 24 260
40 26 27 37 36 30 31 33 260
32 34 35 29 28 38 39 25 260
41 23 22 44 45 19 18 48 260
49 15 14 52 53 11 10 56 260
8 58 59 5 4 62 63 1 260
                 
260 260 260 260 260 260 260 260 260

d) formando um "octógono" maior a soma dos números tem como resultado 520, o dobro da Costante Mágica;

260
                 
64 2 3 61 60 6 7 57 260
9 55 54 12 13 51 50 16 260
17 47 46 20 21 43 42 24 260
40 26 27 37 36 30 31 33 260
32 34 35 29 28 38 39 25 260
41 23 22 44 45 19 18 48 260
49 15 14 52 53 11 10 56 260
8 58 59 5 4 62 63 1 260
                 
260 260 260 260 260 260 260 260 260

d) formando um "octógono" menor a soma dos números tem como resultado 130, a metade da Costante Mágica;

260
                 
64 2 3 61 60 6 7 57 260
9 55 54 12 13 51 50 16 260
17 47 46 20 21 43 42 24 260
40 26 27 37 36 30 31 33 260
32 34 35 29 28 38 39 25 260
41 23 22 44 45 19 18 48 260
49 15 14 52 53 11 10 56 260
8 58 59 5 4 62 63 1 260
                 
260 260 260 260 260 260 260 260 260

Permutação dos sub-quadrados 4x4 (16 células)

Os sub-quadrados 4x4 tem a soma de todos os seus números 520, que é o dobro da Costante Mágica e a metade da soma de todos os números do quadrado 8x8 (64 células).

Permutando os sub-quadrados, a Constante Mágica e a soma de todos os números do Quadrado Mágico de ordem 8 não se alteram.

Veja alguns exemplos, mantendo-se fixo o sub-quadrado de fundo amarelo.

a)

260
                 
64 2 3 61 60 6 7 57 260
9 55 54 12 13 51 50 16 260
17 47 46 20 21 43 42 24 260
40 26 27 37 36 30 31 33 260
32 34 35 29 28 38 39 25 260
41 23 22 44 45 19 18 48 260
49 15 14 52 53 11 10 56 260
8 58 59 5 4 62 63 1 260
                 
260 260 260 260 260 260 260 260 260

b)

260
                 
64 2 3 61 32 34 35 29 260
9 55 54 12 41 23 22 44 260
17 47 46 20 49 15 14 52 260
40 26 27 37 8 58 59 5 260
60 6 7 57 28 38 39 25 260
13 51 50 16 45 19 18 48 260
21 43 42 24 53 11 10 56 260
36 30 31 33 4 62 63 1 260
                 
260 260 260 260 260 260 260 260 260

c)

260
                 
64 2 3 61 28 38 39 25 260
9 55 54 12 45 19 18 48 260
17 47 46 20 53 11 10 56 260
40 26 27 37 4 62 63 1 260
32 34 35 29 60 6 7 57 260
41 23 22 44 13 51 50 16 260
49 15 14 52 21 43 42 24 260
8 58 59 5 36 30 31 33 260
                 
260 260 260 260 260 260 260 260 260

d)

260
                 
28 38 39 25 32 34 35 29 260
45 19 18 48 41 23 22 44 260
53 11 10 56 49 15 14 52 260
4 62 63 1 8 58 59 5 260
60 6 7 57 64 2 3 61 260
13 51 50 16 9 55 54 12 260
21 43 42 24 17 47 46 20 260
36 30 31 33 40 26 27 37 260
                 
260 260 260 260 260 260 260 260 260

e)

260
                 
28 38 39 25 60 6 7 57 260
45 19 18 48 13 51 50 16 260
53 11 10 56 21 43 42 24 260
4 62 63 1 36 30 31 33 260
32 34 35 29 64 2 3 61 260
41 23 22 44 9 55 54 12 260
49 15 14 52 17 47 46 20 260
8 58 59 5 40 26 27 37 260
                 
260 260 260 260 260 260 260 260 260

f)

260
                 
60 6 7 57 28 38 39 25 260
13 51 50 16 45 19 18 48 260
21 43 42 24 53 11 10 56 260
36 30 31 33 4 62 63 1 260
32 34 35 29 64 2 3 61 260
41 23 22 44 9 55 54 12 260
49 15 14 52 17 47 46 20 260
8 58 59 5 40 26 27 37 260
                 
260 260 260 260 260 260 260 260 260

Quadrado Mágico 8x8 e números quadrados perfeitos

Elevando-se os números de 1 a 64 do Quadrado Mágico de ordem 8 ao quadrado, obtem-se um Quadrado Mágico Imperfeito com as sequintes características:

Quadrado Mágico 8x8 - números quadrados perfeitos
10508
4096 4 9 3721 3600 36 49 3249 14764
81 3025 2916 144 169 2601 2500 256 11692
289 2209 2116 400 441 1849 1764 576 9644
1600 676 729 1369 1296 900 961 1089 8620
1024 1156 1225 841 784 1444 1521 625 8620
1681 529 484 1936 2025 361 324 2304 9644
2401 225 196 2704 2809 121 100 3136 11692
64 3364 3481 25 16 3844 3969 1 14764
11236 11188 11156 11140 11140 11156 11188 11236 11852

Somas das linhas

a) a soma dos números quadrados perfeitos da primeira linha é igual a soma dos quadrados da oitava linha;

b) a soma dos números quadrados perfeitos da segunda linha é igual a soma dos quadrados da sétima linha;

c) a soma dos números quadrados perfeitos da terceira linha é igual a soma dos quadrados da sexta linha;

d) a soma dos números quadrados perfeitos da quarta linha é igual a soma dos quadrados da quinta linha;

Somas das colunas

e) a soma dos números quadrados perfeitos da primeira coluna é igual a soma dos quadrados da oita coluna;

f) a soma dos números quadrados perfeitos da segunda coluna é igual a soma dos quadrados da sétima coluna.

g) a soma dos números quadrados perfeitos da terceira coluna é igual a soma dos quadrados da sexta coluna.

h) a soma dos números quadrados perfeitos da quarta coluna é igual a soma dos quadrados da quinta coluna.

quadrado magico 8x8 cubico

i) a soma dos números de cada sub-quadrados 4x4 na diagonal principal (cor amarela) têm os mesmos resultados 23.384;

j) a soma dos números de cada sub-quadrados 4x4 na diagonal secundária (cor laranja) têm os mesmos resultados 21.336;

Quadrado Mágico 8x8 e números cúbicos

Elevando-se os números de 1 a 64 do Quadrado Mágico de ordem 8 ao cubo, obtem-se um Quadrado Mágico Imperfeito com as sequintes características:

Quadrado Mágico 8x8 - números cúbicos
475280
262144 8 27 226981 216000 216 343 185193 890912
729 166375 157464 1728 2197 132651 125000 4096 590240
4913 103823 97336 8000 9261 79507 74088 13824 390752
64000 17576 19683 50653 46656 27000 29791 35937 291296
32768 39304 42875 24389 21952 54872 59319 15625 291104
68921 12167 10648 85184 91125 6859 5832 110592 391328
117649 3375 2744 140608 148877 1331 1000 175616 591200
512 195112 205379 125 64 238328 250047 1 889568
551636 537740 536156 537668 536132 540764 545420 540884 606320

a) a soma dos números de cada sub-quadrados 4x4 na diagonal principal (cor amarela) têm os mesmos resultados 1.181.440;

b) a soma dos números de cada sub-quadrados 4x4 na diagonal secundária (cor laranja) têm os mesmos resultados 981.760;

c) as somas de cada uma da linhas, bem como as colunas apresentam resultados diferentes.

O quadrado 8x8 e números consecutivos

No livro Sequências Numéricas Magicas [2] estão publicados vários estudos sobre relações númericas entre figuras geométricas, números figurados, naturais, quadrados, cúbicos, etc.

Em um desses estudos, os 64 primeiros números naturais são dispostos sequencialmente dentro de um quadrado 8x8 apresentando entre outras, as seguintes propriedadas numéricas:

Quadrado Mágico 8x8 - números consecutivos
260
                 
1 2 3 4 5 6 7 8 36
9 10 11 12 13 14 15 16 100
17 18 19 20 21 22 23 24 164
25 26 27 28 29 30 31 32 228
33 34 35 36 37 38 39 40 292
41 42 43 44 45 46 47 48 356
49 50 51 52 53 54 55 56 420
57 58 59 60 61 62 63 64 484
                 
232 240 248 256 264 272 280 288 260

a) as diagonais têm como resultados a Constante Mágica 260;

b) a soma de cada uma das linha horizontais não é múltiplo de 8;

c) a soma de cada uma das colunas têm como resultados múltiplos de 8;

d) a soma de todos os números do quadrado tem como resultado a Soma Mágica 2080.

Quadrado Mágico 8x8 e o Método Troca de Diagonal

Este método também permite construir quadrados mágicos múltiplos de 4 (8, 16, 32,...), marcando-se as diagonais através de sub-quadrados [3].

Para construir Quadrado Mágico de ordem 8 devemos:

a) dividir o quadrado de 8x8 células em 4 quadrantes, isto é, em 4 sub-quadrados de 4x4 células (linhas azul);

b) tendo como referência o primeiro quadrante, marcar as células da diagonal secudária (células amarela);

c) marcar a diagonal quebrada (células laranja);

d) marcar uma célula da diagonal principal (célula verde);

e) o primeiro quadrante se refetle à direita e a baixo, formando um "octógono";

f) numerar a células coloridas conforme a sua ordem, começando da parte superior esquerda, deixando as células brancas vazias;

quadrado mágico 8x8 - método troca da diagonal

g) para finalizar, a partir da parte inferior direita, numere as células branca começando pelo número 1, contando as células coloridas, mas pulando-as.

Com esta variante de construção, obtem-se também um Quadrado Mágico de ordem 8, com Constante Mágica 260.

quadrado mágico 8x8 - método troca de diagonal

Autor: Ricardo Silva julho/2018

Fontes Bibliográficas:

[1] https://www.maa.org/press/ periodicals/convergence/ the-magic-squares-of-manuel-moschopoulos-the-mathematics-of-the-methods-evenly-even-squares

[2] Silva, Ricardo José da. Sequências Numéricas Mágicas - livro digital - São Paulo, 2013

[3] Santos, Rubiana Feliciano da Costa - Monografia: Quadrados Mágicos. Universidade Federal de Goiás - UFG - Departamente de Matemática - DM. Catalão - Goiás - 2018.

SILVA, Ricardo José da. Quadrados Mágicos e Sequências Numéricas. São Paulo, edição digital, 2018

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